高中物理力学竞赛随谈课件

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1、力学力学高中物理力学竞赛随谈高中物理力学竞赛随谈南京市金陵中学南京市金陵中学 朱焱朱焱 2009.7.19.力学力学对高中物理竞赛辅导工作的看法对高中物理竞赛辅导工作的看法组织安排、教学相长组织安排、教学相长立足实际、保护兴趣立足实际、保护兴趣训练适度、益于高考训练适度、益于高考力学力学运动学运动学 参照系，质点运动的位移和路程，速度，加速度。参照系，质点运动的位移和路程，速度，加速度。 相对速度。相对速度。 矢量和标量。矢量的合成和分解。矢量和标量。矢量的合成和分解。 匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。 抛体运动。圆周运动。抛体运动。圆周运动。

2、刚体刚体的平动和绕定轴的转动。的平动和绕定轴的转动。高中物理力学竞赛涉及的主要内容高中物理力学竞赛涉及的主要内容牛顿运动定律牛顿运动定律 力学中常见的几种力力学中常见的几种力 牛顿第一、二、三运动定律。牛顿第一、二、三运动定律。非惯性参照系。非惯性参照系。 万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点的引力万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点的引力 公式公式 。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。力学力学物体的平衡物体的平衡 共点力作用下物体的平衡。力矩。共点力作用下物体的平衡。力矩。刚体的平衡。刚体的平衡。 重心。物体平衡的种类。重心。物体平衡的种类。动量动量 冲

3、量。动量。动量定理。冲量。动量。动量定理。 动量守恒定律。动量守恒定律。 反冲运动及火箭。反冲运动及火箭。机械能机械能 功和功率。动能和动能定理。功和功率。动能和动能定理。 重力势能。重力势能。引力势能。质点及均匀球壳壳内和引力势能。质点及均匀球壳壳内和 壳外的引力势能公式。壳外的引力势能公式。 弹簧的弹性势能。弹簧的弹性势能。 功能原理。机械能守恒定律。功能原理。机械能守恒定律。 碰撞。碰撞。力学力学机械振动机械振动 简揩振动。振幅。频率和周期。位相。简揩振动。振幅。频率和周期。位相。 振动的图象。振动的图象。 参考圆。振动的速度和加速度。参考圆。振动的速度和加速度。 由动力学方程确定简谐振

4、动的频率。由动力学方程确定简谐振动的频率。 阻尼振动。受迫振动和共振（定性了解）。阻尼振动。受迫振动和共振（定性了解）。波和声波和声 横波和纵波。波长、频率和波速的关系。横波和纵波。波长、频率和波速的关系。 波的图象。波的图象。 波的干涉和衍射（定性）。波的干涉和衍射（定性）。 声波。声音的响度、音调和音品。声音的共鸣。声波。声音的响度、音调和音品。声音的共鸣。流体静力学流体静力学 静止流体中的压强。静止流体中的压强。 浮力。浮力。力学力学物系相关（连接体）的速度求解物系相关（连接体）的速度求解非惯性系和惯性力的意义非惯性系和惯性力的意义费马原理、追及和相遇模型费马原理、追及和相遇模型有关天体

5、运动的处理有关天体运动的处理关于简谐运动问题关于简谐运动问题关于质量均匀分布的球壳（球体）内引力计算关于质量均匀分布的球壳（球体）内引力计算高中物理力学竞赛要点拾零高中物理力学竞赛要点拾零力学力学 材料材料11质量分别为质量分别为m m1 1，m m2 2和和m m3 3的三个质点的三个质点A A、B B、C C位位于光滑水平桌面上，用已经拉直的不可伸长的柔软轻于光滑水平桌面上，用已经拉直的不可伸长的柔软轻绳绳ABAB和和BCBC连接。其中连接。其中ABCABC为为 ，其中，其中 为锐角。为锐角。今有一冲量今有一冲量I I沿沿BCBC方向作用于质点方向作用于质点C C，求质点，求质点A A开始

6、运开始运动时的速度。动时的速度。ABC话题话题1 物系相关（连接体）速度求解方法物系相关（连接体）速度求解方法I力学力学 材料材料22绳子一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为绳子一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为R R，放在与水平面成，放在与水平面成 角的光滑斜面上，如图所示。当角的光滑斜面上，如图所示。当绳子变为竖直方向时，圆筒转动角速度为绳子变为竖直方向时，圆筒转动角速度为 （此时绳子未（此时绳子未松弛），试求此刻圆筒轴松弛），试求此刻圆筒轴O O的速度、圆筒与斜面切点的速度、圆筒与斜面切点C C的的速度。（全俄中学奥赛试题）速度。（全俄中学奥赛试题）CO力学力学 材料材料33直线直

7、线ABAB以大小为的速度沿垂直于以大小为的速度沿垂直于ABAB方向向上移动，方向向上移动，而直线而直线CDCD以大小的速度沿垂直于以大小的速度沿垂直于CDCD的方向向左上方移动，的方向向左上方移动，两条直线夹角为两条直线夹角为 ，如图。求他们交点，如图。求他们交点P P的速度大小与方的速度大小与方向。向。ABCDP是否为是否为v1和和v2的矢量合成呢？的矢量合成呢？力学力学（1 1）由杆或绳约束的物系各点速度）由杆或绳约束的物系各点速度（2 2）接触物系接触点的速度）接触物系接触点的速度（3 3）相交物系交叉点的速度）相交物系交叉点的速度同一时刻必须具有相同的沿杆或绳的分速度同一时刻必须具有相

8、同的沿杆或绳的分速度沿接触物法向的分速度必须相同，沿接触物法向的分速度必须相同，无相对滑动时，切向分速度也相同无相对滑动时，切向分速度也相同相交双方沿对方直线方向运动的相交双方沿对方直线方向运动的合运动合运动力学力学【例例1 1】质量分别为质量分别为m m1 1，m m2 2和和m m3 3的三个质点的三个质点A A、B B、C C位位于光滑水平桌面上，用已经拉直的不可伸长的柔软轻于光滑水平桌面上，用已经拉直的不可伸长的柔软轻绳绳ABAB和和BCBC连接。其中连接。其中BCBC为为 ，其中，其中 为锐角。为锐角。今有一冲量今有一冲量I I沿沿BCBC方向作用于质点方向作用于质点C C，求质点，

9、求质点A A开始运开始运动时的速度。动时的速度。【分析分析】 设质点设质点A A开始运动时运动开始运动时运动 速度为速度为v v，ABAB绳中的冲量为绳中的冲量为I I2 2, , BCBC绳中的冲量为绳中的冲量为I I1 1, ,对对A A球，球，I I2 2m m1 1vv对对B B球，球，I I1 1coscosI I2 2m m2 2vv对对B B球，球，I I1 1I I2 2coscosm m2 2v v设质点设质点C C开始运动时运动速度为开始运动时运动速度为v v，对对C C球，球，I II I1 1m m3 3v v力学力学【演变演变】在光滑水平面上有四个等质量小球在光滑水平

10、面上有四个等质量小球A A、B B、C C、D D，以质量不计、不可伸长的以质量不计、不可伸长的1 1、2 2、3 3三条细线相连。最初，细三条细线相连。最初，细线刚好张直，如图所示，其中线刚好张直，如图所示，其中ABCABCBCDBCD120120。今对。今对A A球施以一个沿着球施以一个沿着BABA方向的瞬时冲量，使方向的瞬时冲量，使A A球获得瞬时速度球获得瞬时速度u u后，四球同时开始运动，试求开始运动时球后，四球同时开始运动，试求开始运动时球D D的速度。的速度。设四球开始运动时球设四球开始运动时球D D的速度为的速度为v v, ,则细线则细线3 3中的冲量为中的冲量为mvmv, ,

