本文格式为Word版，下载可任意编辑第七章参数估计 七、参数估计 这一片面，“数学一”和“数学三”的考试大纲、考试内容和要求完全一致．“数学二”不考概率论与数理统计，而“数学四”只考概率论不考数理统计． Ⅰ、 考试大纲要求 ㈠ 考试内容 考试大纲规定的考试内容为： 点估计的概念 估计量和估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评比标准 区间估计的概念 单个正态总体均值的区间估计 单个正态总体方差和标准差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计 ㈡ 考试要求 (1) 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念，了解评比估计量的根本标准——无偏性、有效性（最小方差性）与相合性（一致性）的概念，并会证明估计量的无偏性；会对比两个无偏估计量的方差；会利用大数定律证明估计量的相合性． (2) 掌管求估计量的方法——矩估计法和最大似然估计法；矩估计法一般只涉及一阶和二阶矩． (3) 掌管建立未知参数的（单侧或双侧）置信区间的一般方法，掌管正态总体的均值、方差、标准差和矩，以及与其相联系的特征的置信区间的求法． (4) 掌管建立两个正态总体的均值差和方差比，以及与其相联系的特征的置信区间的一般求法． Ⅱ、考试内容提要 统计推断，就是由样本推断总体，是统计学的核心内容，其两个根本问题是统计估计和统计检验．统计推断的众多分支、应用、方法及原理都是围围着估计与检验建立和开展的．参数估计，就是根据样本来估计总体的未知参数，分为点估计和区间估计． ㈠ 评比估计量的标准 点估计是用统计量的值估计未知参数的值；作估计用的统计量称为估计量；估计量是随机变量，它所取的概括值称为估计值．例如，对于任意总体X，可以分别用样本均值X和样本方差S2?）??g?X,X,?,X（有时简记为做总体的数学期望EX和方差DX的估计量．我们用统计量??n12n?做未知参数?的估计量，其中g?X1,X2,?,Xn?是简朴随机样本?X1,X2,?,Xn?的函数． 同一个未知参数?一般有多个可供选择的估计量．评比估计量的标准，是对于估计量优良性的要求，考试大纲要求掌管无偏性、有效性（最小方差性）、相合性． —7.1— ?为未知参数?的无偏估计量，假设E??=?． 1、无偏性 称估计量??和??都是?的无偏估计量，那么假设D??比??更?，那么称估计量???D?2、有效性 假设?211212有效．在未知参数?任何两个无偏估计量中，鲜明理应选更有效者——方差较小者． ?依概率收??g?X,X,?,X?为未知参数?的相合估计量，假设?3、相合性 称估计量?n12nn?以特别接近１的概率近似等于它所估计的未知敛于?．换句话说，当n充分大时，相合估计量?n????1．相合性一般是大数定律的推论． 参数?，即P?n ㈡ 求估计量的方法 考试大纲要求掌管最常用的两种求估计量的方法：矩估计法和最大似然估计法． 1、矩估计法 矩估计法，是用样本矩估计相应的总体矩、用样本矩的函数估计总体矩相应函数的一种估计方法．矩估计法无需知道总体的分布．总体的k阶原点矩和k阶中心矩定义分别定义为 ???k?EXk 和 ?k?E?X?EX?k(k=0,1,2,?)． 考试大纲只涉及一阶矩和二阶矩．矩估计法的步骤为： ?k估计k阶总体原点矩?k，用k阶样本中心矩??k估计总体的k阶中(1) 用k阶样本原点矩??1估计总体的数学期望EX??1，用二阶样心矩?k．例如，用一阶样本原点矩——样本均值X=?2?2估计总体的方差DX??2． 本中心矩——未修正样本方差Sn????f???1,??2?就是(2) 设??f??1,?2?是一阶原点矩?1和二阶原点矩?2的函数，那么???f??1,?2?的矩估计量(见例7.19)． ??f???2? 就(3) 设?i?fi??1,?2?(i=1,2)是一阶原点矩?1和二阶原点矩?2的函数，那么?ii?1,?是?i?fi??1,?2?(i=1,2)的矩估计量(见例7.5、例7.18~7.20)． 2、最大似然估计法 最大似然估计法要求事先知道总体分布的数学表达式．我们用概率函数f?x;??表示总体X的概率分布，其中?是一维参数或????1,?2?是二维参数．对于离散型总体X，其概率函数为 ?P?X?x?? , 若x是X的可能值； (7.1) f?x;????0 , 若x不是X的可能值 ．? 对于连续型总体X，其概率函数f?x;??就是概率密度． (1) 似然函数 设总体X的概率函数为f?x;??，?X1,X2,?,Xn?是来自总体X的简朴随机样本，那么称函数 L????f?X1;??f?X2;???f?Xn;?? (7.2a) 为参数?的似然函数；称函数 lnL????lnf?X1;???lnf?X2;?????lnf?Xn;?? (7.2b) 为对数似然函数，亦简称似然函数． (2) 最大似然估计量 对于给定的样本值?x1,x2,?,xn?，使似然函数L???或lnL???达成最大 ?，称做未知参数?的最大似然估计值．对于几乎一切样本值?x,x,?,x?，使似然值的参数值?12n函数L???或lnL???达成最大值的估计量??，称做未知参数?的最大似然估计量，即最大似然估计 —7.2— 量??