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1、应用平衡条件解题注意（二）应用平衡条件解题注意（二） （二）刚体转动轴的选定是任意的但必须合理，应使尽量多的（二）刚体转动轴的选定是任意的但必须合理，应使尽量多的未知力（特别是不需求的）的力矩为零未知力（特别是不需求的）的力矩为零 例题、例题、证明如图所示的三个人抬一匀质三角形木板时所用的力相等。证明如图所示的三个人抬一匀质三角形木板时所用的力相等。ABC证明：证明：木板受力如图所示。木板受力如图所示。以以BC为转动轴，为转动轴，F1F2F3GOO2O1O3所以所以分别以分别以AC、AB边为轴则可得到边为轴则可得到所以有所以有有平衡条件有：有平衡条件有：（三）正确判断受力方向（三）正确判断受力
2、方向 （1）当刚体受三个非平行力处于平衡时，若其中的两个力的方向已知，）当刚体受三个非平行力处于平衡时，若其中的两个力的方向已知，则可准确确定第三个力的方向则可准确确定第三个力的方向依据：刚体受三个非平行力作用而处于平衡时，该三力必依据：刚体受三个非平行力作用而处于平衡时，该三力必共面共点。共面共点。PF1F2F3墙壁对横杆墙壁对横杆AB 的作用力的作用力R 的方向由此得以确定。的方向由此得以确定。GTR 1、准确确定力的方向、准确确定力的方向 用用“反证法反证法”证明依据的正确性证明依据的正确性 若若F3 不在不在 F1 和和F2所决定的平面内，则所决定的平面内，则F1 与与 F2 的合力的
3、合力F12 就不可能与就不可能与 F3 反向；反向； 若若F3 不过不过F1 与与F2 的交点的交点 P，则对过，则对过P 点的不点的不 与与F3 平行的转动轴来说，合力矩必定不为零。平行的转动轴来说，合力矩必定不为零。（2）若）若n个力平衡，其中的（个力平衡，其中的（n-1）个力交于一点且交点已知，）个力交于一点且交点已知，则可准确确定第则可准确确定第n个力的方向。个力的方向。 12n-1nP 依据：若依据：若n个力平衡，且其中的（个力平衡，且其中的（n-1）个力交于）个力交于 一点，则第一点，则第n个力的作用线必过此点。个力的作用线必过此点。 用反证法证明依据用反证法证明依据若第若第n个力
4、不过此点，则该力对过此点的转个力不过此点，则该力对过此点的转轴的力矩不为零，而其它（轴的力矩不为零，而其它（n-1）个力对此）个力对此转轴的力矩为零，所以该转轴的力矩为零，所以该n个力对此转轴的个力对此转轴的合力矩不为零。这与平衡条件矛盾。合力矩不为零。这与平衡条件矛盾。应用平衡条件解题注意（三）应用平衡条件解题注意（三）用一根细线悬挂圆规时，为使其旋转点抬升得最高，应该让圆用一根细线悬挂圆规时，为使其旋转点抬升得最高，应该让圆规的张角等于规的张角等于 。（假定圆规两臂等长，考虑一个简。（假定圆规两臂等长，考虑一个简单模型，以一个无质量的旋转点连接的两个相同的均质细木棍单模型，以一个无质量的旋
5、转点连接的两个相同的均质细木棍替代实际中的圆规）替代实际中的圆规）两虚线分别为角平分线和两边中点两虚线分别为角平分线和两边中点的边线。所以即为重心。则绳子的边线。所以即为重心。则绳子的延长线过点。的延长线过点。角角越大，越大，A点越高点越高 O 静摩擦角静摩擦角1、静摩擦角的概念、静摩擦角的概念（1）定义：）定义：（2）几何意义：）几何意义： 最大静摩擦力最大静摩擦力fm和正压力和正压力N 的合力与正压力的合力与正压力N 夹角。夹角。Nf ( 0是全反力是全反力R与与N 的最大夹角。的最大夹角。) 全反力全反力（3）静摩擦角概念的应用）静摩擦角概念的应用fmR注意：注意：0的大小仅由两接触面的