11、分析分析CDCD整体，细线整体，细线2 2中的冲量为中的冲量为4 4mvmv设球设球C C球沿着球沿着CBCB方向运动速度为方向运动速度为v v, ,则对则对C C球球,4,4mvmv- -mvmv/2=/2=m vm v, , v v=7 7v/v/2.2.设细线设细线1 1中的冲量为中的冲量为I,I,则则对对BCBC整体整体对对B B球球v v【分析分析】v=u/13.力学力学【例例2 2】一平面内有二根细杆一平面内有二根细杆 和和 ，各自以垂直于自己，各自以垂直于自己的速度的速度 和和 在该平面内运动，试求交点相对于纸平面在该平面内运动，试求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每根杆的速率

12、。的速率及交点相对于每根杆的速率。 ab力学力学 OAB力学力学 OAB力学力学 OAB力学力学【例例3 3】图（图（a a）中的）中的ACAC、BDBD两杆均以角速度两杆均以角速度 绕绕A A、B B两固定轴在同一竖直面内转动，转动方向如图所示。当两固定轴在同一竖直面内转动，转动方向如图所示。当t=0t=0时，时， 6060，试求，试求t t时刻两棒交点时刻两棒交点M M点的速度和点的速度和加速度。加速度。 ABCD M 图（图（a a）力学力学ABMO 图（图（b）力学力学【例例4 4】合页构件由三个菱形组成。其边长之比为合页构件由三个菱形组成。其边长之比为3 3：2 2：1 1，顶点，顶

13、点A A3 3以速度以速度v v沿水平方向向右运动，求当构件所沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点有角都为直角时，顶点B B2 2的速度的速度v vB2B2是多少？是多少？A3A1A2vB1B3B2A0力学力学（1 1）惯性参照系：牛顿第一定律实际上定义了一种参）惯性参照系：牛顿第一定律实际上定义了一种参照系，在这个参照系中观察，一个不受力作用的物体将照系，在这个参照系中观察，一个不受力作用的物体将保持静止或匀速直线运动状态，这样的参照系就叫做惯保持静止或匀速直线运动状态，这样的参照系就叫做惯性参照系，简称惯性系。由于地球在自转的同时又绕太性参照系，简称惯性系。由于地球在自转的同

14、时又绕太阳公转，所以严格地讲，地面不是一个惯性系。在一般阳公转，所以严格地讲，地面不是一个惯性系。在一般情况下，我们可不考虑地球的转动，且在研究较短时间情况下，我们可不考虑地球的转动，且在研究较短时间内物体的运动，我们可以把地面参照系看作一个足够精内物体的运动，我们可以把地面参照系看作一个足够精确的惯性系。确的惯性系。（2 2）非惯性参照系：凡牛顿第一定律不成立的参照系）非惯性参照系：凡牛顿第一定律不成立的参照系统称为非惯性参性系，一切相对于惯性参照系做加速运统称为非惯性参性系，一切相对于惯性参照系做加速运动的参照系都是非惯性参照系。在考虑地球转动时，地动的参照系都是非惯性参照系。在考虑地球转

15、动时，地球就是非惯性系。在非惯性系中，物体运动不遵循牛顿球就是非惯性系。在非惯性系中，物体运动不遵循牛顿第二定律，但在引入第二定律，但在引入“惯性力惯性力”的概念以后，就可以利的概念以后，就可以利用用牛顿第二定律的形式牛顿第二定律的形式来解决动力学问题了。来解决动力学问题了。话题话题2 非惯性系和惯性力的意义非惯性系和惯性力的意义力学力学在非惯性系中，为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的在非惯性系中，为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的动力学方程，引入惯性力的概念，引入的惯性力必须满足动力学方程，引入惯性力的概念，引入的惯性力必须满足式中式中 是质点受到的真实合力，是质点受到的真实合力， 是质

16、点相对非惯性系的是质点相对非惯性系的加速度。真实力与参照系的选取无关，惯性力是虚构的力，加速度。真实力与参照系的选取无关，惯性力是虚构的力，不是真实力。惯性力不是自然界中物质间的相互作用，因不是真实力。惯性力不是自然界中物质间的相互作用，因此不属于牛顿第三定律涉及的范围之内，它没有施力物体，此不属于牛顿第三定律涉及的范围之内，它没有施力物体，不存在与之对应的反作用力不存在与之对应的反作用力力学力学平动非惯性系相对于惯性系的加速度为平动非惯性系相对于惯性系的加速度为 。 平动非惯性系中，惯性力由非惯性系相对惯性系的加速平动非惯性系中，惯性力由非惯性系相对惯性系的加速度及质点的质量确定，与质点的位

17、置及质点相对于非惯度及质点的质量确定，与质点的位置及质点相对于非惯性系速度无关性系速度无关 力学力学匀速转动系中的惯性力匀速转动系中的惯性力如图，圆盘以角速度如图，圆盘以角速度 绕竖直轴匀速转动，在圆盘上绕竖直轴匀速转动，在圆盘上用长为用长为r r的细线把质量为的细线把质量为m m的点系于盘心且质点相对圆盘的点系于盘心且质点相对圆盘静止，即随盘一起作匀速圆周运动，以惯性系观察，质静止，即随盘一起作匀速圆周运动，以惯性系观察，质点在线拉力点在线拉力 作用下做匀速圆周运动，符合牛顿第二作用下做匀速圆周运动，符合牛顿第二定律以圆盘为参照系观察，质点受到拉力定律以圆盘为参照系观察，质点受到拉力 作用而

18、保作用而保持静止，不符合牛顿定律要在这种非惯性系中保持牛持静止，不符合牛顿定律要在这种非惯性系中保持牛顿第二定律形式不变，在质点静止于此参照系的情况下，顿第二定律形式不变，在质点静止于此参照系的情况下，引入惯性力引入惯性力力学力学 为转轴向质点所引矢量，与转轴垂直，由于这个惯性为转轴向质点所引矢量，与转轴垂直，由于这个惯性力的方向沿半径背离圆心，通常称为惯性离心力由此得力的方向沿半径背离圆心，通常称为惯性离心力由此得出：若质点静于匀速转动的非惯性参照系中，则作用于此出：若质点静于匀速转动的非惯性参照系中，则作用于此质点的真实力与惯性离心力的合力等于零质点的真实力与惯性离心力的合力等于零 惯性离

19、心力的大小，除与转动系统的角速度和质点的惯性离心力的大小，除与转动系统的角速度和质点的质量有关外，还与质点的位置有关（半径），必须指出的质量有关外，还与质点的位置有关（半径），必须指出的是，如果质点相对于匀速转动的系统在运动，则若想在形是，如果质点相对于匀速转动的系统在运动，则若想在形式上用牛顿第二定律来分析质点的运动，仅加惯性离心力式上用牛顿第二定律来分析质点的运动，仅加惯性离心力是不够的，还须加其他惯性力。如科里奥里力，科里奥利是不够的，还须加其他惯性力。如科里奥里力，科里奥利力是以地球这个转动物体为参照系所加入的惯性力，它的力是以地球这个转动物体为参照系所加入的惯性力，它的水平分量总是指

