本文格式为Word版，下载可任意编辑人教版初二数学上册将军饮马问题教学设计x 将军饮马问题 常德市十三中李永祥 一、教学内容 初中阶段，主要以“两点之间，线段最短〞，“连接直线外一点与直线上齐点 的所有线段中，垂线段最短〞，为理论根基，有时还耍借助轴对称、平移、旋转 等变换举行研究. 本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的根基上对数学史中的一个经典 问题一一 “将军饮马问题〞为载体举行变式设计，开展对“最短路径问题〞的课 题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、 平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短〞的问题.从中，让学生借 助所学知识和生活阅历独立思考或与他人合作，经历发觉问题和提出问题，分析 问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之 间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解, 它既是轴对称、平移知识运用的延续，乂能培养学生门行探究，学会思考，在知 识与才能转化上起到桥梁作用。
二、教学目标解析 ［教学目标］ 能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值 问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流 的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感. ［目标解析］ 达成目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点〞、“河〞、“草地〞抽象为 数学中的“点〞、“线〞，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利 用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条 线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短〞问题，能通过规律推理证 明所求距离最短，在摸索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转 化的数学思想. ［教学重点］ 利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短〞问 题. 三、学生学情诊断 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问 题，解决这方面问题的数学阅历尚显缺乏，十分是面对具有实际背景的最值问题, 更会感到陌生，无从下手. 解答：“当点A、B在直线1的同侧时，如何在1上找点C,使AC与CB的和 最小〞，需要将其转化为“直线1异侧的两点，与1上的点的线段和最小〞的问 题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解和操 作方面的困难. 在证明“最短〞时，需要在直线上任取一点，证明所连线段和大于或等于所 求作的线段和.这种思路和方法，一些学生还想不到. 在解答“使处在直线两侧的两线段和最小〞的问题，需要把它们平移拼接在 一起，一些学生想不到. 教学时，教师可以让学生首先思考“直线1的异侧的两点，与1上的点的线 段和最小〞，给予学生启发，在证明“最短〞时，点拨学生要另选一个量，通过 与求证的那个最举行对比來证明，同时让学生体会“任意〞的作用，因此确定本 节课的教学难点为： ［教学难点］ 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 四、教学策略分析 建构主义理论的核心是“知识不是被动采纳的而是认知主体积极建构的?〞 根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上 采用“引导一一探究一一发觉一一证明一一归纳总结〞的教学模式，激励引导学 生、开动脑筋、大胆尝试，在探究活动中培养学生创新思维与想象才能. 教师的教法：突出解题方法的引导与启发，重视思维习惯的培养，为学生搭 建参与和交流的平台.通过对“将军饮马问题〞而改编与设计，加强数学课堂趣 味性，一致背景，不同问题，由浅入深、层层递进，有利于学生分析与解决问题， 同时利用现代的信息技术，直观地展示图形的变化过程，提高学生学习兴趣与激 情. 学生的学法：突出探究与发觉，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、 互动交流中，获取知识与才能. 五、教学根本流程 摸索新知——运用新知——拓展新知——提炼新知一一课外思考 六、教学过程设计 （一）摸索新知 1、建立模型 问题1唐朝诗人李硕的诗《古从戎行》开头两句说：“白口登山望烽火， 黄昏饮马傍交河〞?诗中隐含着一个好玩儿的数学问题.如图1所示，诗中将军在 观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发，到一条笔直的河边1饮马，然后到军 营B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 追问1,这是一个实际问题，你计划首先做什么呢？ 师生活动：将A、B两地抽象为两个点，将河1抽象为一条直线 追问2,你能用门己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学的问 题吗？ 师生活动：学生交流探讨，回复并相互补充，结果达成共识： （1）行走的路线：从A地出发，到河边1饮马，然后到B地； （2）路线全程最短转化为两条线段和最短； （3）现在的问题是怎样找出访两条线段长度之和为最短的直线1上的点. 