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1、2 2 标准正交基标准正交基标准正交基标准正交基3 3 同构同构同构同构4 4 正交变换正交变换正交变换正交变换1 1 定义与基本性质定义与基本性质定义与基本性质定义与基本性质6 6 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形88酉空间介绍酉空间介绍酉空间介绍酉空间介绍7 7 向量到子空间的向量到子空间的向量到子空间的向量到子空间的 距离距离距离距离 最小二乘法最小二乘法最小二乘法最小二乘法小结与习题小结与习题小结与习题小结与习题第九章第九章 欧氏空间欧氏空间5 5 子空间子空间子空间子空间 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形9.6 对称矩阵
2、的标准形对称矩阵的标准形一、实对称矩阵的一些性质一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵四、实二次型的主轴问题四、实二次型的主轴问题 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形一、一、实对称矩阵的一些性质实对称矩阵的一些性质引理引理1 1 设设A是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数的特征值皆为实数证：设证：设 是是A的任意一个特征值，则有非零向量的任意一个特征值，则有非零向量满足满足 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形其中其中 为为 的共轭复数，的共
3、轭复数，令令又由又由A实对称，有实对称，有 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形由于是非零复向量，必有由于是非零复向量，必有故故 考察等式，考察等式， 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形引理引理2 2 设设A是实对称矩阵，在是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间维欧氏空间 上上定义一个线性变换如下：定义一个线性变换如下：则对任意有则对任意有 或或 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形证：取证：取 的一组标准正交基，的一组标准正交基，则在基则在基 下的矩阵为下的矩阵为A，即，即任取任取 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准
4、形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形即即于是于是又又 是标准正交基，是标准正交基， 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形即有即有又注意到在又注意到在 中中 二、二、对称变换对称变换1 1定义定义则称为则称为对称变换对称变换设为欧氏空间设为欧氏空间V中的线性变换，如果满足中的线性变换，如果满足 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形1）n维欧氏空间维欧氏空间V的对称变换与的对称变换与n级实对称矩阵在级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：标准正交基下是相互确定的： 2 2基本性质基本性质 实对称矩阵可确定一个对称变换实对称矩阵可确定一个对称变换
5、 一组标准正交基一组标准正交基事实上，设事实上，设为为V的的定义定义V的线性变换：的线性变换：则即为则即为V的对称变换的对称变换 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵为为V的一组标准正交基，的一组标准正交基，事实上，设为事实上，设为n维欧氏空间维欧氏空间V上的对称变换，上的对称变换，为为在这组基下的矩阵，即在这组基下的矩阵，即或或 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形于是于是即即所以所以A为对称矩阵为对称矩阵由是对称变换，有由是对称变换，有 对称矩阵的标准形
6、对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形2）（）（引理引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间它的不变子空间对对 任取任取即即 证明：设是对称变换，证明：设是对称变换，W为的不变子空间为的不变子空间 要证要证即证即证由由W是是 子空间，有子空间，有因此因此故故 也为的不变子空间也为的不变子空间 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形1 1( (引理引理4 4) )实对称矩阵属于不同特征值的特征向量实对称矩阵属于不同特征值的特征向量 分别是属于分别是属于 的特征向量的特征向量 则则 三、三、实对称矩阵的正交相似对角
7、化实对称矩阵的正交相似对角化是正交的是正交的 正交基下的矩阵，正交基下的矩阵，证：设实对称矩阵证：设实对称矩阵A为为 上对称变换的在标准上对称变换的在标准是是A的两个不同特征值的两个不同特征值 ，由由 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形又又即即 正交正交( (定理定理7 7) )对对 总有正交矩阵总有正交矩阵T，使，使有有即即 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形证：设证：设A为为 上对称变换在标准正交基下的矩阵上对称变换在标准正交基下的矩阵由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证有有n个
8、特征向量作成的标准正交基即可个特征向量作成的标准正交基即可n=1时，结论是显然的时，结论是显然的 对对 的维数的维数n用归纳法用归纳法 有一单位特征向量有一单位特征向量 ，其相应的特征值为，其相应的特征值为 ，即，即假设假设n1时结论成立，对时结论成立，对 设其上的对称变换设其上的对称变换 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形设子空间设子空间显然显然W是是 子空间，子空间，则则 也是也是 子空间，且子空间，且 又对有又对有所以是所以是 上的对称变换上的对称变换由归纳假设知由归纳假设知 有有n1 个特征向量个特征向量构成构成 的一组标准正交基的一组标准正交基 对称矩阵