20、向运动的右侧，即指向相对速度的右侧。水平分量总是指向运动的右侧，即指向相对速度的右侧。例如速度自北向南，科里奥利力则指向西方。例如速度自北向南，科里奥利力则指向西方。力学力学这种长年累月的作用，使得北半球河流右岸的冲刷甚于左这种长年累月的作用，使得北半球河流右岸的冲刷甚于左岸，因而比较陡峭。双轨铁路的情形也是这样。在北半球，岸，因而比较陡峭。双轨铁路的情形也是这样。在北半球，由于右轨所受压力大于左轨，因而磨损较甚。南半球的情由于右轨所受压力大于左轨，因而磨损较甚。南半球的情况与此相反，河流左岸冲刷较甚，而双线铁路的左轨磨损况与此相反，河流左岸冲刷较甚，而双线铁路的左轨磨损较甚。较甚。力学力学【

21、例例5 5】如图所示，与水平面成如图所示，与水平面成角的角的ABAB棒上有一滑套棒上有一滑套C C ，可以无摩擦地在棒上滑动，开始时与棒的可以无摩擦地在棒上滑动，开始时与棒的A A端相距端相距b b ，相对，相对棒静止。当棒保持倾角棒静止。当棒保持倾角不变地沿水平面匀加速运动，加不变地沿水平面匀加速运动，加速度为速度为a a（且（且a agtggtg）时，求滑套）时，求滑套C C从棒的从棒的A A端滑出所经历端滑出所经历的时间。的时间。【分析分析】 这是一个比较特殊的这是一个比较特殊的“连接体问题连接体问题”，寻求运动，寻求运动学参量的关系似乎比动力学分析更加重要。动力学方面，学参量的关系似乎

22、比动力学分析更加重要。动力学方面，只需要隔离滑套只需要隔离滑套C C就行了。就行了。力学力学【常规解析常规解析】定性绘出符合题意的运动过程图，如图所示：定性绘出符合题意的运动过程图，如图所示：S S表示棒的位移，表示棒的位移，S S1 1表示滑套的位移。沿棒与垂直棒建直角表示滑套的位移。沿棒与垂直棒建直角坐标后，坐标后，S S1x1x表示表示S S1 1在在x x方向上的分量。不难看出：方向上的分量。不难看出：S S1x1x + b = S + b = S coscos 设全程时间为设全程时间为t t ，则有：，则有：而隔离滑套，受力图如图所示，而隔离滑套，受力图如图所示，显然：显然：mgsi

23、nmgsin= ma= ma1x1x 解解式即可。式即可。力学力学【另解另解】如果引进动力学在非惯性系中的惯性力，此如果引进动力学在非惯性系中的惯性力，此题极简单。过程如下：题极简单。过程如下：以棒为参照，隔离滑套，分析受力，如图所示。以棒为参照，隔离滑套，分析受力，如图所示。滑套相对棒的加速度滑套相对棒的加速度a a相是沿棒向上的，故动力学方程为：相是沿棒向上的，故动力学方程为：F*F*coscos- - mgsinmgsin= ma= ma相相 （1 1）其中其中F* = ma F* = ma （2 2）而且，以棒为参照，滑套的相对位移而且，以棒为参照，滑套的相对位移S S相就是相就是b

24、b ，即：，即：b = Sb = S相相 = a= a相相 t t2 2 （3 3）解（解（1 1）（）（2 2）（）（3 3）式就可以了。）式就可以了。力学力学【例例6 6】一个质量为一个质量为M M、斜面倾角为、斜面倾角为的劈的劈A A放在水平地面放在水平地面上，斜面上放上一块质量为上，斜面上放上一块质量为m m的滑块的滑块B B。现将系统由静止。现将系统由静止释放，求释放后劈释放，求释放后劈A A对物块对物块B B的压力、劈的压力、劈A A相对地面的加速相对地面的加速度各是多少？（不计一切摩擦）度各是多少？（不计一切摩擦） A A B B 力学力学 假设假设m m相对相对M M的加速度为

25、的加速度为a a2 2，方向沿斜面向下。，方向沿斜面向下。 方法方法1 1：Mma a1 1a a2 2MgMgN N地N NM M：mgmgN Nm m：a ax xa ay y隔离法隔离法力学力学 A A B B N Nmgmga aA AN Nsinsin= =MaMaA A N N对对A,A,解之得解之得a aBxBxa aByByN Nsinsin= =mamaBxBx, , mgmgN Ncoscos= =mamaByBy, , a aBxBxa aByBya aA Aa aByBy = ( (a aBxBx+ +a aA A)tan)tan（接触物系法向加速度相等）（接触物系法向

26、加速度相等）对对B,B,A A、B B加速度关联加速度关联, ,方法方法2 2：牵连加速度牵连加速度力学力学 A B N NmgmgaAF=F=mamaA AN Nsinsin= =MaMaA A, , N对对A,A,以以A A为参照系为参照系, ,对对B B物引入惯性力物引入惯性力F F= =mamaA A （方向向左）（方向向左） ，在以在以A A的坐标系中，物块的坐标系中，物块B B沿斜面加速沿斜面加速下滑，垂直斜面方向加速度为零。下滑，垂直斜面方向加速度为零。（在地面参考系中并非如此）（在地面参考系中并非如此）N NF Fsinsin= =mgmgcoscos, , F F= =mam

27、aA A, , 解之得解之得方法方法3 3：引入惯性力引入惯性力力学力学m1m2m3【例例7 7】如图设如图设 通过滑轮组相通过滑轮组相连接，所有摩擦不计。滑轮及绳子质量不连接，所有摩擦不计。滑轮及绳子质量不计。求计。求 的加速度和两根绳子的张力。的加速度和两根绳子的张力。AB力学力学话题话题3 3 费马原理、追及和相遇问题费马原理、追及和相遇问题力学力学【例例8 8】如图所示，如图所示，A A船从港口船从港口P P出发，拦截正以速度出发，拦截正以速度v v1 1沿沿BCBC方向做匀速直线运动的方向做匀速直线运动的B B船，港口船，港口P P与与B B所在航线的所在航线的距离为距离为a a，B

28、 B与港口与港口P P的距离为的距离为b b（b ba a），），A A船的速度为船的速度为v v2 2，A A船一启航就可认为是匀速航行。为了使船一启航就可认为是匀速航行。为了使A A到到B B的航的航线上能与线上能与B B迎上，问：迎上，问：（1 1）A A船应取什么方向？船应取什么方向？（2 2）需要多长时间才能拦住）需要多长时间才能拦住B B船？船？（3 3）若其它条件不变，）若其它条件不变，A A船从船从P P开始匀速航行时，开始匀速航行时，A A船船可以拦截可以拦截B B船的最小航行速度是多少？船的最小航行速度是多少？力学力学【分析分析】选择选择B B船为参考系，则可认为船为参考系

29、，则可认为A A船一直向着船一直向着B B船做匀速直线运动，即合成速度沿着船做匀速直线运动，即合成速度沿着ABAB方向。方向。【解析解析】设设A A船对地的速度船对地的速度v v2 2与与ABAB的夹角为的夹角为，作出，作出速度关系矢量图如图速度关系矢量图如图 力学力学选取选取B B船为参考系，只要船为参考系，只要A A相对于相对于B B的速度方向沿的速度方向沿BPBP指向指向B B，A A船就可以拦截船就可以拦截B B船，如图，船，如图，v vv v1 1v v2 2，在这个矢量三，在这个矢量三角形中，要使角形中，要使v v2 2最小，最小，v v2 2应与应与v v垂直，所以垂直，所以【思

