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1、试卷第1页，总 6 页手拉手模型专题训练一、解答题1 . (1)如图，和 (?)1都是等边三角形，且点3，C,七在一条直线上，连结8。和AE,直线B。，人石相交于点。. 则线段6。与A石的数量关系为. 30与AE相交构成的锐角的度数为. (2)如图，点3, C,石不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立. 图图图(3)应用：如图，点3，C, E不在同一条直线上，其它条件依然不变，此时恰好有NAEC = 30 .设直线AE交CO于点。，请把图形补全.若PQ = 2,则。p = 2 .在朋aAbC中，ABAC = 90, AB = AC.(1)如图1,点。为5c边上一点 , 连接AO,
2、以AD为边作Rt/ADE, ZDAE =90 , AD=AE,连接及二直接写出线段3。与CE的数量关系为，位置关系为. (2)如图2,点。为5c延长线上一点，连接40,以A。为边作HfAAOf, ZDAE = 90, AD = AE,连接EC. 用等式表示线段6C, DC, EC之间的数量关系为. 求证：BD2 + CD2 = 2AD2 .(3)如图3,点。为-AbC外一点，且NA3C = 45。，若60 = 13, CD=5 ,求A。 的长 .试卷第2页，总 6 页3 .如图，在AA3C中，。是6c边上一点，RAD = AB.AE/BC. ABAD = ZCAE ,(1)若4 = 65。，求
3、NC的度数 . (2)若AE = AC,则AO平分4。石是否成立？判断并说明理由. 4 .如图，AC8和反Z都是等腰直角三角形，C4 = C5,CO=CE,7C6的顶点A在&?的斜边。石上，连接(2)若4 =女叫4。= 6。n，求AC的长 . 5 .如图，。为等边 A6c的边5C延长线上的一动点，以AP为边向上作等边连接CO. (1)求证：4ABp 经4ACD ?,(2)当尸C = AC时，求NPOC的度数 ; (3)NP0C与/ 尸4C有怎样的数量关系？随着点/ 位置的变化，NPOC与/PAC的数量关系是否会发生变化？请说明理由. 图1(1)求证：BD = AE.试卷第3页，总 6 页D6
4、.如图，若A60和ACE都是等边三角形，求N8OC的度数 . 7.在直线A3的同一侧作两个等边三角形A6O和5CE,连接4月与CO,试解决下列问题：（1）求证：AE = DC；（2）求的度数；（3）连接G/ ，试判断zG厂形状 . 8 .如图，点。是等边A6C内一点，ZAOB = 110 , ABOC = a.以OC为一边作等边三角形08,连接40. （1）若4Ao =/C4O,求。的值；（2）当。 = 150时，试判断40。的形状，并说明理由; 9 .如图，以ASC的边A5、4C向外作等边A6O和等边ACE,连接的、AAQD是等腰三角形 ? 试卷第4页，总 6 页8. 问：线段的和CD有什么
5、数量关系？试证明你的结论. 10 .如图，在等边三角形A5C中，。是A5边上的动点，以8 为一边向上作等边三(1)求证：ACE/ BCD ? ,(2)求证：AE/BC；(3)当点。运动到A6的中点时，8c与CE?有什么位置关系？并说明理由. 11 .如图，AC1BC, DCLEC, AC=BC, DC = EC, AE 与BD 交于点、F .(1)请问AE = 吗？请说明理由；(2)请判断AE与5。的位置关系，并说明理由. 12 .如图，AC = DCf AB = DE, CB = CE.求证：Z1 = Z2. 13 .如图1,在 ABC 中，AC=BC, ZACB=90, CE 与AB 相交
6、于点D,且BE_LCE, 试卷第5页，总 6 页AFJ_CE,垂足分别为点E, F.试卷第6页，总 6 页(2)如图2,取AB的中点G,连接FG, EG,求证：FG=EG. 14 .如图，已知6c是等边三角形，点。在8c边上，厂是以4。为边的等边三角形，过点尸作8。的平行线交线段AC于点 , 连接BF,求证 : (2)四边形8CE尸是平行四边形. 15 .如图，点B、C在一直线上，6c和石都是等边三角形. (2)探索线段84、BD、8E之间的数量关系，并说明理由. 16. 问题情境 : 在自习课上，小雪拿来了如下一道题目( 原问题 ) 和合作学习小组的同学们交流，如图， ACB 和4 CDE
7、均为等腰三角形.CA=CB, CD=CE, NACB=NDCE.点A、D、E在同一条直线上，连接BE.求证：ZCDE=ZBCE+ZCBE. 问题发现 : 小华说：我做过一道类似的题目：如图， ACB和4CDE均为等边三角形，其他条件不变，求/AEB的度数 . (1)请聪明的你完成小雪的题目要求并直接写出小华的题目要求. 拓展研究：AB(1)若AF=5, BE=2, (1)AFB=ADC x试卷第7页，总 6 页(2)如图， ACB和ADCE均为等腰直角三角形，NACB=NDCE=90。，点A、D、E在同一条直线上，CF为 DCE中DE边上的高，连接BE.请求NAEB的度数及线段CF、AE、BE
8、之间的数量关系，并说明理由. 17 .在中，ZACB =90, AC = BC. D 为AB 上一前,连结CO,将CO 绕C点逆时针旋转90。至CE,连结。七，过C作C尸石交45于尸，连结3E. (1)求证：AD = BE.(2)试探索线段A。，BF , OF之间满足的等量关系，并证明你的结论. (3)若28=15。，CD = ?1，求BF .(注：在直角三角形中，30。所对的直角边等于斜边的一半)本卷由系统 Il动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第1页，总 24 页参考答案1. （1）相等，60 ; （2）成立，证明见解析；（3）见解析，4. 【分析】（1）证明ABCD且ZACE,
9、并运用三角形外角和定理和等边三角形的性质求解即可；（2）是第（1）问的变式，只是位置变化，结论保持不变；（3）根据NAEC=30。，判定AE是等边三角形CDE的高，运用前面的结论，把条件集中到一个含有30。角的直角三角形中求解即可. 【详解】（1）相等 ; 60.理由如下 : ? ?. 人方。和C。石都是等边三角形，A ZACB = ZDCE = BC = AC, DC = CE,? ? ZBCD=ZACE,在AC石和58中CB = CA? /BCD = ZACE , CD = CE? ? AACE ZXBCD.：.BD = AE，ZBDC = ZAEC.又?：ADNA = /ENC,证明：?
