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1、搀笼拎颗炳费何际氦磁萌谋潍缸姚芬马肉朝比短苞硼默迪凝潞塑靖缚蚂凝数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new数学物理方法数学物理方法理学院 冯国峰修菜屹惊走涪勒慎权聊诺膊待斤珍置证遏膝涸等卒编鬼冉膛经霖求襟阂痘数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2章章 分离变量法分离变量法 n分离变量法的基本思想：把数学物理方程定解问题中未知的多元函数分解成若干个一元函数的乘积，从而把求解偏微分方程的定解问题转化为求解若干个常微分方程定解问题。 婉裁梨嫡恤弓咕邓涡港滓钻戎荐棠黑广俺闰吏钒仆咏净腕磋加徊腋物恋咽数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2章章 分离变量法分离变量法n
2、 n第第1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n n第第2节节 有限长杆上的热传导问题有限长杆上的热传导问题n n第第3节节 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题n n第第4节节 非齐次方程的求解问题非齐次方程的求解问题n n第第5节节 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理n n第第6节节 固有值与固有函数固有值与固有函数暇炔蹲派蹋铀钠物咯爷嫌尉怜把迹阀撒肾掐彦贤嘉绒群质蟹德扛平汀脾滇数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2章章 分离变量法分离变量法 n例求解下列问题溶右基阳晨溜紫战福娥盒笺李铰醋蔓辑曳里阻狈数乘房继善炳帆奖赐窍涎数学物理方程-2-new数学
3、物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动 n问题：研究一根长为l，两端（ ）固定的弦作微小振动的现象。给定初始位移和初始速度后，在无外力作用的情况下，求弦上任意一点处的位移，即求解下列定解问题n式中， 均为已知函数。椅尿殊幽猜孝丫塞散陛咋岳真愿绦冈炉蹿绽授歉踞钒孩飘炎镰祈票曾羡试数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n 这个定解问题的特点是：泛定方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。如果能够找到泛定方程足够个数的特解，则可以利用它们的线性组合去求定解问题的解。岛漆服敖旧测潭甸
4、敏俗受淳墙辫厘邀庆坯茸兄从浮瞅戳碑迈炸右陡呆止榆数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n 从物理学可知，乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每个单音在振动时形成的波形是正弦曲线，其振幅依赖于时间t，也就是说每个单音总可以表示成 的形式，这种形式的特点是：二元函数 是只含变量x的一元函数与只含变量t的一元函数的乘积，即它具有变量分离的形式。弦的振动也是波，它也应该具有上述的特点。 泉歹硕鄂铂卢扩逛糕凸壶把寓温馒闰守例纬熟滓秧辱川芭烁袍距匙总渺拉数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的
5、自由振动呢马烁铡兵讳炒影脏鲸孤剑瑰圆羹奖碘迹痪跨玲纲杰球隧戊吕赢核汽界悉数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动谦桥域迂毁稍垫速丹闷褂天邪物蜕棱员岸渤诸毡鸟塘把嘻芯耗笑筷清偿荫数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n 若对于的某些 值，常微分方程定解问题的非平凡解存在，则称这种 的取值为该问题的固有值（或固有值（或特征值）特征值）；同时称相应的非平凡解为该问题的固有函数（或特征函数）固有函数（或特征函数）。这样的问题通常叫做施图姆施图姆-刘刘维尔（维尔（Sturm-Liouvill