30、考思考】在求在求A A船从船从P P开始匀速航行，拦开始匀速航行，拦截截B B船的最小航行速度时，用矢量三角形船的最小航行速度时，用矢量三角形求解非常方便。即合矢量方向一定，其求解非常方便。即合矢量方向一定，其中一个分矢量已经确定时，另一个分矢中一个分矢量已经确定时，另一个分矢量的最小值就是从已知分矢量末端向合量的最小值就是从已知分矢量末端向合矢量方向引出的垂线为最短。矢量方向引出的垂线为最短。力学力学【例例9 9】有一只狐狸以不变速率有一只狐狸以不变速率v v1 1沿直线逃跑，一猎犬沿直线逃跑，一猎犬以不变的速率以不变的速率v v2 2追击，其追击方向始终对准狐狸。某时追击，其追击方向始终对

31、准狐狸。某时狐狸在狐狸在F F处，猎犬在处，猎犬在D D处，处，FDABFDAB， 如图所示。如图所示。假设假设v v2 2 v v1 1，问猎犬追上狐狸还需多长时间，问猎犬追上狐狸还需多长时间? ?力学力学 按照这种解法，设想把整个系统全部外加速度按照这种解法，设想把整个系统全部外加速度v1的话，的话，即狐狸又回到了地面参考系中，此时猎犬的速度还是即狐狸又回到了地面参考系中，此时猎犬的速度还是v2，然后猎犬沿速度然后猎犬沿速度v2所在的直线到达所在的直线到达AB上追及狐狸。而题上追及狐狸。而题中的要求，猎犬的追击方向始终对着狐狸，此解违反题意。中的要求，猎犬的追击方向始终对着狐狸，此解违反题

32、意。力学力学【解析解析】由于猎犬在追击狐狸的过程中始终指向狐狸，而由于猎犬在追击狐狸的过程中始终指向狐狸，而狐狸又在向狐狸又在向ABAB方向逃跑，方向逃跑，猎犬猎犬将沿着一条曲线运动。这与将沿着一条曲线运动。这与沿直线运动追击不同。但稍加考虑，我们可以对猎犬和狐沿直线运动追击不同。但稍加考虑，我们可以对猎犬和狐狸的相对距离给予关注。所谓追上狐狸，就是相对距离为狸的相对距离给予关注。所谓追上狐狸，就是相对距离为零。零。 设在追击过程中某一时刻，设在追击过程中某一时刻，D D到达到达D D，F F到达到达F F。连。连0 0、F F，此刻猎犬在，此刻猎犬在D D的速度指向的速度指向F F，狐狸在，

33、狐狸在F F的速度仍指向的速度仍指向B B端。可以很自然地考虑到，端。可以很自然地考虑到，此时沿相对位置方向的相互接此时沿相对位置方向的相互接近速度为：近速度为： 力学力学力学力学（1）（2）力学力学力学力学【例例1010】两两相距均为两两相距均为l l的三个质点的三个质点A A、B B、C C，同时分别以相同的匀速率同时分别以相同的匀速率v v运动，运动过程中运动，运动过程中A A的运动速度方向始终指着当时的运动速度方向始终指着当时B B所在的位置所在的位置、B B始终指着当时始终指着当时C C所在的位置、所在的位置、C C始终指着当时始终指着当时A A所所在的位置。试问经过多少时间三个质点

34、相遇？在的位置。试问经过多少时间三个质点相遇？BC2AClA1A2B1B2C1l2l1【解析解析】三质点均做等速率曲线运动，而且任意时刻三个质点三质点均做等速率曲线运动，而且任意时刻三个质点的位置分别在正三角形的三个顶点，但这个正三角形的边长不的位置分别在正三角形的三个顶点，但这个正三角形的边长不断缩小，现把从开始到追上的时间断缩小，现把从开始到追上的时间t t分成分成n n个微小时间间隔个微小时间间隔t t（t t00），在每个微小时间间隔），在每个微小时间间隔t t内，质点运动近似为内，质点运动近似为直线运动。于是，第一个直线运动。于是，第一个t三者的位置三者的位置A A1 1、B B1

35、1、C C1 1如图。这样如图。这样可依次作出以后每经可依次作出以后每经t t，以三个质点为顶点组成的正三角形，以三个质点为顶点组成的正三角形A A2 2B B2 2C C2 2、A A3 3B B3 3C C3 3、设每个正三角形的边长依次为设每个正三角形的边长依次为l l1 1、l l2 2、l ln n。显然，当显然，当l ln n00时，三个质点相遇。时，三个质点相遇。力学力学解法一：解法一：由前面分析，结合小量近似有：由前面分析，结合小量近似有： 由由t t00，n n，并有，并有ntnt = =t t，l ln n00（三人相遇）。（三人相遇）。三个质点运动到原正三角形三个质点运动

36、到原正三角形ABCABC的中心，需时间为的中心，需时间为 B BC C2 2A AC Cl lA A1 1A A2 2B B1 1B B2 2C C1 1l l2 2l l1 1力学力学解法二：解法二：设设t t时刻三角形边长为时刻三角形边长为x x，经极短时间，经极短时间t t后边长变为后边长变为xx。根据图中的几何关系，应用三角形的余弦定理可得。根据图中的几何关系，应用三角形的余弦定理可得在在t t00时，可略去二阶小量时，可略去二阶小量t t 2 2项，因此项，因此 这表明等边三角形边长的收缩率为这表明等边三角形边长的收缩率为3 3v v/2/2。从初始边长从初始边长l l缩短到缩短到0

37、 0需时间为需时间为 B BC C2 2A AC Cl lA A1 1A A2 2B B1 1B B2 2C C1 1l l2 2l l1 1力学力学解法三：解法三：因为每一时刻三个质点总在正三角形的顶点上，且因为每一时刻三个质点总在正三角形的顶点上，且运动过程中运动过程中A A的运动速度方向始终指着当时的运动速度方向始终指着当时B B所在的位置，所所在的位置，所以此时质点以此时质点A A速度方向与速度方向与AOAO连线的夹角恒为连线的夹角恒为3030（O O为中心点）为中心点），即，即A A的运动速度沿的运动速度沿AOAO方向的分量方向的分量v vcos30cos30。质点。质点B B、C

38、C也是如也是如此。在下一时刻，因为三质点队形如初，质点运动方向条件此。在下一时刻，因为三质点队形如初，质点运动方向条件如初，所以质点如初，所以质点A A、B B、C C 的运动速度在质点与中心的运动速度在质点与中心O O连线方向连线方向的分量仍为的分量仍为v vcos30cos30，且为定值。最终三质点相遇在，且为定值。最终三质点相遇在O O点，所点，所以每个质点在质点与中心以每个质点在质点与中心O O的连线方向上运动了的连线方向上运动了BC2AClA1A2B1B2C1l2l1 O力学力学解法四：解法四：以以B B为参照系，在两者连线方向上为参照系，在两者连线方向上A A对对B B的相对速率的

39、相对速率恒为恒为v v+ +v vcos60cos60。最终相遇，相对运动距离为。最终相遇，相对运动距离为l l，所，所用时间为用时间为 BC2AClA1A2B1B2C1l2l1力学力学演变演变1 1：如四个质点从正方形顶点出发，已知正方形边长为如四个质点从正方形顶点出发，已知正方形边长为l l，结果如何？，结果如何？ （答案：（答案：t t= =l/vl/v）演变演变2 2：有五个花样滑冰运动员表演一种节目，表演的动作规有五个花样滑冰运动员表演一种节目，表演的动作规定为：开始时五人分别从正五边形定为：开始时五人分别从正五边形ABCDEABCDE的五个顶点出发，以的五个顶点出发，以相同速率相同

