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1、第一章 误差1 问，分别作为的近似值各具有几位有效数字分析 利用有效数字的概念可直接得出。解 = 592 65记x1=，x2=，x3=.由- x1= 59= 40知 因而x1具有4位有效数字。由- x2= 59= 59知 因而x2具有3位有效数字。由-= 59 85= 26知 因而x3具有3位有效数字。2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。解 利用有效数字与相对误差的关系。这里n=2,a1是1到9之间的数字。 3 已知近似数的相对误差限为%，问x*至少有几位有效数字分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。解 a1是1到9间的数字。设x
2、*具有n位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。4 计算，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于%。分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。解 设取n位有效数字，由=，故a1=9。 解不等式知取n=4即可满足要求。5 计算，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。解 810-2-0.131 610-2=10-5结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的扩大，若通分后再计算： 就得到4位有效数字的结果。此例说明，在数值计算中，要特别注意两相近数作减法运算时，有效数字常会严重损失，遇到这种情况，一般采取两种办法：第一，应多留几位有效数字；第二，将算式恒等
3、变形，然后再进行计算。例如，当x接近于0，计算时，应先把算式变形为 再计算。又例如，当x充分大时，应作变换6 计算，取，采用下列算式计算：（1）；（2）；（3）；（4）.问哪一个得到的结果最好解 显然所以（1）（2）（3）（4），这4个算式是恒等的，但当取计算时，因为（2），（3）都涉及到两个相近数相减，使有效数字损失，而（1）在分母算式上的乘幂数比算式（4）大，所以算式（4）最好，事实上，当取时，有|x|4|ac|的情形时，有，则用上述公式求出的两个根中，总有一个因用了两个相近的近似数相减而严重不可靠，如本例若在能将规格化的数表示到小数点后8位的计算机上进行计算，则-b=109+1=1010
4、+ 000 00011010，由于第二项最后两位数“01”在机器上表示不出来，故它在上式的计算中不起作用，即在计算机运算时，-b=109.通过类似的分析可得 所以，求得的两个根分别为 显然，根x2是严重失真的。为了求得可靠的结果，可以利用根与系数的关系式：，在计算机上采用如下公式： 其中，sgn（b）是b的符号函数，当b0时sgn（b）=1；当b0时，sgn（b）=-1。显然，上述求根公式避免了相近数相减的可能性。8 当N充分大时，如何计算分析 函数的原函数已知，我们自然考虑用Newton-Leibniz公式求这个定积分的值。由于N很大，这样会遇到两个相近的数相减，因此，应采用一些变换公式来避
5、免这种情况。解 若用定积分的Newton-Leibniz公式计算此题，有，则当N充分大时，因为arctan（N+1）和arctanN非常接近，两者相减会使有效数字严重损失，从而影响计算结果的精度，这在数值计算中是要尽量避免的，但是通过变换计算公式，例如：令tan1=N+1, tan2=N，则由,得 就可以避免两相近数相减引起的有效数字损失，从而得到较精确的结果。所以，当N充分大时，用计算积分的值较好。9 计算积分.分析 数值计算中应采用数值稳定的算法，因此在建立算法时，应首先考虑它的稳定性。解 利用分部积分法，有得递推公式： （1） 利用公式（1）计算In，由于初值I0有误差，不妨设求I0的近
6、似值时有大小为的误差，即则由递推公式（1）得显然初始数据的误差是按n!的倍数增长的，误差传播得快，例如当n=10时，10！106,，这表明I10时已把初始误差扩大了很多倍，从而的误差已把I10的真值淹没掉了，计算结果完全失真。但如果递推公式（1）改成 于是，在从后往前计算时，In的误差减少为原来的，所以，若取n足够大，误并逐步减小，显然，计算的结果是可靠的。所以，在构造或选择一种算法时，必须考虑到它的数值稳定性问题，数值不稳定的算法是不能使用的。10 为了使计算 的乘除法运算次数尽量地少，应将表达式改写为怎样的形式解 设在数值计算中，应注意简化运算步骤，减少运算次数，使计算量尽可能小。11若x
7、*=是x的具有六位有效数字的近似值，求x的绝对误差限。12为使的近似值的相对误差小于，问查开方表时，要取几位有效数字13利用四位数学用表求x=1-cos2的近似值，采用下面等式计算：（1）1-cos2（2）2sin21问哪一个结果较好14求方程x2-56x+1=0的两个根，使它至少具有四位有效数字（已知）。15数列满足递推公式 若取(三位有效数字)，问按上述递推公式，从x0计算到x10时误差有多大这个计算过程稳定吗16如果近似值的相对误差限小于，证明：这个数具有n位有效数字。第二章 插值法与数值微分1 已知，试利用插值法近似计算。分析 由题中已知条件本题可利用三点二次Lagrange插值，也可
8、利用三点二次Newton插值，它们所得结果相同。解 利用三点二次Lagrange插值。记，则的二次Lagrange插值多项式为 因为， 所以 2 已知的函数表xi012yi8-18求函数在0,2之间的零点的近似值。分析 一般情况下，先求出在0，2上的插值函数，然后求的零点，把此零点作为的近似零点。特别地，若的反函数存在，记为，那么求的零点问题就变成求函数值的问题了，利用插值法构造出的插值函数，从而求出的零点的近似值，这类问题称为反插值问题，利用反插值时，必须注意反插值条件，即函数必须有反函数，也即要求单调。本题是严格单调下降排列，可利用反插值法。解 将原函数表变成反函数表yi8-18xi012
9、利用三点二次Lagrange插值，由上反函数表构造的反函数的二次Lagrange插值多项式。令，则的二次Lagrange插值多项式为 函数的近似零点为 3 设，试用Lagrange插值余项定理写出以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式。解 设以-1，0。1，2为插值节点的三次Lagrange插值多项式为，由Lagrange插值余项定理有 因而 4 设是以为节点的Largange插值基函数，试证：（1）.（2）.（3）. （4） 分析 本题是关于Lagrange插值基函数的性质问题，观察要证明的结论，应考虑对常数1和进行插值入手，通过插值余项为0得到结论。证 （1）设,则以为插值节点的n次
10、Lagrange插值多项式为 由插值余项定理知 从而 即 （2）设则以为插值节的n次Lagrange插值多项式为 由插值余项定理知 从而即（2）设，则以为插值节点的n次Lagrange插值多项式为 由插值余项定理 从而 即（3）将按二项式展开，得 代入左端，得 利用（2）的结论，有（4）当时，由（2）的结论知 当时，令，有以为插值节点的n次Lagrange插值多项式为 由插值余项定理知 从而即 令，有 5 设，且，求证 分析 本章内容是代数插值，而题设，易知若用线性插值，线性插值函数只能为0，且误差为，这样利用余项估计式可直接把与联系起来。证 以a,b为插值节点进行线性插值，其线性插值多项式为 线性插值余项为 从而 由于在处取最大值，故 6 证明：由下列插值条件012-103所确定的Lagrange插值多项式是一个二次多项式，该例说明了什么问题分析 本题是关于Lagrange插值问题，由已知数据表构造Lagrange插值多项式便可得出结论。解 令 以为插值节点作的二次插值多项式，则 易验证，因而满足插值条件