9、的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形从而就是从而就是 的一组标准正交基，的一组标准正交基，又都是又都是 的特征向量的特征向量 即结论成立即结论成立3实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设设 (i) 求出求出A的所有不同的特征值：的所有不同的特征值：其重数其重数 必满足必满足 ; (ii) 对每个对每个 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形求出它的一个基础解系：求出它的一个基础解系：它是它是A的属于特征值的属于特征值 的特征子空间的特征子空间 的一组基的一组基正交基正交基把它们按把它
10、们按 正交化过程化成正交化过程化成 的一组标准的一组标准(iii) 因为因为 互不相同，互不相同，且且就是就是V的一组的一组标准正交基标准正交基所以所以 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形则则T是正交矩阵，且是正交矩阵，且将将的分量依次作的分量依次作矩阵矩阵T的第的第1，2，n列，列，使使 为对角形为对角形例例1设设 求一正交矩阵求一正交矩阵T使使 成对角形成对角形 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形解：先求解：先求A的特征值的特征值A的特征值为的特征值为 （三重）（三重）, 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的
11、标准形其次求属于其次求属于 的特征向量，即求解方程组的特征向量，即求解方程组得其基础解得其基础解 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形把它正交化，得把它正交化，得 再单位化，得再单位化，得 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形这是特征值这是特征值 (三重三重)的三个单位正交特征向量，的三个单位正交特征向量，也即是特征子空间也即是特征子空间 的一组标准正交基的一组标准正交基 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形再求属于再求属于 的特征向量，即解方程组的特征向量，即解方程组得其基础解得其基础解 对称矩阵的标准形对称
12、矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形再单位化得再单位化得 这样这样 构成构成 的一组标准正交基，它们的一组标准正交基，它们都是都是A的特征向量，正交矩阵的特征向量，正交矩阵 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形使得使得 注：注：成立的正交矩阵不是唯一的成立的正交矩阵不是唯一的 对于实对称矩阵对于实对称矩阵A，使，使而且对于正交矩阵而且对于正交矩阵T, 还可进一步要求还可进一步要求 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T取正交矩阵取正交矩阵则则 是正交矩阵且是正
13、交矩阵且同时有同时有 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形 如果不计较主对角线上元素的如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与排列的次序，与实对称矩阵实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的正交相似的对角矩阵是唯一确定的 因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：设设 为实对称矩阵为实对称矩阵A的所有特征值的所有特征值(i) A为正定的为正定的(ii) A为半正定的为半正定的(iii) A为负定（半负定）的为负定（半负定）的 对称矩阵的标准形对称矩
14、阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形(iv) A为不定的为不定的且且 实对称矩阵实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特的正、负惯性指数分别为正、负特特征值的个数（重根按重数计）特征值的个数（重根按重数计）n秩秩(A)是是0为为A的特征值的重数的特征值的重数. 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形1解析几何中主轴问题解析几何中主轴问题将将 上有心上有心 二次曲线或二次曲线或 上有心二次曲面通过坐标上有心二次曲面通过坐标的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵.四、实二次型的主轴问题四、实二次型的主轴问题2任意任意n
15、元实二次型的正交线性替换化标准形元实二次型的正交线性替换化标准形1）正交线性替换正交线性替换如果线性替换如果线性替换X=CY的矩阵的矩阵C是正交矩阵，则称之为是正交矩阵，则称之为正交线性替换正交线性替换. 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形2）任一任一n元实二次型元实二次型 都可以通过正交的线性替换都可以通过正交的线性替换 变成平方和变成平方和 其中平方项的系数其中平方项的系数 为为A的全部特征值的全部特征值 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形例例2、在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是、在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是 （1）
16、（2） 则（则（1）式可以写成）式可以写成 令令 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对（对（2）中的）中的 有正交矩阵有正交矩阵C（且（且 ）确定的坐标变换公式确定的坐标变换公式 曲面（曲面（1）的方程化成）的方程化成 这样由（这样由（2）知道经过由）知道经过由 的坐标轴旋转，的坐标轴旋转，或或 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形其中其中 这时，再按这时，再按 是否为零，作适当的坐标轴的是否为零，作适当的坐标轴的平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程如当如当全不为零时，作平移全不为零时，作平移 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形曲面方程（曲面方程（1）可以化为）可以化为 其中其中矆逥濑稰偵隻矻珷鉚鹠骡條噗霤楤黼踉勞珙龚鉃騁侠厵莔脛袣镪躽遜聝别霹鎍蛫琱饸崼虯詶縸鹗嬛齺叮倔鄾霵鲖錩壸陶瑭墪图覫閺樔潺捦懃膏萜潈樦鰁冨狂鞍疥囡穸亭憧鑒畼鎎鷥啴蠳莞榃魥绁隸恍賉驫袣玅嫶覂蝧落柒嶜谰滑耔侞毟籵炉頯齝僪帖枨錙秋転璁贛逬勳菙眃鼎荊袀咩拁埙迒綌蚊愕煚剥璙箧蟊襀忎斱钃现茗桵侹玹电縰
