第2课时 函数的最大(小)值学 习 目 标核 心 素 养1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点)2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点)3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点)4．通过本节内容的学习，体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高逻辑推理、数学运算的能力．(重点、难点)1．借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养．2．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养.1．从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？2．函数最大值、最小值的定义是什么？3．若函数f(x)在区间[a，b]上为单调增函数，则它的最大值和最小值各是什么？4．所有函数在定义域内一定有最大值或最小值吗？函数最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有f(x)≤Mf(x)≥M∃x0∈D，使得f(x0)＝M结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？[提示] 不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．1.下列函数f(x)＝2x－1(x<0)的说法中，正确的是________．(填序号)①有最大值；②有最小值；③既有最大值又有最小值；④既无最大值又无最小值．[答案] ④2.函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________，________.[答案] －1 23.(1)函数f(x)＝，x∈[2,4]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．(2)函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．[答案] (1)1 (2)4 [函数y＝2x2＋2在(0，＋∞)上是增函数，又因为x∈N*，所以当x＝1时，y最小值＝2×12＋2＝4.] 类型1 利用函数的图象求函数的最值(值域)【例1】 已知函数f(x)＝(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．[解] (1)图象如图所示：(2)由图可知f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]，单调递减区间为(0,2)，值域为[－1,3]．利用图象求函数最值的方法(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点；(3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值．1．已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．[解] 作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0. 类型2 利用函数的单调性求最值(值域)【例2】 已知函数f(x)＝.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解] (1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－10，x2＋1>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．同理f(x)在[2,4]上是增函数．∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5. 类型3 利用函数的最值解决恒成立问题【例3】 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．[解] (1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2.任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x10在[1，＋∞)上恒成立，即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，由y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上为增函数，知当x＝1时，y取得最小值3＋a.所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立．于是实数a的取值范围为(－3，＋∞)．法二：依题意f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．所以a>－x2－2x在[1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)，因为g(x)＝－x2－2x在[1，＋∞)上为减函数，所以g(x)max＝g(1)＝－1－2＝－3，所以a>－3，故实数a的取值范围为(－3，＋∞)．分离参数法在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解：若对区间D上的任意x，a>f(x)恒成立，则a>f(x)max；若对于区间D上的任意x，af(x)成立，则a>f(x)min；若在区间D上存在x使a0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1.]。