10、A6C和COE都是等边三角形, 图?* ZACB = ZDCE = 60 BC = AC, DC = CE,本卷由系统 Il动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第2页，总 24 页? ZBCD = ZACE ,在石和BCD中CB = CA?/BCD = ZACE , CD = CE? AACE g 6C ） . : ? BD = AE，ZBDC = ZAEC.又?：ZDNA = ZENC,：?ZDPE = /DCE = 60 .（3）补全图形（如图），? ?CDE是等边三角形，Z. ZDEC=60 ,? / ZAEC=30% Z. NAEC=NAED, ，EQ_LDQ, Z. ZDQP
11、=90 ,根据（1）知，NBDC=NAEC=30。，VPQ=2, ADP=4. 【点睛】本题是一道猜想证明题，以两线段之间的大小关系为基础，考查了等边三角形的性质，三角形的全等，直角三角形的性质，证明两个手拉手模型三角形全等是解题的关键. 2. （1）BD = CE, BD1CE ：（2）BC+DC = EC,见解析；（3） 6vl. 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得到4 = /AC5 = 45。，根据题意可知本卷由系统 Il动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第3页，总 24 页ABAC-ADAC = ZDAE- ADAC, 即4A0=/C4石，再利用SAS 证明8A 且C4E
12、1,可得到6D = CE, ZABC=ZACE = 450,从而算出/BC石的度数，进而得到线段8。与CE的位置关系；（2）根据角度的运算得到/5AO = /CA石，再利用%S证得8AD 0C4E,得到BD = CE,再根据83 = 3C+C3,等量代换即可求出答案；由中8A。0。1石，得到53 = CE, ZABC = ZACE,在根据等腰直角三角形的性质即可得出NACE的度数，进而证得N8CE = NDCE = 90。，根据勾股定理得到AE2 + AD- = DE2? CE- + CD2 = DE2，等量代换后得到AE? + AO? = CE?+ 8? ，又因为AE = AO, 53 =
13、CE,代入即可得出答案；（3）过点人作AE_LA ,并且A = 4），连接。E，CE,得到APE是等腰直角三角形，由（2）得84）且C4E,得到63 = CE,在m C3E中，通过勾股定理求出OE 的长度，在石中又由勾股定理得：AE2 + AD2 = DE2，再根据AE=A。，代入数据即可求出4。的长度 . 【详解】（1）?.? 在以aAbC 中，ABAC = 90, AB = AC,ZB = ZACB = 45。,ZDAE = 90,ABAC-ZDAC = ZDAE- ADAC,即4AD =/CAE, 在ABAD和CAE中AB = AC BD = CE,? 2AD2 = BD2 + CD2，
14、即BD2 + CD2 = 2AD2 .（3）过点A作AE_LAQ,并且AE = 4 ）,连接。E, CE,如图 , ? 闻的是等腰直角三角形，? ?. ZADE= 45,本卷由系统 Il动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第5页，总 24 页ZAPC = 45,ZC E = 90 ,由（2）中可知，8A0且C4石, ? *- BD = CE,?80 = 13, CD = 5,CE = 13,在RfLCDE中,由勾股定理得：DE? + CD ，= CE，DE= 4CE-CD2=12 ?在HfAAOE中，由勾股定理得：AE2 + AD2 = DE2? ? 2AD2 = 144，? ? AD
15、 = 6y/2 .【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是合理添加辅助线找出两个三角形全等. 3.(1) 50 ； (2)成立，理由见解析【分析】(1)根据等腰三角形的性质得出NADB=NB=65。，根据三角形的内角和定理求出ZBAD=50 ,求出NCAE=50。，根据平行线的性质得出即可；(2)求出NBAC=NDAE,根据全等三角形的判定推出 BAC且口 ?, 根据全等三角形的性质得出NB=NADE,求出NADE=NADB即可二【详解】解：(1) V ZB=65 , AB=AD,:. ZADB=ZB=65,ZB+ ZB AD+ ZB AD= 180,
16、/. ZBAD=50,V ZCAE=ZBADt/. ZCAE=50,VAE/7BC. AZC=ZCAE=50：本卷由系统 Il动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第6页，总 24 页(2)AD 平分NBDE, 理由是：V ZBAD=ZCAE, /. Z BAD+ Z CAD= Z CAE+ Z CAD, 即NBAC=NDAE, AB = AD在 BAC 和 DAE 中，ABAC = /DAE ,AC = AE.?. BACADAE (SAS)/. ZB=ZADE, ?/ ZB=ZADB,:.NADE=NADB, 即AD平分/BDE. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定定理，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键. 4.(1)证明见解析；(2)人。=占叵口11. 2 【分析】(1)根据同角的余角相等得出NBCD=NACE,然后根据SAS定理证明 BCDgZACE, 从而得出结论：本卷由系统 Il动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第7页，总 24 页(2)根据全等三角形的性质得出NBDC=NAEC,然后结合等腰直角