6、材料性质所决定的大小仅由两接触面的材料性质所决定物体静平衡时：物体静平衡时：利用静摩擦角解题有时会很方便利用静摩擦角解题有时会很方便 例题、例题、 如图所示，有一长为如图所示，有一长为l，重为，重为W0匀质杆匀质杆AB，A端顶在竖直的粗糙墙壁上，端顶在竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙壁的静摩擦系数为杆端与墙壁的静摩擦系数为。B端用一强度足够而不可伸长的轻绳悬挂，绳的另一端端用一强度足够而不可伸长的轻绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁的固定在墙壁的C点。木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为点。木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为。 （1）求杆能保持平衡时）求杆能保持平衡时与与应满足的条件应满足的条件; （2）杆保持平衡
7、时，杆上有一点）杆保持平衡时，杆上有一点P存在：若在存在：若在P点与点与A点之间的任一点悬挂一重物，点之间的任一点悬挂一重物，则当重物的总量则当重物的总量W足够大时总可以使平衡被破坏足够大时总可以使平衡被破坏;而在而在P点与点与B点之间的任一点悬挂任意点之间的任一点悬挂任意重量的重物，都不能使平衡破坏。求出这一点重量的重物，都不能使平衡破坏。求出这一点P与与A点的距离。点的距离。分析：分析：（1）杆未挂重物时受力如图）杆未挂重物时受力如图TABCW0你能否确定你能否确定R的方的方向？向？由力的平衡条件及几何关系知由力的平衡条件及几何关系知RNf既然杆能保持平衡，既然杆能保持平衡， 所以应有所以
8、应有即即ABCTW0（2）杆挂上重物）杆挂上重物W时时重物挂在何处能使重物挂在何处能使1、R和和N的夹角的夹角0 2、 R和和N的夹角的夹角0P作出墙壁和杆间的静摩擦角作出墙壁和杆间的静摩擦角0 =BAD。又作又作DP AB， 所得交点所得交点P 即为所求。即为所求。 若重物若重物W挂在挂在P、B之间：之间：WWDD2W2W1D1RR无论无论W多大，均有多大，均有0若重物若重物W挂在挂在P、A之间：之间： 当当W足够大时，就能使足够大时，就能使0由几何关系得由几何关系得由此解得由此解得如何计算如何计算AP = ?W如图所示，放在水平地面如图所示，放在水平地面上的两个圆柱体相互接触，上的两个圆柱
9、体相互接触，大、小圆柱的半径分别为大、小圆柱的半径分别为R和和r，大圆柱体上缠有绳，大圆柱体上缠有绳子，现通过绳子对大圆柱子，现通过绳子对大圆柱体施加一水平力体施加一水平力F，设各，设各接触处的静摩擦因数都是接触处的静摩擦因数都是，为使大圆柱体能翻过，为使大圆柱体能翻过小圆柱体，问小圆柱体，问应满足什应满足什么条件？么条件？FA 解：解：FA图图系统的受力情况如图所示系统的受力情况如图所示.(1)由于小圆柱既不滑动，也不滚动，由于小圆柱既不滑动，也不滚动，而大圆柱在小圆柱上作无滑滚动，故而大圆柱在小圆柱上作无滑滚动，故B、C两处都必定有静摩擦力作用两处都必定有静摩擦力作用.(2)大圆柱刚离开地
10、面时，它受三个大圆柱刚离开地面时，它受三个力作用：拉力力作用：拉力F，重力，重力G1，小圆柱对，小圆柱对它的作用力它的作用力R1.由于这三个力平衡，由于这三个力平衡，所以它们的作用线必相交于一点所以它们的作用线必相交于一点,这这点就是点就是A点点.角不大于最大摩擦角角不大于最大摩擦角(3)由于小圆柱受力平衡，所以它所受的三个由于小圆柱受力平衡，所以它所受的三个力作用：重力力作用：重力G2，大圆柱对它的作用力，大圆柱对它的作用力R1，地面对它的作用力地面对它的作用力R2必组成一个闭合三角形必组成一个闭合三角形.即有即有BDCO1O2G1G2R1R2R1G2R2R1图图2如图如图2所示，同样应该有
11、所示，同样应该有所以由上面三式得所以由上面三式得由图由图2 知知由图由图1得得所以所以于是于是BDCO1O2G1G2R1R2R1FA图图1例例一质量分布均匀的梯子一质量分布均匀的梯子AB，一端放在水平地面上，另一端，一端放在水平地面上，另一端搁在竖直墙上，梯子与地面、梯子与墙面的动摩擦因数分别搁在竖直墙上，梯子与地面、梯子与墙面的动摩擦因数分别为为1、2，求梯子平衡时与地面所成的最小夹角，求梯子平衡时与地面所成的最小夹角。关键：关键：判断临界情况下，判断临界情况下，A、B两端同时达两端同时达到临界，到临界，A端达到端达到B端未达到，或是端未达到，或是B端达端达到而到而A端尚未达到？端尚未达到？