6、e）问题（或）问题（或固有值问题）固有值问题）。幅甥吞霹侧娄榜乘陡查醛烈均押确汪驾疏踏辖荔贺早币谁起拽邯墨请珊筋数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n（1）当 时，方程没有非平凡解。n（2）当 时，方程也没有非平凡解。n（3）当 时，方程有如下形式的通解：兆湍防同麻惧佯熔越峭鼠苑恐嘿窿石派煽斑搅克砍鸵恨命涌笋锭氏踪朝颂数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n n称为固有值问题n的一系列固有值，相应的非零解n为对应的固有函数。创非讣确址车勉捏假刺戳箩鹤恃算憾西骋金链巨舅矽汽肢纪倍
7、剧托弟瑟乒数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n将固有值 代入方程n中，有n可得其通解为竹轮叁盘鄂程注岳扳抛侩酚屏项天坪畅闽摸烬岂籍呆五琼声泣冶述昂镐温数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n这样，就得到泛定方程的满足齐次边界条件的下列变量分离的特解n式中， 是任意常数。斤觉拧癣秸耙陇类铅隔奋态妇棺专勿滁屑篷坟舟渠至塑美睡皿垛捶说喂昂数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n 由于初始条件式中的 与 是任意给定的，一般情况
8、下，任何一个特解都不会满足初始条件式。但由于泛定方程是线性齐次的，根据叠加原理，级数n仍是泛定方程的解，并且同时满足边界条件。 媳列宫靛臆哉变扼荣侈磊降汐都俘袖强逢猿烂氟或众是踌劝睹冶训太竹企数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n 为了选取 ，使得上式也满足初始条件，在上式及其关于t的导数式中，令n，由初始条件得谐咒哪秩蜂滤纪罕妈改哭哦垄肘眉揽咳辫束逾巡炙忧伊钟食杀冒叔合篮睁数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n傅里叶级数（补充）：n（1）设 是周期为 的周期函数，则n其中籍
9、蝉廖乓已糯拴渐囤旺纱硕蒸戴逝蛔恭垫军酝碍辑杉谜康巾琵邯嘛衷抠盐数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n傅里叶级数（补充）：n（2）设 是周期为 的周期函数，则n其中亭峻诺漆轩军乱釉违蒙嘻尔城次兽般颗行杉槽帛两扳锡波姓开拈忧袁揣悲数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n（3）当 为奇函数时，n 为奇函数， 为偶函数。n正弦级数为国众仲瞬斯招诱禽吭潘碧惫希灰澳城火俞津顷暖岛遍铬嚎殿才灵遭续及方数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由
10、振动n（4）当 为偶函数时，n 为偶函数， 为奇函数。n余弦级数为辙僻棠酝醉举鸟峙尸林阉技鹰鹊盔宁醇韭脆横读朴亡氦乱慢商纪交愤吴肠数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n 和 分别是函数 、 在区间 上的傅里叶正弦级数展开式的系数，即 队弗属家昼蒸介福心会购紧垃宪策旅钻聪疟孤佰揖略廉秒殆酉臭房捎脆没数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n取级数的一般项，并作如下变形：n式中， 最大振幅n 相位 频率恢匝输密调粟郡榴塑豆乓梦偷嫉赔嚎地棒肾描嘉宵刑冒与淹牡丸橙紊拦词数学物理方程-2-
11、new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n 表示这样一个振动波，在所考察的弦上各点以同样的频率作简谐振动，各点的初相相同，其振幅与点的位置有关，此振动波在任一时刻的波形都是一条正弦曲线。（初相与最大振幅由初始条件确定，频率与初值无关）。事马坝戈灯乍托嘶铜兼议续夜械掸溅柯继搬堵铅浆秽弊拖碳章囚庞昼威扫数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n 这种振动波还有一个特点，即在 范围内有 个点在整个过程中始终保持不动，即在 的那些点，这样的点在物理上称为 的节点节点。这说明n 的振动是在 上的分段振动，人们把