40、速率v v运动，如图所示。运动中运动，如图所示。运动中A A始终朝着始终朝着C C，C C始终朝着始终朝着E E，E E始终朝着始终朝着B B，B B始终朝着始终朝着D D，D D始终朝着始终朝着A A，问经过多长时间，问经过多长时间五人相聚？（已知圆半径为五人相聚？（已知圆半径为R R） A AB BC CD DE E（答案：（答案：t t=1.05=1.05R/vR/v） 力学力学【例例1111】在非洲有一种竞速运动，从某一点出发奔向在非洲有一种竞速运动，从某一点出发奔向同一个目的地。途中要经历两块不同的场地，一块是同一个目的地。途中要经历两块不同的场地，一块是沼泽地，另一块是普通陆地。已

41、知某运动员在普通陆沼泽地，另一块是普通陆地。已知某运动员在普通陆地上奔跑速度为地上奔跑速度为4m/s4m/s，在沼泽地上奔跑速度为，在沼泽地上奔跑速度为3m/s3m/s，要求从要求从A A点跑到沼泽地中点跑到沼泽地中B B点时间最短，请你为他设计点时间最短，请你为他设计一条合理的路线。一条合理的路线。陆地陆地沼泽地沼泽地AB30m40m70m132力学力学费马原理费马原理光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。又称最小时间原理或费马原理，法国数短的路径传播。又称最小时间原理或费马原理，法国数学家费马于学家费马于1657165

42、7年首先提出。年首先提出。 力学力学【演变演变】游泳池游泳池ABCDABCD长长50m,50m,宽宽34.6m34.6m，某运动员在水中游，某运动员在水中游速为速为3m/s3m/s，在岸边奔跑速度为，在岸边奔跑速度为6m/s6m/s。现从游泳池正中央。现从游泳池正中央的的P P点出发，设法到达岸边的点出发，设法到达岸边的B B点，要求时间最短该如何点，要求时间最短该如何选择路线？选择路线？PABCD力学力学【例例1212】设想有一只老鼠在圆湖边碰上猫设想有一只老鼠在圆湖边碰上猫, ,它想回洞已它想回洞已来不及来不及, ,只好跳入湖中企图逃走只好跳入湖中企图逃走. .已知猫在岸上跑的速已知猫在岸

43、上跑的速率是鼠在湖中游的速度的率是鼠在湖中游的速度的4 4倍倍, ,湖边周围有很多鼠洞湖边周围有很多鼠洞. .问问老鼠能否逃脱猫的捕抓老鼠能否逃脱猫的捕抓. .【分析分析】鼠、猫分别用鼠、猫分别用S S、M M代表代表. .如图所如图所示示, ,A A、B B、C C是鼠逃命的三个方案是鼠逃命的三个方案, ,A A/ /、B B/ /、C C/ /是猫根据老鼠的逃命方案所制订的追踪是猫根据老鼠的逃命方案所制订的追踪方案方案, ,由由v v猫猫=4=4v v鼠鼠, ,及圆中弦与弧的关系及圆中弦与弧的关系, ,易易知老鼠到达上岸点时知老鼠到达上岸点时, , 猫已在那里恭候多猫已在那里恭候多时了时了

44、. .说明上述三个方案都不能使老鼠逃说明上述三个方案都不能使老鼠逃脱厄运脱厄运. .但实际上只要老鼠想点办法是可但实际上只要老鼠想点办法是可以逃脱的以逃脱的. .方法是老鼠可以先在湖内绕湖方法是老鼠可以先在湖内绕湖心转圈心转圈, ,一旦老鼠、湖心、猫三点连成一一旦老鼠、湖心、猫三点连成一条直线后再沿半径方向向外游就能顺利脱条直线后再沿半径方向向外游就能顺利脱逃逃. .力学力学 设圆湖半径为设圆湖半径为R R, ,作作R R/4/4同心圆同心圆K K, ,如果这样来构造老如果这样来构造老鼠的运动过程鼠的运动过程: : 鼠下水后沿半径方向向湖心游去鼠下水后沿半径方向向湖心游去, ,到到达达R R/

45、4/4圆圆K K内内, ,然后转圈游然后转圈游, , 老鼠可以游到和猫不在同老鼠可以游到和猫不在同一半径而在同一直径的圆一半径而在同一直径的圆K K的边界点的边界点P P的位置上去的位置上去, ,然然后沿此直径游向湖岸后沿此直径游向湖岸, ,即可逃命即可逃命. .力学力学话题话题4 4 有关万有引力与天体运动有关万有引力与天体运动力学力学1 1、天体运动中机械能守恒、天体运动中机械能守恒天体运动中的机械能天体运动中的机械能E E为系统的引力势能与各天体的动为系统的引力势能与各天体的动能之和。仅有一个天体在运动时，则能之和。仅有一个天体在运动时，则E E为系统的引力势为系统的引力势能与其动能之和

46、。由于没有其他能与其动能之和。由于没有其他外力作用，系统内万有引力属于外力作用，系统内万有引力属于保守力，故机械能守恒，保守力，故机械能守恒，E E为恒为恒量，如图所示，设量，如图所示，设M M天体不动，天体不动，m m天体绕天体绕M M天体转动，则由机械动天体转动，则由机械动能守恒，有能守恒，有力学力学力学力学力学力学2 2、天体运动的轨道、天体运动的轨道若若M M天体固定，天体固定，m m天体在万有引力作用下运动，其天体在万有引力作用下运动，其圆锥曲线可能是椭圆（包括圆）、抛物线或双曲圆锥曲线可能是椭圆（包括圆）、抛物线或双曲线。线。i i）椭圆轨道）椭圆轨道如图所示，设椭圆轨道方程为如图

47、所示，设椭圆轨道方程为力学力学力学力学ii)ii)抛物线抛物线力学力学 iiiiii）双曲线）双曲线力学力学力学力学小结小结力学力学【例例1313】质量为质量为m m的宇宙飞船绕地球中心的宇宙飞船绕地球中心0 0作圆周运动，已作圆周运动，已知地球半径为知地球半径为R R，飞船轨道半径为，飞船轨道半径为2R2R。现要将飞船转移到另。现要将飞船转移到另一个半径为一个半径为4R4R的新轨道上，如图所示，求的新轨道上，如图所示，求（1 1）转移所需的最少能量；）转移所需的最少能量；（2 2）如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的）如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的ACBACB所示，则飞船在

48、两条轨道的交接处所示，则飞船在两条轨道的交接处A A和和B B的速度变化各为多的速度变化各为多少？少？图4-10-4力学力学力学力学力学力学力学力学力学力学【例例1414】力学力学4-4力学力学力学力学力学力学力学力学力学力学【例例1515】火箭从地面上以第一宇宙速度竖直向上发射，火箭从地面上以第一宇宙速度竖直向上发射，返回时落回力发射场不远处。空气阻力不计，试估算返回时落回力发射场不远处。空气阻力不计，试估算火箭飞行时间。地球半径取火箭飞行时间。地球半径取R=6400mR=6400m。RO【分析分析】火箭向上发射又落回地火箭向上发射又落回地面，它在地心力作用下的运动轨面，它在地心力作用下的运

49、动轨道是一个椭圆的一部分。其中地道是一个椭圆的一部分。其中地心为焦点，最高处为远地点。由心为焦点，最高处为远地点。由于返回点和发射点很近，说明这于返回点和发射点很近，说明这个椭圆很个椭圆很“扁扁”。其焦点即地心。其焦点即地心离轨道近地点很近。则可以认为离轨道近地点很近。则可以认为O O、P P两点为椭圆长轴的两个端点。两点为椭圆长轴的两个端点。P力学力学设椭圆长轴为设椭圆长轴为r r，根据机械能守恒（，根据机械能守恒（ ）再设火箭在长轴为再设火箭在长轴为2R2R的扁椭圆轨道运动周期为的扁椭圆轨道运动周期为T T0 0, ,椭圆椭圆面积为面积为S S0 0而在空中运动时间为而在空中运动时间为t

