《2022解答题题型归纳之解三角形（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022解答题题型归纳之解三角形（教师版）（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、解答题题型归纳之解三角形题型归纳一：解三角形基础1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）c（）求C；（）若c=7，ABC的面积为332，求ABC的周长【分析】（）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求ABC的周长【解答】解：（）在ABC中，0C，sinC0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）sinC，整理得：2cosCsin（A+B
2、）sinC，即2cosCsin（A+B）sinC2cosCsinCsinCcosC=12，C=3；（）由余弦定理得7a2+b22ab12，（a+b）23ab7，S=12absinC=34ab=332，ab6，（a+b）2187，a+b5，ABC的周长为5+72ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA0，a27，b2（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，（2）先根据夹角求出cosC，求出CD的长，得到SABD=12SABC【解答】解：（1）sinA+3cosA0，tan
3、A=3，0A，A=23，由余弦定理可得a2b2+c22bccosA，即284+c222c（12），即c2+2c240，解得c6（舍去）或c4，故c4（2）c2b2+a22abcosC，1628+42272cosC，cosC=27，CD=ACcosC=227=7CD=12BCSABC=12ABACsinBAC=124232=23，SABD=12SABC=3题型归纳二：角平分线和中位线3ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍（1）求sinBsinC；（2）若AD1，DC=22，求BD和AC的长【解答】解：（1）如图，过A作AEBC于E，SABDSADC=12BDAE
4、12DCAE=2BD2DC，AD平分BAC BADDAC在ABD中，BDsinBAD=ADsinB，sinB=ADsinBADBD在ADC中，DCsinDAC=ADsinC，sinC=ADsinDACDC；sinBsinC=DCBD=126分（2）由（1）知，BD2DC222=2过D作DMAB于M，作DNAC于N，AD平分BAC，DMDN，SABDSADC=12ABDM12ACDN=2，AB2AC，令ACx，则AB2x，BADDAC，cosBADcosDAC，由余弦定理可得：(2x)2+12(2)222x1=x2+12(22)22x1，x1，AC1，BD的长为2，AC的长为14已知a，b，c分
5、别为ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+3asinCbc0（1）求A；（2）若AD为BC边上的中线，cosB=17，AD=1292，求ABC的面积【解答】解：（1）由题意知，acosC+3asinCbc0，由正弦定理得：sinAcosC+3sinAsinCsinBsinC0，由sinBsin（A+C）sin（A+C）得，sinAcosC+3sinAsinCsin（A+C）sinC0，则3sinAsinCcosAsinCsinC0，又sinC0，则3sinAcosA1，化简得，2sin(A6)=1，即sin(A6)=12，又0A，所以A=3；（2）在ABC中，cosB=17得，sinB
6、=1cos2B=437（7分）则sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB=3217+12437=5314（8分）由正弦定理得，ac=sinAsinC=325314=75（9分）设a7x、c5x，在ABD中，由余弦定理得：AD2AB2+BD22ABBDcosB，1294=25x2+1449x225x127x17，解得x1，则a7，c5（11分）所以ABC的面积S=12acsinB=1275437=103（12分）题型归纳三.：面积和周长的最值5已知ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinAcsinCb（sinAsinB）（）求角C的大小；（）若边长c4，
7、求ABC的周长最大值【分析】（）直接利用正弦定理和余弦定理求出C的值，（）利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，最终确定函数的最值【解答】解：（）已知ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinAcsinCb（sinAsinB）利用正弦定理得：a2c2b（ab），整理得：cosC=a2+b2c22ab=ab2ab=12，由于0C，则：C=3（）由于：C=3，c4，A+B=23，则：asinA=bsinB=csinC=432=833，整理得：a=833sinA，b=833sinB=833sin(23A)，
