九年级数学教学大纲九年级上册九年级上册: :第二十一章一元二次方程第二十二章二次函数第二十三章旋转第二十四章圆第二十五章概率初步九年级下册九年级下册: :第二十六章反比例函数第二十七章相似第二十八章锐角三角函数第二十九章投影与视图第二十一章第二十一章一元二次方程一元二次方程1.1. 一元二次方程的定义及一般形式一元二次方程的定义及一般形式: :（1）等号两边都就是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数式 2(二次)的方程,叫做一元二次方程2）一元二次方程的一般形式:ax bxc 0(a 0)其中 a 为二次项系数,b 为一次项系数,c 为常数项注意:三个要点,只含有一个未知数;所含未知数的最高次数就是2;就是整式方程2.2. 一元二次方程的解法一元二次方程的解法(1)(1)直接开平方法直接开平方法: :2形如(xa) b(b 0)的方程可以用直接开平方法解,两边直接开平方得xa b2或者xa b,x ab注意:若 bO时向上无限伸展;当aO时开口向上; aO时,当x=b时,2ab4ac b2顶点为(,).4a2a4ac b2 y有最小值为;4a aO时,当xO时, y随x的增大而减小;对称轴左侧图象从左到右下当xb时,y随x的增大而增降,大;对称轴右侧图象从左到右上升; aO时,当x2ab时,2a九年级数学教学大纲 ab时,y随x的增大而减升,小.对称轴右侧图象从左到右下降.2a三、二次函数图象的平移三、二次函数图象的平移 1、 平移步骤:k; 将抛物线解析式转化成顶点式y axhk,确定其顶点坐标h，2k处,具体平移方法如下: 保持抛物线y ax2的形状不变,将其顶点平移到h，y=ax2向上 (k0)【或向下(k0) 【或左 (h0) 【或左 (h0) 【或下 (k0) 【或左 (h0) 【或下 (k0) 】平移 |k|个单位y=a (x-h )2+k 2、 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.四、二次函数四、二次函数y axhk与与y ax2bx c的比较的比较2从解析式上瞧,y axhk与y ax2bx c就是两种不同的表达形式,后者通过配方b 4ac b2b4acb2可以得到前者,即y ax,其中h ，.k 2a4a2a4a22九年级数学教学大纲五、二次函数五、二次函数y ax2bx c图象的画法图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数y ax2bx c化为顶点式y a(x h)2 k,确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图、 一般我们选取的五点c、以及0， c关于对称轴对称的点2h， c、与x轴的交点为:顶点、与y轴的交点0，x1， 0,x2， 0(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点)、画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点、六、二次函数六、二次函数y ax2bx c的性质的性质b4acb2b1、 当a 0时,抛物线开口向上,对称轴为x ,顶点坐标为，.2a4a2a当x bb时,y随x的增大而减小;当x 时,y随x的增大而增大;2a2a4acb2b当x 时,y有最小值.4a2ab4acb2b 2、 当a 0时,抛物线开口向下,对称轴为x ,顶点坐标为，.2a4a2a当x bb时,y随x的增大而增大;当x 时,y随x的增大而减小;2a2a4acb2b当x 时,y有最大值.4a2a七、二次函数解析式的表示方法七、二次函数解析式的表示方法1、 一般式:y ax2bx c(a,b,c为常数,a 0);2、 顶点式:y a(x h)2 k(a,h,k为常数,a 0);3、 两根式:y a(x x1)(x x2)(a 0,x1,x2就是抛物线与x轴两交点的横坐标)、注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b24ac 0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化、八、二次函数的图象与各项系数之间的关系八、二次函数的图象与各项系数之间的关系九年级数学教学大纲 1、 二次项系数a二次函数y ax2bx c中,a作为二次项系数,显然a 0. 当a 0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大; 当a 0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.总结起来,a决定了抛物线开口的大小与方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.2、 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴. 在a 0的前提下,当b 0时,b0,即抛物线的对称轴在y轴左侧;2a当b 0时,b0,即抛物线的对称轴就就是y轴;2ab0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.2a当b0时, 在a 0的前提下,结论刚好与上述相反,即当b 0时,b0,即抛物线的对称轴在y轴右侧;2a当b 0时,b0,即抛物线的对称轴就就是y轴;2ab0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.2a当b0时,总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置. 3、 常数项c 当c 0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; 当c 0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;九年级数学教学大纲 当c 0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之,只要a， b， c都确定,那么这条抛物线就就是唯一确定的.二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1、 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2、 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3、 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4、 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.