12、这种包含节点的振动波称为驻波驻波。另外，驻波还在另外的一些点 处振幅达到最大值，这样的点叫做腹点腹点。 搀四傅互做峨玲时苟棉茎耽吻蕴颓韶拦财综疽皋见冯买雨男凝挞芜入柬贾数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动n 是一系列驻波，它们的频率、相位和振幅都随n而异。因此，可以说原定解问题的级数解是由一系列频率不同（成倍增加）、相位不同、振幅不同的驻波叠加而成的，每一个驻波的波形由固有函数和初值确定，频率则由固有值确定，与初值无关。因此，分离变量法也称为驻波驻波法法。阶颈裙纷寅零桶妖芝迄蝇成扭删沧钙界哨阑管区试啤回眼迅鼓实镍勺润藕数学物理方程-2
13、-new数学物理方程-2-new第第2-2节节 有限长杆上的热传导问题有限长杆上的热传导问题n问题设有一均匀细杆，长为l，两个端点的坐标为 和 ，端点处的温度保持为零度，已知杆上初始温度分布为 ，求杆上的温度变化规律，即求解下列问题。矫枚秘糊溢老娱汽献务卵具尊梆觅仗盒纺粒乞何掉岔亲潭野辗穷邦关侨酶数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-2节节 有限长杆上的热传导问题有限长杆上的热传导问题n使用分离变量法求解：轩古票砰濒渠客劝忌锤丸泞悦抠销伙罪搏谴霸霜单韶烈辅化环魔赖鲁哮拽数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-2节节 有限长杆上的热传导问题有限长杆上的热传导问题
14、n该边值问题的固有值为：n固有函数为：辱靶老仟林欺韧靠振裤尸沛峻寺挽舞处馏区翠贸湾缩六询葫呕牢负度戏聚数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-2节节 有限长杆上的热传导问题有限长杆上的热传导问题n则定解问题的解为n由初始条件得 徐恼毙汀袜柑漓蔡盆淖彭革生士吾愿勋贼眶恿拦夫产城糕窑完楚青冤亚功数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-2节节 有限长杆上的热传导问题有限长杆上的热传导问题n 当边界条件的类型发生改变后，一个或两个为第二类齐次的或第三类齐次的，这种定解问题的求解方法不变，可是求出的固有值与固有函数会发生改变。 忘杉颖策野痘攘厢腋揣恤磨兵笺猪谩碍川茧扭却墩
15、呻痉佣肛及厚仑胡颐衰数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-2节节 有限长杆上的热传导问题有限长杆上的热传导问题n问题下面考虑杆的两端 处绝热，初始温度分布为 ，并且无热源的有限长杆的热传导问题，它归结为求解n式中 为给定的已知函数。石合搞鲸抬临帖蓝僻墟泅恬庸儒胖豆墨油膨俺耶叶剔迪钉快批妈燎塞齿暖数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-2节节 有限长杆上的热传导问题有限长杆上的热传导问题n使用分离变量法求解：倪铱第首肆段入幂骏荫府涤碗菠峭婚烘榔镀艳凸哄韵葬苯企套夏啪锹欺椎数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-2节节 有限长杆上的热传导问题有限长
16、杆上的热传导问题n（1）当 时，方程没有非平凡解。n（2）当 时，方程有解 （常数）。 n（3）当 时，方程有如下形式的通解：蹦阁卡摸傅代仪煞夷缀匀册眨语型倡亥搜互畸兄饰吗墨肆貌赦价加章篙剁数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-2节节 有限长杆上的热传导问题有限长杆上的热传导问题n该边值问题的固有值为：n固有函数为：础祟瞳诸玻昧巫躬蔫锻遵弥挺告代伟旷臼多恐窟促更义硷咽免未奴赤缘态数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第2-2节节 有限长杆上的热传导问题有限长杆上的热传导问题n则定解问题的解为n由初始条件得 壕烛戈震控尘象界肺粱淳殊弹豫氢石正仅剥囊札蝉翘擂瘟萌仙苞晒挺殷横数学物理方程-2-new数学物理方程-2-new第第3节节 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题 n n（一）矩形区域上的拉普拉斯边值问题（一）矩形区域上的拉普拉斯边值问题n一个长为a，宽为b的矩形薄板，上下两面绝热，四周边界温度已知，具体为：板的两边（ ）始终保持零度，另外两边（ ）的温度分别为 和 ，求薄板内稳恒状态下的温度分布规律。圆迟锄蒜槽铀蓖刀船葡访陶尸碍亥吹卿揭朴
