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1、第六节第六节 曲面曲面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、柱面和旋转曲面二、柱面和旋转曲面三、空间曲线及其方程三、空间曲线及其方程四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影五、五、空间区域在坐标面上的投影空间区域在坐标面上的投影水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念由几何特征确定曲面方程由几何特征确定曲面方程特殊地：特殊地：球心在原点时方程为球心在原点时方程为研究空间曲面有研究空间曲面有两个基
2、本问题两个基本问题：(1) 已知曲面作为满足某些条件的点集，求曲已知曲面作为满足某些条件的点集，求曲面方程；面方程；(2) 已知曲面方程，研究曲面形状已知曲面方程，研究曲面形状.二、柱面与旋转曲面二、柱面与旋转曲面1、柱面、柱面（cylinder）播放播放观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:定义定义 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线C 叫叫柱面的柱面的准线准线，动，动直线直线 L 叫柱面的叫柱面的母线母线.例如：例如：圆柱面圆柱面 抛物柱面抛物柱面 椭圆柱面椭圆柱面(4) 平面平面 柱
3、面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面椭圆柱面双曲柱面双曲柱面抛物柱面抛物柱面 母线母线 / 轴轴 母线母线/ 轴轴 母线母线/ 轴轴 例例 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？解解平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中斜率为斜率为1的直线的直线方程方程2、旋转曲面（、旋转曲面（surface of revolution）定义定义 平面上的曲线平面上的曲线C C绕该平面上的一条定绕该平面上的一条定直线旋
4、转一周所成的直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面曲面称为旋转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴,曲线曲线C称为称为母线母线.播放播放例如：球面例如：球面点点M到到z轴的距离轴的距离得方程得方程 yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕绕z轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程. yoz 坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 绕绕 z 轴轴旋转一周旋转一周 的的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 yoz 坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 绕绕 y 轴轴旋转一周旋转一周 的的旋转曲面方程旋转曲面方程为为例例1 1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求
5、将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面双叶双曲面双叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面 xyoz旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面zxyoxyzo例例5 5 下列方程所表示的曲面是否是旋转曲面，下列方程所表示的曲面是否是旋转曲面，若是，指明其是如何形成的若是，指明其是如何形成的.给出一个方程也要会判断它是否表示旋转给出一个方程也要会判断它是否表示旋转面面, 及旋转曲面是如何形成的及旋转曲面是如何形成的.解解 绕绕z轴旋转，故圆锥面方程为轴旋转，故圆锥面方程为圆锥面圆锥面空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程
6、 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上（不在曲线上的点曲线上（不在曲线上的点不能同时满足两个方程）不能同时满足两个方程）.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：三、空间曲线及其方程三、空间曲线及其方程1、空间曲线的一般方程、空间曲线的一般方程空间曲线空间曲线例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线表示怎样的曲线？解解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.空间曲线的参数方程空间
7、曲线的参数方程2、空间曲线的参数方程、空间曲线的参数方程 动点从动点从A点出发点出发，经过，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度螺距螺距如何将曲线如何将曲线 的一般的一般方程：方程： (*)(*)化为参数方程？化为参数方程？(1) (1) 先先从从一一般般方方程程(*)(*)中中消消去去某某个个变变量量，比比如如z，得得方方程程H( (x, ,y)=0)=0，写写
8、出出该该方方程程在在xOy面面的的参参数数方方程程x= =x( (t) )，y= =y( (t).).再再把把x= =x( (t) )，y= =y( (t) )代代入入(*)(*)中中的的某某个个方方程程解解出出z= =z( (t) )，最最后后在在确确定定t的的变变化化区区间间，就就得得到到了曲线的参数方程了曲线的参数方程. . 例例5 5、把曲线、把曲线 用参数方程表示用参数方程表示. .(2) (2) 在一些特殊情形，在一些特殊情形，(*)(*)中的某个方程是不完中的某个方程是不完全三元方程全三元方程( (即方程中缺了一个未知量即方程中缺了一个未知量) )，则可先，则可先将这个方程化为参