50、t其中，其中， S0是椭圆轨道面积，是椭圆轨道面积， S S是火箭飞行时间是火箭飞行时间t t内，矢径内，矢径扫过的阴影部分面积。扫过的阴影部分面积。力学力学由开普勒第三定律，该半长轴与近地轨道半径相同，故周由开普勒第三定律，该半长轴与近地轨道半径相同，故周期也相同。期也相同。力学力学话题话题5 5 质量均匀球壳（体）内的引力质量均匀球壳（体）内的引力力学力学兰色部分：不贡献引力兰色部分：不贡献引力红色部分：贡献引力，恰如位于球心的一个红色部分：贡献引力，恰如位于球心的一个 质点质点M M（M M是红色部分的总质量）是红色部分的总质量）质量均匀球壳（体）内的引力质量均匀球壳（体）内的引力M M

51、R Rr rm mO OR RF Fr r对处于球体内部的质点对处于球体内部的质点m m而言而言力学力学【例例1616】一质量分布均匀的球壳对球壳内任一质点的万有引力一质量分布均匀的球壳对球壳内任一质点的万有引力为零。为零。A Ar r1 1r r2 2ss2 2ss1 1【解析解析】设想在球壳内任一点设想在球壳内任一点A A处置一质量为处置一质量为m m的的质点，在球面上取一极小的面元质点，在球面上取一极小的面元s s1 1，以以r r1 1表示表示s s1 1与与A A点的距离。设此均匀球面每单位面积的点的距离。设此均匀球面每单位面积的质量为质量为，则面元，则面元s s1 1的质量的质量m

52、 m1 1= = s s1 1，它，它对对A A点的吸引力为点的吸引力为又设想将又设想将s s1 1边界上各点与边界上各点与A A点的连线延长分别与点的连线延长分别与s s1 1对面的对面的球壳相交而围成面元球壳相交而围成面元s s2 2，设，设A A与与s s2 2的距离为的距离为r r2 2，由于，由于s s1 1 和和s s2 2都很小，可以把它们看作是一个平面图形，显然它们是都很小，可以把它们看作是一个平面图形，显然它们是相似图形，因而面元面积比例关系为相似图形，因而面元面积比例关系为 . .面元面元s s2 2对对A A处质点的吸引力为处质点的吸引力为 F F1 1= = F F2

53、2. .力学力学【例例1717】假设地球半径为假设地球半径为R R，质量分布均匀，一隧道沿某条直，质量分布均匀，一隧道沿某条直径穿越地球。现在隧道一个端口从静止释放质量为径穿越地球。现在隧道一个端口从静止释放质量为m m的小球，的小球，求小球穿越地球所需的时间。小球运动中的阻力不计。求小球穿越地球所需的时间。小球运动中的阻力不计。O Or rm m设质点设质点m m位于位于r r处，它受到的引力处，它受到的引力小球做简谐运动。小球做简谐运动。 F F是小球受到的回复力，是小球受到的回复力，r r为小球离开为小球离开平衡位置平衡位置O O 的位移大小，的位移大小，O为小球的平衡位置。为小球的平衡

54、位置。F Fr r（方向相反）（方向相反）周期周期力学力学【例例1818】 （第（第2020届全国物理竞赛复赛试卷）届全国物理竞赛复赛试卷）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想其设想如下：沿地球的一条弦星的设想其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示在通道的两个出口挖一通道，如图所示在通道的两个出口处处A A和和B B，分别将质量，分别将质量M M为的物体和质量为为的物体和质量为m m的待发射卫星同时的待发射卫星同时自由释放，只要自由释放，只要M M比比m m足够大，碰撞后，质量为足够大，碰撞后，质量为m m的物体，即待的物体，即待发射的卫星就会

55、从通道口发射的卫星就会从通道口B B冲出通道；设待发卫星上有一种装冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口置，在待发卫星刚离开出口B B时，立即把待发卫星的速度方向时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小这样待变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星若人造卫发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知离为多少？己知M M20m20m，地球半径，地球半径6400 km6400

56、km假定地球是质假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的的力学力学位于通道内、质量为位于通道内、质量为m m的物体距地心为的物体距地心为r r时，它受到地球的时，它受到地球的引力可以表示为引力可以表示为 （1 1）式中式中 是以地心为球心、以是以地心为球心、以r r为半径的为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以球体所对应的那部分地球的质量，若以 表示地球的密度，此质量可以表示为表示地球的密度，此质量可以表示为 （2 2）于是，质量于是，质量m m为的物体所受地球的引力可以改写为为的物体所受地球的引力可以改写为作用

57、于质量为作用于质量为m m的物体的引力在通道方向的分力的大小的物体的引力在通道方向的分力的大小为为 （4 4） （5 5）x x为物体位置到通道中点为物体位置到通道中点C C的距离，力的方向指向通道的距离，力的方向指向通道的中点的中点C C。在地面上物体的重力可以表示为。在地面上物体的重力可以表示为力学力学式中式中 是地球的质量。由上式可以得到是地球的质量。由上式可以得到 （7 7）由以上各式可以求得由以上各式可以求得 （8 8）可见，可见，f f与弹簧的弹力有同样的性质，相应的与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系劲度系数数”为为 （9 9）物体将以物体将以C C为平衡位置作简谐运动，振动

58、周期为为平衡位置作简谐运动，振动周期为 。 力学力学取取x=0x=0处为处为“弹性势能弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质的零点，设位于通道出口处的质量为量为m m的静止物体到达的静止物体到达x=0x=0处的速度为处的速度为v v0 0，则根据能量守恒，则根据能量守恒，有有式中式中h h表示地心到通道的距离。解以上有关各式，得表示地心到通道的距离。解以上有关各式，得 （1111）可见，到达通道中点可见，到达通道中点C C的速度与物体的质量无关。的速度与物体的质量无关。力学力学设想让质量为设想让质量为M M的物体静止于出口的物体静止于出口A A处，质量为处，质量为m m的物体静止于的物体静止于

59、出口出口B B处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点它们将同时到达通道中点C C处，并发生弹性碰撞。碰撞前，两处，并发生弹性碰撞。碰撞前，两物体速度的大小都是物体速度的大小都是v v0 0，方向相反，刚碰撞后，质量为，方向相反，刚碰撞后，质量为M M的物的物体的速度为体的速度为V V，质量为，质量为m m的物体的速度为的物体的速度为v v，若规定速度方向由，若规定速度方向由A A向向B B为正，则有为正，则有质量为质量为m m的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口B B处处时的

60、速度为时的速度为u u，则有，则有力学力学u u的方向沿着通道。根据题意，卫星上的装置可使的方向沿着通道。根据题意，卫星上的装置可使u u的方的方向改变成沿地球向改变成沿地球B B处的切线方向，如果处的切线方向，如果u u的大小恰能使小的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有卫星绕地球作圆周运动，则有已知已知M=20mM=20m，则得，则得力学力学解析：火车在巴黎和伦敦的地下铁道中作简谐运动。解析：火车在巴黎和伦敦的地下铁道中作简谐运动。巴黎到伦敦的时间巴黎到伦敦的时间在铁道中点在铁道中点C C处速度最大。处速度最大。 【例例1919】假定巴黎和伦敦之间由一条笔直的地下铁道连接着。假定巴黎和伦