（以概率1）抉择于条件： ??LX,X,?,X；???maxL?X,X,?,X；??． L?12n12n?????(3) 似然方程 由函数有极值的必要条件，得方程 df?Xi;??dlnL???n1dL???? ?0， (7.3) ?0 或 ??d?fX;?d?d?ii?1称做参数?的似然方程；假使未知参数????1,?2?是二维的，那么得似然方程（组） ???L???????0,?1 或 ?????L??0;????2??lnL????????1???lnL???????2??i?1nn?f?Xi;??1 ? 0 ,f?Xi;????1?i?1?f?Xi;??1 ? 0 ．f?Xi;????2 (7.4) 在相当广泛的情形下，似然方程的解就是最大似然估计量．一般，要用微积分中判断最大值的方法来判断似然方程的解是否最大似然估计量．有时，只能用近似计算的方法求解似然方程．在有些情形下，似然函数对?的导数不存在，这时应采用其他方法求最大似然估计量(见例7.19，例7.21和例7.27)． (4) 最大似然估计量的函数 假设参数?的函数??g???有唯一反函数，而??是?的最大似然 ?是??g???的最大似然估计量． ??g?估计量，那么T ㈢ 参数的区间估计 ???, ??),它以充未知参数?的区间估计，亦称 “置信区间”，是以统计量为端点的随机区间(?12?是统计量． 分大的概率包含未知参数?的值，其中区间的端点??1和?21、置信区间 设?是总体X的未知参数，?X1,X2,?,Xn?是来自总体X的简朴随机样本， ??1,??2是两个统计量，得志 ???????1??， (7.5) P?12?, ??)为参数?的置信度为1??的区间估计或置信区间，简称为?的1??置信区那么称随机区间(?12???,??分别称做置信下限和置信上限．对于概括的样本值间；区间的端点——统计量?12?, ??)是直线上一个普遍的区间，称做置信区间的一个实现． (x1,x2,?,xn)，(?12?, ??) “包含”或“笼罩”未知参数?的值的概率．置信度一般选充分置信度是随机区间(?12?, ??)估计参数接近１的数，例如1??＝0.95．直观上，假设屡屡使用置信度为0.95的置信区间(?12?，那么该区间平均有95%的实现包含?的值，不包含?值的情形大致只有5%左右． ?, b)和(a, ??)都是参数?的1??置信区间，其中a和b是已知常数或2、单侧置信区间 设(??, b)称做下置信区间，而(a, ??)——上置信区间． 无穷大，那么(?3、置信区间的求法 设?是总体X的未知参数，X＝?X1,X2,?,Xn?是来自总体X的简朴随机样本．建立未知参数?的1??置信区间的一般步骤为（见例7.26和例7.27）： (1) 选择一个包含参数?的样本的函数T?f?X；??，但是其分布不凭借于参数?；假设 ??g?X；T?是T?f?X；??的反函数； (2) 对于给定的置信度1??，根据T的概率分布选两个常数(分位数)?1,?2使之得志条件 P??1?T??2??1??； (7.11) —7.3— (3) 利用??g?X；T?和T?f?X；??之间的反函数关系，由(7.11)式可得 ??????， 1???P??1?T??2??P?12??g?X；??，???g?X；??；若T?f?X；??是?的其中，若T?f?X；??是?的增函数，那么?1122???, ??． ??g?X；??，???g?X；??；由此得参数?的1??置信区间?减函数，那么?112212注 式(7.11)中?1,?2的选择有确定任意性，因此具有一致置信度的置信区间并不惟一．对于对称分布（如正态分布、t分布）以及偏度不大的分布（如?2分布和F分布），通常按如下原那么选取?1,?2： ??P?T??1??P?T??2?? ㈣ 正态总体参数的区间估计 ?2． (7.12) 正态总体参数的置信区间，主要是一个正态总体均值和方差的置信区间，以及两个正态总体均值差和方差比的置信区间． 1、一个正态总体参数的区间估计 假设总体X~N2??, ??，?X,X212,?,Xn2?是来自总体X的简朴随机样本；X是样本均值，S是样本方差．表7-1列出了?和?的1??置信区间． 2表7-1 ?和?的1??置信区间 未知参数 1??置信区间 分 位 数 n ? 2 ?2??0?2未知 ?X?u?X?t??0Sn , X?u??0?,n?1n , X?t?,n?1S?n? 附表2 附表2 附表3 ?2 2???n?1?S2??n?1S?? , 22????1??2 , n?1?2 , n?1??222、两个正态总体参数的区间估计 假设X~Na,?x，Y~Nb,?y；?X1,X2,?,Xm?和 ????2?Y1,Y2,?,Yn?分别是来自总体X和Y的简朴随机样本，X，Sx，Y2，Sy是相应的样本均值和 22样本方差；Sxy是联合样本方差(见(6.16)式)．a?b和?x2表7-2 均值差a?b和方差比?x2的1??置信区间列入表7-2． ?y2的1??置信区间 ?y未知参数 2 ?x,?1??置信区间 2y已知 分位数 附表2 a?b ?2σ22σ2?σxσx?yy? X?Y?u? , X?Y?u?????mnmn???? 22,?y未知 ?x22=?y ?x ??附表2 ?X?Y?t?,?Sx。