设C为直线1上的一个动点，上面的问题转化为：当点C在1的什么位置时，AC 与CB的和最小 ［设计意图］从数学史上久负盛名的“将军饮马问题〞引入，增加学生们的数学 底蕴，提高其人文思想.同时引导学生分析题意，画出图形.将实际问题转化为数 学问题更有利于分析问题、解决问题. 2、解决问题 问题3如图点A、B在直线的异侧，点C位直线1上的一个动点，当点C在 1的什么位置时，AC与CB的和址小？ 师生活动：让学生独立思考、画图分析，并展示 假如学生有困难，教师作如下提醒： （1）如图，假如军营B地在河对岸，点C在1的什么位置时，AC与CB的 和最小？由此受到什么启发呢？ （2）如图，如何将点B “移〞到1的另一侧B处，且满意直线1上的任意 一点C,都保持CB与CB的长度相等？ li C 学生在老师的启发引导下，完成作图. ［设计意图］先通过学生对此题的思考尝试，并展示，师生共同纠错，提岛 认识与辩证思想，再通过老师的引导心发明白解决这个问题应当运用轴对称的性 质，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异测的问题，提高学生的空间 想象才能与规律思维才能，让学生在思考和解决问题的过程中，提高甄别是非的 才能，感悟转化的数学思想. 3、证明“最短〞 问题3,为什么这种作法是正确的呢？你能用所学的知识证明AC+CB最短 吗？ 师生活动：分组探讨，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证 明过程. 证明：如图，在直线1上任取一点C.连接AC、BC\ BC. 由轴对称的性质可知： BOBC BC-BC .，.AC+BC=AC+BC=AB， AC+BC=AC+BC 当C与C不重合时 ABVAC+CB AC+BCVAC+CB 当C与C重合时 AC+BC=AC+CB 总之，AC+BCWAC+CB 即AC+BC最短 ［设计意图］利用现代信息技术，通过移动点C的位置，可发觉：当C与 C不重合时，AC+BCVAC+CB,当C与C重合时，AC+BC二AC+CB.让学生很简单 知道AC+BC最短，消除了学生的疑虑，发挥了多媒体的作用，让学生进一步体会 作法的正确性，提高了规律思维才能. 4、小结新知 回想前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？表达 了什么数学思想？ 师生活动：学生回复，并相互补充. ［设计意图］让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁〞作用，感悟转 化思想，明确解题的方法与策略，为后面进一步的学习探究做准备. （二）运用新知 如图，假如将军从指挥部A地出发，先到河边a某一处饮马，再到草地边b 某一处牧马，然后來到军营B地，请画出最短路径. 师生活动：分组探讨，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径. ［设计意图］对前面所学的解题方法与思路得以稳定，让学生形成技能，进 一步体会感悟数学中的转化思想，点学生上台操作演示，提高他们的学生兴趣与 实践才能，体会成功的喜悦，激发他们进一步探究问题的欲望. （三）拓展新知 己知：P、Q是AABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R,使APOR 的周长最短吗？ 师生活动: 1、老师首先解释三角形周长最短的含义，引导学生将实际问题抽象为数学 问题，再提出如下问题： （1）要使释三角形周长最短最短，实际上是使几条线段之和最短？ （2）怎样将问题转化为“两点之间，线段最短〞的问题. 2、分组探讨，师生共同分析. 3、完成作图，体会作图的步骤与分析问题的思路的联系与区别. ［设计意图］此题在“将军饮马问题〞的背景下举行改编,既加强了课堂教 ［设计意图］ 此题在“将军饮马问题〞的背景下举行改编, 既加强了课堂教 学的趣味性，又完成了教学任务，可谓一举两得.教学由问题引领，老师引导， 学生小组合作探讨交流的方式，充分发挥现代信息技术的作用完成分析与解答的 过程，让学生学得轻松与愉悦，培养了学生的应用意识、创新意识、综合与分析 才能，在解决问题的过程中，体会作图题的解题方法与策略.让学生的才能得到 进一步锻炼与提高. （四）提炼新知 师生一起回想本节课所学的主要内容，并请学生回复以下问题: 1、本节课研究问题的过程是什么？ 2、解决上述问题运用了什么知识？ 3、在解决问题的过程运用了什么方法？ 4、运用上述方法的目的是什么？表达了什么样的数学思想？ ［设计意图］引导学生把握研究问题的策略、思路、方法的同时，并从运用 的知识、方法、思想方面举行归纳总结，让学生对本节课有一个更清楚、更系统 的认识，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要 价值. （五）课外思考 DU变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面， 有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上， 试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边 OM ON后，反弹击中黑球？ DU co c o A A 变式2： 作法：⑴作点4关于OM的对称点A, 点B关于ON的对称点氏 ⑵连结才和B；交OM于C,交ON于D。
A 则点c、D为所求 / D B1 ［设计意图］通过一系列的“将军饮马问题〞的变式设计，市浅入深，环环相扣， 不但培养了学生热爱动脑，敢于提问，勇于摸索的求学精神，同时培养学生的问 题意识，通过结果这一问题的设计，让学有余力的学生解答,它不仅能稳定知识， 形成技能，同时激发了学生的求知欲與与勇于探究的精神?同时，也是由课内向 课外的一种延伸，预示着问题并没有终结，培养学生具有终身学习的意识与创新 精神! — 11 —。