9、数方程，再将所得结果代入将这个方程化为参数方程，再将所得结果代入(*)(*)中的另一个方程，即可求得曲线的参数方程中的另一个方程，即可求得曲线的参数方程. .例例6 6、将曲线、将曲线 化为参数方程化为参数方程. .消去变量消去变量z后得：后得：曲线曲线 对对 xOy面面的的投影柱面投影柱面设空间曲线设空间曲线 的一般方程为：的一般方程为：投影柱面的投影柱面的特征特征：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影 以空间曲线以空间曲线 为准线，母线垂直于为准线，母线垂直于 xOy 面的柱面的柱面叫做面
10、叫做曲线对曲线对 xOy 面面的的投影柱面投影柱面空间曲线空间曲线 在在xOy面面上的上的投影曲线投影曲线投影曲线的研究过程的例子投影曲线的研究过程的例子 .空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面曲线曲线 在在 yoz 面上的面上的投影柱面投影柱面和和投影曲线投影曲线：曲线曲线 在在 zox面上的面上的投影柱面投影柱面和和投影曲线投影曲线：类似地：可定义空间曲线类似地：可定义空间曲线 ： 在其他坐标面上的投影柱面和投影曲线在其他坐标面上的投影柱面和投影曲线.例例1 求曲线求曲线 在在 xoy 面的投影柱面面的投影柱面 及投影曲线方程及投影曲线方程. .例例2 求曲线求曲线 在在 xo
11、y 面及面及 yoz 面的投影曲线方程面的投影曲线方程. .例例3以曲线以曲线 为准线为准线, 母线平母线平 行于行于z 轴的柱面方程轴的柱面方程. .例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影.解解（1）消去变量）消去变量z后得后得在在 面上的投影为面上的投影为所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，截线方程为截线方程为解解如图如图,空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空空间间立立体体曲曲面面五、空间区域在坐标面上的投影五、空间区域在
12、坐标面上的投影例例1解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为一个圆一个圆,求两求两曲面所围立体曲面所围立体(即空间区域即空间区域)在坐标面在坐标面的投影区域的一般方法：的投影区域的一般方法： (1) 求求两两曲面的交线方程在坐标面的投影曲面的交线方程在坐标面的投影柱面方程，柱面方程， (2) 将将(1)中所得方程与坐标面方程联立，中所得方程与坐标面方程联立，得两曲面的交线方程在坐标面的投影曲线方程，得两曲面的交线方程在坐标面的投影曲线方程， (3) 投影曲线在坐标面所围成的闭区域投影曲线在坐标面所围成的闭区域.例例2 求由曲线求由曲线 绕绕 轴旋转一周而成轴旋转一周而成的的曲面曲面 夹在平
13、面夹在平面 与平面与平面 之间的之间的部分在部分在 面的投影区域面的投影区域 . . 例例3 求上半球求上半球与圆柱体与圆柱体的公共部分在的公共部分在XOY面和面和XOZ面上的投影。面上的投影。解：解：曲面曲面的交线在的交线在XOY面上的投影为面上的投影为所围立体在所围立体在XOY面上的投影为面上的投影为由由消去消去y，可得可得交线在交线在XOZ面上的投影为：面上的投影为：因此，所围立体在因此，所围立体在XOZ面上的投影为：面上的投影为：a.xyozz = 0axyzo。维望尼曲线维望尼曲线维望尼曲线维望尼曲线。D 1.六、小结六、小结1、曲面方程的概念、曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转
14、曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线).2、空间曲线的一般方程、参数方程、空间曲线的一般方程、参数方程3、空间曲线在三个坐标面上的投影柱面、空间曲线在三个坐标面上的投影柱面 和投影直线和投影直线思考题思考题1方程方程表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？思考题思考题2思考题思考题1解答解答表示双曲线表示双曲线.思考题思考题2解答解答交线方程为交线方程为在在 面上的投影为面上的投影为四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面
15、、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面. (二次项系数不全为 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1. 椭球面椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆机动 目录 上页 下页 返回 结束 与的交线为椭圆：(4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 抛物面抛物面(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.( p , q 同号)机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面椭圆.时
16、, 截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线: 虚轴平行于x 轴）时, 截痕为时, 截痕为(实轴平行于z 轴;机动 目录 上页 下页 返回 结束 相交直线: 双曲线: (2) 双叶双曲面双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18 目录 上页 下页 返回 结束 图形图形4. 椭圆锥面椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到, 见书 P316 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如, 曲线绕 z 轴的旋转曲面: 柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 斜率为1的直线平面解析几何