九、二次函数图象的对称九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1、 关于x轴对称y ax2bx c关于x轴对称后,得到的解析式就是y ax2bx c;y axhk关于x轴对称后,得到的解析式就是y axhk; 2、 关于y轴对称y ax2bx c关于y轴对称后,得到的解析式就是y ax2bx c;22y axhk关于y轴对称后,得到的解析式就是y axhk; 3、 关于原点对称y ax2bx c关于原点对称后,得到的解析式就是y ax2bx c;22九年级数学教学大纲y axhk关于原点对称后,得到的解析式就是y ax h k;22 4、 关于顶点对称b2y ax bx c关于顶点对称后,得到的解析式就是y ax bxc;2a22y axhk关于顶点对称后,得到的解析式就是y ax h k.n对称 5、 关于点m，22n对称后,得到的解析式就是y ax h 2m 2n ky axhk关于点m，22根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化 ,因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上就是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程十、二次函数与一元二次方程: :1、 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):一元二次方程ax2bx c 0就是二次函数y ax2bx c当函数值y 0时的特殊情况、图象与x轴的交点个数:0，Bx2， 0(x1 x2),其中的x1，x2就 当 b24ac 0时,图象与x轴交于两点Ax1，b24ac是一元二次方程ax bx c 0a 0的两根.这两点间的距离AB x2 x1、a2 当 0时,图象与x轴只有一个交点; 当 0时,图象与x轴没有交点、1当a 0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y 0;2当a 0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y 0.2、 抛物线y ax2bx c的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);3、 二次函数常用解题方法总结: 求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;九年级数学教学大纲 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; 根据图象的位置判断二次函数y ax2bx c中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合; 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求与已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标、 与二次函数有关的还有二次三项式 ,二次三项式ax2bx c(a 0)本身就就是所含字母x的二次函数;下面以a 0时为例,揭示二次函数、二次三项式与一元二次方程之间的内在联系: 0抛 物 线 与x二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根轴有两个交点 0抛 物 线 与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根 0抛 物 线 与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根、十一、实际问题与二次函数十一、实际问题与二次函数1.利用二次函数求几何图形面积的最值问题2.利用二次函数求最大利润问题3.建立适当的坐标系解决实际问题4.利用二次函数解决图形运动问题第二十三章旋转第二十三章旋转一、图形的旋转一、图形的旋转1、图形旋转有关的概念九年级数学教学大纲2、旋转的性质及其应用3、图形旋转的作图步骤4、旋转、平移与轴对称的异同点5、利用旋转巧添辅助线解题6、旋转问题中的常见图形二、中心对称二、中心对称1.中心对称的概念2.中心对称的性质3.中心对称的作图方法4.中心对称图形5.关于原点对称的点的坐标6.中心对称与中心对称图形的区别与联系7.对称图形在平面直角系中的综合应用第二十四章圆第二十四章圆一、圆的概念一、圆的概念集合形式的概念: 1、 圆可以瞧作就是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以瞧作就是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以瞧作就是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就就是以定点为圆心,定长为半径的圆;固定的端点 O 为圆心。
连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹就是这条线段的垂直平分线;九年级数学教学大纲3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹就是这个角的平分线;4、 到直线的距离相等的点的轨迹就是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、 到两条平行线距离相等的点的轨迹就是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系1、点在圆内d r点C在圆内;2、点在圆上d r点B在圆上;3、点在圆外d r点A在圆外;三、直线与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离d r无交点;2、直线与圆相切d r有一个交点;3、直线与圆相交d r有两个交点;ArBdCdOrdd=rrd四、圆与圆的位置关系四、圆与圆的位置关系外离(图 1)无交点d Rr;外切(图 2)有一个交点d Rr;相交(图 3)有两个交点Rr d Rr;内切(图 4)有一个交点d Rr;内含(图 5)无交点d Rr;九年级数学教学大纲dR图1rRdr图2dR图3r五、垂径五、垂径垂径定理 :分弦所对推论 1:(1)图4dR定理定理rdrR垂直于弦的弧。
平 分 弦图5的直径平分弦且平(不就是直径 )的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条。