《2022年一元二次方程根与系数的关系典型例题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年一元二次方程根与系数的关系典型例题(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、优秀教案欢迎下载一元二次方程根与系数的关系【同步教育信息】一. 本周教学内容:一元二次方程的根与系数的关系学习目标1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系(即:韦达定理及逆定理);2. 灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值;求关于两根的对称式的值;根据已知方程的根,构作根满足某些要求的新方程。3. 在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力;4. 提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。5. 体会特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的规律,有意培养自己发现规律的兴趣,及树立勇于探索规律的精神。二. 重点、难点:1. 教学重点:一元二次方程根与系数关系及其推导和应用
2、,注意往往不解方程,用两根和与积或各系数就可解决问题,这时解了方程反而更麻烦。2. 教学难点:正确理解根与系数的关系,掌握配方思想,把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。【典型例题】例 1. 已知方程的一个根是,求它的另一个根及b 的值。分析: 含字母系数的一元二次方程中,若已知它的一个根,往往由韦达定理可求另一根,并确定字母系数的值。解: (方法一)设方程的另一根为,则由方程的根与系数关系得:解得:(方法二)由题意:解得:根据韦达定理设另一根为x,则名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - -
3、- - - - - - - - - - 第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载点拨: 解法一较简单,主要原因是突出了求解的整体性。例 2. 已知方程的两根为,求下列代数式的值:(1);( 2);(3)分析: 若方程两根,则不解方程, 可求出关于的对称式的值,只须将其配成含有、的形式。解: 由已知,根据韦达定理(1)(2)(3)点拨: 体会配方思想,将代数式配成含有的形式,再代系数即可。例 3. 已知:是两个不相等的实数,且满足,那么求的值。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 -
4、 - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载分析: 由两个条件可得出为方程的两不等实根, 再对所求代数式配方变形。解: 由题意,为的两个不等实根因而有又点拨: 善于转化未见过的题,充分挖掘已知条件。例 4. 已知关于x 的一元二次方程与有一个相同的根,求 k 的值。解: (解法一) 设方程两根 、, 方程的两根,则有:由当时,代入当时,由代入则代入把代入 中,或(解法二)将与相减得:此时方程根为0 或,即题中两方程相同根为0 或(1)若是 0 则;(2)若是,则;或名师归纳总结 精品学习资料 - - -
5、 - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载点拨: 两种解法各有千秋,一运用了解方程组思想,二运用了“若方程与有公共根,则公共根必满足方程”的结论。例 5. 已知方程(1)若方程两根之差为5,求 k。(2)若方程一根是另一根2 倍,求这两根之积。分析: 对含字母系数的一元二次方程,可根据题设中方程根与系数关系,确定方程系数字母的值。解: (1)设方程两根与,由韦达定理知:又(2)设方程两根,由根系关系知:点拨: 已知两根的关系
6、,应用韦达定理解决系数求值问题。例 6. 已知方程两根之比为1:3,判别式值为16,求 a、b 的值。分析: 必用判别式,又韦达定理知,显然可求a、b。解: 设已知方程的两根为m,3m 由韦达定理知:即把代入得:点拨: 把判别式、韦达定理综合出题,更易贯通新旧知识。例 7. 已知是关于 x 的一元二次方程的两个实数根。(1)用含 m 的代数式表示;(2)当时,求 m 的值。分析: 应注意,即可用根系关系。解: (1)由题意:名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -
7、 第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载(2)由( 1)得:解得:检验:当时,原方程无实根。舍去当时,原方程有实根。点拨: 易忽略检验,要学会灵活应用一元二次方程有关概念,及判别式,根系关系。例 8. 已知方程的两根为,求一个一元二次方程,使它两根为和。分析: 所求方程,只要求出的值即可,转化成例2类型了。解: 设所求一元二次方程为为方程的两根由韦达定理又名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 11 页 -
8、 - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载所求一元二次方程为即:点 拨 : 应 用 根 系 关 系 构 造 方 程 , 如 果 方 程 有 两 实 根, 那 么 方 程 为,当为分数时,往往化成整系数方程。总结扩展1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关系,是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具,必须熟记,为进一步使用打下基础。2. 以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导,向学生展示认识事物的一般规律,提倡积极思维,勇于探索的精神,借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。3. 本节课学习了根与系数的关系的
9、应用,主要有如下几方面:(1)验根;( 2)已知方程的一根,求另一根;(3)求某些代数式的值;(4)求作一个新方程4. 通过根与系数的关系的应用,能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系,由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力。【模拟试题】(答题时间:40 分钟)一. 选择题。1. 已知是关于 x 的一元二次方程的一个根,则k 与另一根分别为()A. 2,-1 B. -1,2 C. -2,1 D. 1,-2 2. 已知方程的两根互为相反数,则m 的值是()A. 4 B. -4 C. 1 D. -1 3. 若方程有两根,一根大于1, 一根小于1. 则 k 的取值范围是()A. B. C. D. 4. 若方程
10、的两根中,只有一个是0,那么()A. B. C. D. 不能确定5. 方程的大根与小根之差等于()A. B. C. 1 D. 6. 以为根的,且二次项系数为1 的一元二次方程是()A. B. C. D. 二. 填空题。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载7. 关于 x 的一元二次方程的两根互为倒数,则m _。8. 已知一元二次方程两根比 2:3,则 a,b,c 之间的关系是 _。9
11、. 已知方程的两根,且,则_。10. 已知是方程的两根,不解方程可得:_,_,_。11. 已知,则以为根的一元二次方程是_ _。三. 解答题。12. 已知方程的两个实根中,其中一个是另一个的2 倍,求 m 的值。13. 已知方程的两根不解方程,求和的值。14. 已知方程的两根,求作以为两根的方程。15. 设是方程的两个实根, 且两实根的倒数和等于3,试求 m 的值。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 11 页 - - - - - - - -
12、- 优秀教案欢迎下载【试题答案】一. 选择题。 1. A 2. B 3. D 4. B 5. C 6. B 二. 填空题。7. 8. 设,则9. 或时,原方程0,故舍去,10. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 11 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载11. 由此或或所求方程或三. 解答题。12. 解: 设方程的一个根为x,另一根 2x 由根系关系知:解得:13. 解: 由题设条件名师归纳总结 精品学习资料 - - -
13、 - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 11 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载14. 解: 由题意即故所求方程是,即15. 解:由由不符合题意,舍去【励志故事】果断有一个6 岁的小男孩,一天在外面玩耍时,发现了一个鸟巢被风从树上吹掉在地,从里面滚出了一个嗷嗷待哺的小麻雀。小男孩决定把它带回家喂养。当他托着鸟巢走到家门口的时候,他突然想起妈妈不允许他在家里养小动物。于是,他轻轻地把小麻雀放在门口,急忙走进屋去请求妈妈。在他的哀求下妈妈终于破例答应了。名师归纳总结
14、 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 11 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载小男孩兴奋地跑到门口,不料小麻雀已经不见了,他看见一只黑猫正在意犹未尽舔着嘴巴。小男孩为此伤心了很久。但从此他也记住了一个教训:只要是自己认定的事情,决不可优柔寡断。这个小男孩长大后成就了一番事业,他就是华裔电脑名人王安博士。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 11 页 - - - - - - - - -