61、敦之间由一条笔直的地下铁道连接着。在两城市之间有一列火车飞驶，仅仅由地球的引力作动力。试计在两城市之间有一列火车飞驶，仅仅由地球的引力作动力。试计算火车的最大速度和巴黎到伦敦的时间。设两城市之间的直线距算火车的最大速度和巴黎到伦敦的时间。设两城市之间的直线距离为离为300km, 300km, 地球的半径为地球的半径为6400km6400km，忽略摩擦力。，忽略摩擦力。力学力学判定运动模型是否为简谐运动判定运动模型是否为简谐运动求解非典型简谐运动的周期求解非典型简谐运动的周期求解与简谐运动相关的时间求解与简谐运动相关的时间求解与简谐运动相关的能量求解与简谐运动相关的能量描写振子作简谐运动的振动方

62、程描写振子作简谐运动的振动方程话题话题6 关于简谐运动关于简谐运动力学力学一简谐运动的定义一简谐运动的定义 如果物体所受的回复力大小总与位移大小成如果物体所受的回复力大小总与位移大小成正比，方向总于位移相反，物体的运动叫做简正比，方向总于位移相反，物体的运动叫做简谐运动。谐运动。简谐运动的运动学特征简谐运动的运动学特征简谐运动的动力学方程简谐运动的动力学方程 其中的其中的F F为简谐运动中物体所受的回复力，为简谐运动中物体所受的回复力，x x为振动物体相对于其平衡位置的位移，为振动物体相对于其平衡位置的位移， 为为 与与 间的比例系数，负号表示回复力的方向与位间的比例系数，负号表示回复力的方向

63、与位移的方向相反，移的方向相反，a a为振动物体在位移时的加速度。为振动物体在位移时的加速度。力学力学二简谐运动的方程描述二简谐运动的方程描述 令令 由由解微分方程易得：解微分方程易得：力学力学 回避高等数学工具，我们回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在影运动（以下均看在x x方向的方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A A 。三简谐运动与参考圆三简谐运动与参考圆 参考圆的圆心就是简谐运动的平衡位置，半径参考圆的圆心就是简谐运动的平衡位置，半径是

64、简谐运动的振幅，圆周运动的周期和简谐运动是简谐运动的振幅，圆周运动的周期和简谐运动的周期相同，圆周运动的角速度的周期相同，圆周运动的角速度 在在简谐运动中称为圆频率简谐运动中称为圆频率anvmt=0OxxAt力学力学【例例2020】质点以角速度质点以角速度沿半径为沿半径为A A的圆轨道做的圆轨道做匀速圆周运动，试证明匀速圆周运动，试证明质点在某直径上投影的质点在某直径上投影的运动为简谐运动。运动为简谐运动。显然，满足显然，满足形式。形式。力学力学在图中，在图中， 同时得到：同时得到：其中：其中：( (tt +) +)称相位，称相位，称初相。称初相。力学力学（需要注意的是（需要注意的是时时, ,

65、 0 0可在可在、象限象限, , 时时, ,0 0可在可在、象限象限, ,因此还需结合因此还需结合x x0 0或或v v0 0的正、的正、负才能确定负才能确定0 0所在的象所在的象限限. .）力学力学力学力学能量法能量法: :如果质点在运动过程中具有形式为如果质点在运动过程中具有形式为 的势能的势能, ,且且其中v=以上各判定简谐运动的方法是完全等价的以上各判定简谐运动的方法是完全等价的. .以上各表达式中以上各表达式中x x既可以是线量既可以是线量( (线位移线位移),),又可以是角量又可以是角量( (角位移角位移),),对应的速度相应的是线速度和角速度对应的速度相应的是线速度和角速度, ,

66、对对应的加速度可以是线加速度和角加速度应的加速度可以是线加速度和角加速度. .力学力学五、关于弹簧振子弹簧振子五、关于弹簧振子弹簧振子力学力学力学力学力学力学力学力学力学力学力学力学力学力学力学力学力学力学力学力学力学力学【例例2020】三根长度均为三根长度均为l l=2.00m=2.00m，质量均匀的直杆，构成，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架一正三角形框架ABCABCC C点悬挂在一光滑水平转轴上，整个点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动杆框架可绕转轴转动杆ABAB是一导轨，一电动玩具松鼠可在是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示现观察到松鼠正在导轨上运动，导轨上运动

67、，如图所示现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是种什么样的运种什么样的运动动分析：分析： (1)(1)框架静止不动的条件分析框架静止不动的条件分析松鼠对它的压力及沿杆方向作松鼠对它的压力及沿杆方向作用力的合力必通过悬点用力的合力必通过悬点C C(2)(2)根据根据(1)(1)中两个力满足的条中两个力满足的条件分析得出松鼠沿杆方向受到件分析得出松鼠沿杆方向受到的外力特征，从而确定松鼠的的外力特征，从而确定松鼠的运动为简谐运动这一结论运动为简谐运动这一结论力学力学解：解： 先以刚性框架为研究对象当框架处于静止状态时，先以刚性框架为研究对

68、象当框架处于静止状态时，作用于框架的各个力对转轴作用于框架的各个力对转轴C C的力矩之和在任何时刻；郎应的力矩之和在任何时刻；郎应等于零设在某一时刻，松鼠离杆等于零设在某一时刻，松鼠离杆ABAB的中点的中点O O的距离为的距离为x x，如图所示松鼠在竖直方向对导轨的作用力等于松鼠受到如图所示松鼠在竖直方向对导轨的作用力等于松鼠受到的重力的重力mgmg，m m为松鼠的质量此重力为松鼠的质量此重力对转轴对转轴C C的力矩的大小为的力矩的大小为mgxmgx，方向沿，方向沿顺时针方向为使框架平衡，松鼠必顺时针方向为使框架平衡，松鼠必须另对杆须另对杆ABAB施一水平方向的力施一水平方向的力F F，且，且

69、F F对转轴对转轴C C的力矩应与竖直方向的重力的力矩应与竖直方向的重力产生的力矩大小相等，方向相反即产生的力矩大小相等，方向相反即当表示松鼠位置的坐标当表示松鼠位置的坐标x x为正时，为正时，F F沿沿x x的正方向当的正方向当x x为负时，为负时，F F沿沿x x的负方的负方向，如图所示，并满足平衡条件向，如图所示，并满足平衡条件力学力学力学力学当松鼠运动到杆当松鼠运动到杆ABAB的两端时，它应反向运动，按简谐运的两端时，它应反向运动，按简谐运动规律，速度必须为零，所以松鼠做简谐运动的振幅应动规律，速度必须为零，所以松鼠做简谐运动的振幅应小于或等于小于或等于l/l/2 21.00m1.00

70、m( (振幅等于振幅等于1.00m1.00m与把松鼠视做与把松鼠视做质点相对应质点相对应) ) 由以上论证可知：松鼠在导轨由以上论证可知：松鼠在导轨ABAB上的运动是以上的运动是以ABAB的的中点中点O O为平衡位置，振幅不大于为平衡位置，振幅不大于lmlm，周期为，周期为2.64s2.64s的简谐的简谐运动运动力学力学【例例2121】如图所示，一个倔强系数为如图所示，一个倔强系数为k k、竖直放置的轻质弹、竖直放置的轻质弹簧，下端固连于地面，上端连一质量为簧，下端固连于地面，上端连一质量为M M的物块的物块A A，处于平，处于平衡状态。另有一质量为衡状态。另有一质量为m m的小物块的小物块B