12、结论：结论：梯子与地面成最小夹角梯子与地面成最小夹角而平衡而平衡时，时，A、B端同时达到最大静摩擦力。端同时达到最大静摩擦力。拓变：若已知均匀梯子的质量为拓变：若已知均匀梯子的质量为m m，一端靠在光滑的墙上，另一端置于粗糙的，一端靠在光滑的墙上，另一端置于粗糙的水平地面上，静摩擦系数为水平地面上，静摩擦系数为，一个质量为，一个质量为M M的人沿梯子往上爬，为了保证人的人沿梯子往上爬，为了保证人的安全，对梯子的放置有什么要求？的安全，对梯子的放置有什么要求？切入点在哪里？切入点在哪里？为保证人的安全，必须是人爬到梯顶时，梯子仍不会滑到。为保证人的安全，必须是人爬到梯顶时，梯子仍不会滑到。（M+
13、m)gDCNENf二、微元法的应用二、微元法的应用在涉及到绳子内部张力以及形变等问题时，除了采用隔离法外，在涉及到绳子内部张力以及形变等问题时，除了采用隔离法外，对于质量不可忽略的绳子，通常选取长度微元进行研究。对于质量不可忽略的绳子，通常选取长度微元进行研究。例题：已知原长为例题：已知原长为、劲度系数为、劲度系数为的弹簧，其线密度为的弹簧，其线密度为，铅垂悬挂，铅垂悬挂，求由其自重引起的伸长。求由其自重引起的伸长。问题的切入点在哪？问题的切入点在哪？为什么会伸长？为什么会伸长？各部分的伸长是否均匀各部分的伸长是否均匀确定研究对象确定研究对象原长为原长为x x的部分的部分受到向下原长为受到向下
14、原长为x x的那部分重力的那部分重力如图所示，一个半径为如图所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，端固定在球面的顶点，B端恰与桌端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为面不接触，铁链单位长度的质量为.试求铁链试求铁链A端受的拉力端受的拉力T.解析：以铁链为研究对象，由于整条铁链的解析：以铁链为研究对象，由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割
15、，使每一小段铁链可以看成质点，分链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁析每一小段铁链链的受力，根据物体的平衡条的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况件得出整条铁链的受力情况.在铁链上任取长为在铁链上任取长为L的一小段（微元）为研的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图所示究对象，其受力分析如图所示.由于该元处于由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：满足：由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大线向下的拉力大T，所以整个铁链对，所以整个铁链对A端的拉力是各段上端的拉力是各段上
16、T的和，的和，如图所示，质量分布均匀的细链，长为如图所示，质量分布均匀的细链，长为L10m，质量为，质量为10kg，其一端系于天花板的，其一端系于天花板的P点处，人提着另一端，点处，人提着另一端，P、Q两点的高度差为两点的高度差为h =2m，设人的提拉力，设人的提拉力F100N，试求天花，试求天花板对细链的作用力板对细链的作用力. 图图QP 虚功原理虚功原理 许多平衡状态的问题许多平衡状态的问题,可以假设其状态发生一个微小的变可以假设其状态发生一个微小的变化化,某一个力做了一个微小的功某一个力做了一个微小的功W,使系统的势能发生了使系统的势能发生了一个微小的变化一个微小的变化E,然后利用然后利用W = E求出所需要的物求出所需要的物理量理量,这就是虚功原理这就是虚功原理.该原理是由伯努利首先提出来的。该原理是由伯努利首先提出来的。 解解: (虚似法虚似法)由于细链挂在竖直平面内，由于细链挂在竖直平面内，且没有对称性，所以无法用力的平衡方且没有对称性，所以无法用力的平衡方法求解法求解.但可以作如下情景虚似但可以作如下情景虚似:图图1QPhPQTPTQ图图2 人将链条沿其拉力方向缓慢移动一
