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1、.高考总复习圆锥曲线概念方法技巧总结一.圆锥曲线的定义：定义中要重视括号内的限制条件：椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹；双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|FF|,定义中的绝对值与|FF|不可忽视。若|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若|FF|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。练习：1.已知定点,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是答：C；A B C D2.方程表示的曲线是_答：双曲线的左支3.已知点及抛物线上一动点Px,y,则y
2、+|PQ|的最小值是_答：2二.圆锥曲线的标准方程标准方程是指中心顶点在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程：1椭圆：焦点在轴上时参数方程,其中为参数,焦点在轴上时1。方程表示椭圆的充要条件是什么？ABC0,且A,B,C同号,AB。2双曲线：焦点在轴上： =1,焦点在轴上：1。方程表示双曲线的充要条件是什么？ABC0,且A,B异号。3抛物线：开口向右时,开口向左时,开口向上时,开口向下时。练习：1.已知方程表示椭圆,则的取值范围为_答：；2.若,且,则的最大值是_,的最小值是_答：3.双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,则该双曲线的方程_4.设中心在坐标原点,焦点、在坐标轴上,离心率的双
3、曲线C过点,则C的方程为_答：5.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是_三.圆锥曲线焦点位置的判断首先化成标准方程,然后再判断：1椭圆：由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。2双曲线：由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上；3抛物线：焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。特别提醒：1在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F,F的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向；2在椭圆中,最大,在双曲线中,最大,。
4、四.圆锥曲线的几何性质：椭圆的图像和性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围顶点轴长长轴的长= ,短轴的长= 焦点焦距对称性准线方程焦半径|PF1|左 |PF1|右|PF1|上 |PF1|下离心率：焦准距：通径长：双曲线的图像和性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围顶点轴长实轴的长=,虚轴的长= 焦点焦距对称性准线方程焦半径|PF1|左 |PF1|右|PF1|上 |PF1|下渐近线方程离心率：焦准距：通径长：抛物线标准方程图形顶点对称轴焦点准线方程范围通径离心率焦半径|PF| |PF| 抛物线的焦点弦性质：练习：1.若椭圆的离心率,则的值是_答：3或；2.以椭圆上一点和椭
5、圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为_3.双曲线的渐近线方程是,则该双曲线的离心率等于_答：或；4.双曲线的离心率为,则=答：4或；5.设双曲线a0,b0中,离心率e,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_答：；6.设,则抛物线的焦点坐标为_答：；五、点和椭圆的关系：1点在椭圆外；2点在椭圆上1；3点在椭圆内六直线与圆锥曲线的位置关系：1相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件；直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有,当直线与抛物线
6、的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。如2相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；3相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。特别提醒：1直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；2过双曲线1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条；
7、P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条；P在两条渐近线上但非原点,只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；3过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.练习：1.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_2.直线ykx1=0与椭圆恒有公共点,则m的取值范围是_3.过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若AB4,则这样的直线有_条4.过点作直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线有_答：2；5.过点与双曲
8、线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_6.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,若4,则满足条件的直线有_7.对于抛物线C：,我们称满足的点在抛物线的内部,若点在抛物线的内部,则直线：与抛物线C的位置关系是_答：相离；8.过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是、,则_答：1；9.设双曲线的右焦点为,右准线为,设某直线交其左支、右支和右准线分别于,则和的大小关系为_ 答：等于；10.求椭圆上的点到直线的最短距离答：；11.直线与双曲线交于、两点。当为何值时,、分别在双曲线的两支上？当为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点？答：；七、焦半径圆锥曲线上的点
9、P到焦点F的距离的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径,其中表示P到与F所对应的准线的距离。练习：1.已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为_答：；2.已知抛物线方程为,若抛物线上一点到轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于_；3.若该抛物线上的点到焦点的距离是4,则点的坐标为_答：；4.点P在椭圆上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为_5.抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到轴的距离为_6.椭圆内有一点,F为右焦点,在椭圆上有一点M,使 之值最小,则点M的坐标为_答：；八、焦点三角形椭圆或双
10、曲线上的一点与两焦点所构成的三角形问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,则在椭圆中,当即为短轴端点时,的最大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有：。练习：1.短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为、,过作直线交椭圆于A、B两点,则的周长为_答：6；2.设P是等轴双曲线右支上一点,F1、F2是左右焦点,若,|PF1|=6,则该双曲线的方程为答：；3.椭圆的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当0时,点P的横坐标的取值范围是答：；4.双曲线的虚轴长为4,离心率e,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且是与等差
11、中项,则_答：；5.已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且,求该双曲线的标准方程答：；九、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：1以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；2设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则AMFBMF；3设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A,B,若P为AB的中点,则PAPB；4若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。十、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则,若分别为A、B的纵坐标,则,若弦AB所在直线方程设为,则。特别地,焦点弦过焦
12、点的弦：焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。练习：1.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于Ax1,y1,Bx2,y2两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_2.过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ABC重心的横坐标为_答：3；十一、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用韦达定理或点差法求解。在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=。练习：1.如果椭圆弦被点A4,2平分,那么这条弦所在的直线方程是答：；
13、2.已知直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L：x2y=0上,则此椭圆的离心率为_答：；特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验！十二你了解下列结论吗？1双曲线的渐近线方程为；2以为渐近线即与双曲线共渐近线的双曲线方程为为参数,0。3中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；4椭圆、双曲线的通径过焦点且垂直于对称轴的弦为,焦准距焦点到相应准线的距离为,抛物线的通径为,焦准距为； 5通径是所有焦点弦过焦点的弦中最短的弦；6若抛物线的焦点弦为AB,则；7若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点13动点轨迹方程：1求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；2求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；如已知动点P到定点F和直线的距离之和等于4,求P的轨迹方程答：或；待定系数法：已知所求曲线的类型,求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点Mm,0,端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为答：；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点