71、 B自物块自物块A A上方上方h h高度处自高度处自由下落，并与由下落，并与A A作完全非弹性碰撞，然后作完全非弹性碰撞，然后A A和和B B在弹力和重力在弹力和重力的共同作用下，作简谐振动。若把新的平衡位置作为坐标的共同作用下，作简谐振动。若把新的平衡位置作为坐标原点，竖直向上为原点，竖直向上为x x轴正向，试写出这个简谐振动的振动方轴正向，试写出这个简谐振动的振动方程。设程。设B B和和A A碰后瞬间作为时间起点，即碰后瞬间作为时间起点，即t t0 0。分析：当分析：当B B落在落在A A上作完全非弹上作完全非弹性碰撞，然后性碰撞，然后B B和和A A共同参与简共同参与简谐振动。根据能量、

72、动量关系谐振动。根据能量、动量关系可求出两物体共同运动的初速可求出两物体共同运动的初速度、位移（相对平衡位置）及度、位移（相对平衡位置）及共同振动的振幅，从而求出振共同振动的振幅，从而求出振动方程。动方程。力学力学B B和和A A碰后的共同速度就是简谐振动的初速度。当碰后的共同速度就是简谐振动的初速度。当m m下落下落h h高度，则速度为高度，则速度为 考虑竖直向上为考虑竖直向上为x x轴正向。轴正向。 B B和和A A成为一个整体后，新的平衡位置作为坐标原点，那么成为一个整体后，新的平衡位置作为坐标原点，那么初始位移的大小就是初始位移的大小就是B B和和A A相碰处相碰处( (即即M M的初

73、始位置的初始位置) )离新平离新平衡位置的距离。这个距离衡位置的距离。这个距离x x0 0满足满足在在x x轴正向取为竖直向上，初位移就是一个正值。根轴正向取为竖直向上，初位移就是一个正值。根据前面分析，初相位可以写成据前面分析，初相位可以写成力学力学其中已利用其中已利用 ，系统谐振动方程为，系统谐振动方程为 力学力学【例例2222】一根弹性轻绳一根弹性轻绳ABAB自然长度为自然长度为L L0 0，A A端固定，端固定，B B端挂端挂质量为质量为m=0.2kgm=0.2kg的小球。则小球的平衡位置在的小球。则小球的平衡位置在B B的下方的下方O O点，点，BO=LBO=L/ /=1m=1m，现

74、把小球托到，现把小球托到A A点，然后放手任其下落，问经点，然后放手任其下落，问经过多长时间，小球返回过多长时间，小球返回A A点。点。解：本题可以分两个过程解。解：本题可以分两个过程解。 第一阶段：物体第一阶段：物体A A到到B B段作自由落体运动段作自由落体运动 第二阶段：物体在第二阶段：物体在BCBC段作简谐运动段作简谐运动ABO OC Cx xA A到到B BB B到到C,C,以以O O为原点，取向下为为原点，取向下为X X轴，当轴，当小球坐标为小球坐标为x x时，时，显然，小球在显然，小球在B B点以下以点以下以O O为平衡位置做简谐运动，其为平衡位置做简谐运动，其中，中，k=2N/

75、mk=2N/m力学力学由初始条件，确定由初始条件，确定A A和和 ，小球落到，小球落到B B时，时，有正余弦值，容易确定初相位在第三象限。有正余弦值，容易确定初相位在第三象限。力学力学由由B B到到C C，相位由，相位由则，小球由则，小球由A A到到C C，再返回到，再返回到A A。所用时间为。所用时间为力学力学 【例例2323】如图质量为如图质量为M M的匀质细棒置于两只相同的水平转动的匀质细棒置于两只相同的水平转动的圆柱上，两圆柱转动的速率相等，但方向相反，设圆柱的圆柱上，两圆柱转动的速率相等，但方向相反，设圆柱与棒的动摩擦因数为与棒的动摩擦因数为。开始时，棒的重心。开始时，棒的重心C C

76、偏离两轴连线偏离两轴连线的中点的中点O O的距离为的距离为L L，两圆柱中心相距为，两圆柱中心相距为2 2d d。（。（1 1）证明棒的）证明棒的运动为简谐运动，（运动为简谐运动，（2 2）求棒的运动周期（）求棒的运动周期（3 3）求棒的最大）求棒的最大速度（速度（4 4）如在棒上放一质量为）如在棒上放一质量为m m的小物体（的小物体（m m M M），为使），为使小物体不致在棒上滑动，求物体与棒间最小的动摩擦因数小物体不致在棒上滑动，求物体与棒间最小的动摩擦因数ddoCLAB力学力学 （1 1）取）取o o为坐标原点，水平向左为为坐标原点，水平向左为x x轴。设轴。设A A、B B两轮对棒的

77、两轮对棒的正压力和摩擦力分别为正压力和摩擦力分别为N N1 1、N N2 2 和和 f f1 1、f f2 2，如图所示。若棒，如图所示。若棒在水平方向向左的位移为在水平方向向左的位移为x x，分别以，分别以A A、B B两轮与棒的接触点两轮与棒的接触点为支点，由力矩平衡有：为支点，由力矩平衡有：ddoCLAB力学力学 （3 3）设棒运动的最大速度为）设棒运动的最大速度为v v，由于棒的最，由于棒的最 大位移大位移为为L L，由机械能守恒有，由机械能守恒有（2 2）力学力学 （4 4）由于）由于m m M M， 所以无论小物体棒上的所以无论小物体棒上的 什什 么位置，么位置，对振动的影响都可忽

78、略，棒在振动中的最大加速度为：对振动的影响都可忽略，棒在振动中的最大加速度为：a = a = kLkL/M /M = =gLgL/ /d d 设物体与棒间的摩擦因数为设物体与棒间的摩擦因数为s s，为使小物体不在，为使小物体不在棒上滑动，必须有棒上滑动，必须有ma ma s smgmg，从而求得：，从而求得： s s a/g a/g = =L L/ /d d 所以物体与棒间的最小摩擦因数为所以物体与棒间的最小摩擦因数为 smixsmix= = L/dL/d力学力学力学力学力学力学力学力学力学力学【例例4 4】 如图所示，两根平行金属棒与两金属如图所示，两根平行金属棒与两金属弹簧构成回路，放在光

79、滑绝缘水平面上。已知弹簧构成回路，放在光滑绝缘水平面上。已知棒长为棒长为L L，质量为，质量为m m。弹簧的劲度系数为。弹簧的劲度系数为K K，原，原长为长为L L0 0(L(L0 0L L) )，设以某种方式使回路有恒定，设以某种方式使回路有恒定的电流的电流I I，并设电磁感应可以忽略。试求两棒，并设电磁感应可以忽略。试求两棒围绕平衡位置作小振动的周期。围绕平衡位置作小振动的周期。 力学力学解：两棒中通有等值反向的电流，彼此间有斥力作用，解：两棒中通有等值反向的电流，彼此间有斥力作用，当弹簧伸缩时又有弹力作用。先确定两棒的平衡位置。当弹簧伸缩时又有弹力作用。先确定两棒的平衡位置。设平衡时，弹簧伸长设平衡时，弹簧伸长 ，弹簧长度为，弹簧长度为 ，则，则故平衡时两棒距离为故平衡时两棒距离为 力学力学取取x x轴如图所示，原点轴如图所示，原点O O设在右棒的平衡位置，设设在右棒的平衡位置，设右棒向右偏离小量右棒向右偏离小量x x，同时左棒向左偏离小量，同时左棒向左偏离小量x x，即当两棒相距即当两棒相距 时，右棒受力为时，右棒受力为故两棒均作简谐运动，周期故两棒均作简谐运动，周期