8、所以：a+b+c4+833sinA+833sin(23A)，=8sin(A+6)+4，由于：0A23，则：6A+656，解得：12sin(A+6)1所以：ABC的周长最大值为126在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知m=(cosA2，3sinA2)，n=(2sinA2，2sinA2)，且mn=0（1）求角A的大小；（2）点M是BC的中点，且AM1，求ABC面积的最大值【分析】（1）根据向量数量积公式，利用辅助角公式进行转化求解即可（2）利用中点向量公式，结合基本不等式进行转化求解即可【解答】解：（1）mn=0，2sinA2cosA2+23sin2A2=0，即sinA+231co
9、sA2=sinA3cosA+3=0，即sinA+3cosA=3，即2sin（A+3）=3，得sin（A+3）=32，即A+3=23，得A=3（2）点M是BC的中点，且AM1，AM=12（AB+AC），平方得AM2=14（AB2+AC2+2ABAC），即4c2+b2+2bc12=c2+b2+bc2bc+bc3bc，即bc43，当且仅当bc时取等号，则ABC面积S=12bcsin3=1232bc3443=33，即三角形面积的最大值为33题型归纳四：取值范围问题7已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若acosA=bcosB，且sin2A（2cosC）cos2B+12，求角C的大小
10、；（2）若ABC为锐角三角形，且A=4，a2，求ABC面积的取值范围【解答】解：（1）acosA=bcosB，asinA=bsinB，tanAtanB，ABC2Asin2A（2cosC）cos2B+12，sin2A（2+cos2A）cos2A+12，即（1cos2A）（2cos2A+1）cos2A+12，解得cos2A=12，A+B+C，AB，A2，cosA=22，A=4，C2A=2（2）由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=22，b22sinB，c22sinC22sin（34B）2sinB+2cosBS=12bcsinA=2sin2B+2sinBcosBsin2Bcos2B+1=2
11、sin（2B4）+1ABC为锐角三角形，0B2034B2， 4B242B434，22sin（2B4）1+2ABC面积的取值范围是（2，1+28已知ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且3cacosB=tanA+tanB（1）求角A的大小；（2）设AD为BC边上的高，a=23，求AD的取值范围【解答】（本题满分为12分）解：（1）由3cacosB=tanA+tanB，得：3sinCsinAcosB=sinAcosA+sinBcosB=sinAcosB+cosAsinBcosAcosB，（1分）3sinCsinAcosB=sin(A+B)cosAcosB，（2分）在ABC中，A+BC，
12、sin（A+B）sin（C）sinC，且sinC0，（3分）3sinCsinAcosB=sinCcosAcosB，即3sinA=1cosA，（4分）tanA=3，（5分）A（0，），A=3（6分）（2）SABC=12bcsinA=12BCAD，12bcsin3=1223AD（7分）AD=14bc，（8分）由正弦定理得bsinB=csinC=23sin3=4，所以a4sinB，c4sinC，（9分）又A=3，C=23B，AD=14bc=8sinBsinC=8sinBsin(23B)=23sinBcosB+2sin2B=3sin2Bcos2B+1=2sin(2B6)+1（11分）B(0，23)，A
13、D0，AD（0，3，即AD的取值范围为（0，3（12分）题型归纳五：解三角形与三角函数综合9已知函数f(x)=2sin(2x+6)(0)（1）若点(58，0)是函数f（x）图象的一个对称中心，且（0，1），求函数f（x）在0，34上的值域；（2）若函数f（x）在(3，23)上单调递增，求实数的取值范围【分析】（1）由题意利用正弦函数的图象的对称性求得，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论（2）由题意利用正弦函数的单调性，求出实数的取值范围【解答】解：（1）由题意得：258+6=k，kZ，=45(k16)，kZ（0，1），=23，f(x)=2sin(2x+6)=2sin(43x+6)，x0，34，43x+66，76，sin(43x+6)12，1，故函数f（x）在0，34上的值域为1，2（2）令2+2k2x+62+2k，kZ，解得k3xk+6，函数f（x）在(3，23
