一、基本概念二、基本关系三、重要结论与典型例题第四章 13 向量组(1) 定义分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、基本概念一、基本概念1、向量与向量组（P81）例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量(2) (2) n n维向量的表示方法维向量的表示方法n维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：n维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：注意行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；向量按照矩阵的运算法则进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式坐标系坐标系(3) (3) 向量空间向量空间空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系坐标系代数形象：向量空间中的平面几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面一一对应叫做 维向量空间 时， 维向量没有直观的几何形象叫做 维向量空间 中的 维超平面 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组(4) (4) 向量组向量组确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量 维向量的实际意义若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用思考题思考题如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加思考题解答思考题解答答36维的2、向量组的线性表示 （P82）则向量b是向量组A的线性组合，这时称b向量能由向量组A线性表示(2)向量组中任意向量可以由该向量组“线性表示”.(1)零向量可以由任意向量组“线性表示”.显然3、向量组的线性相关性（P87）(1)定义则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关注意(2) 说明1）对于任一向量组，不是线性无关就是线性相关；2）包含零向量的任何向量组都是线性相关的；5）向量组 （当 时）线性相关的充分必要条件是 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示定义 (2) 向量组A中任意r +1个向量(如果有的话)都线性相关.等价 (2)* 向量组A中任何一个(其它)向量可由A0: 线性表示.4、向量组的秩（P90）等价（2）说明1）只含有零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0； 2）最大无关组不唯一，但秩是确定的； 3）向量组与它的最大无关组是等价的. 二、基本关系二、基本关系1、向量组与矩阵向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. （1）有限个向量所组成的有序向量组与矩阵是一一对应的. （2）矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩. （P90）向量组秩的求法： 以向量组中的向量作为列向量（或行向量）构成一个矩阵，然后用初等变换求秩. 非齐次方程组与增广矩阵的列向量组一一对应2、向量组与线性方程组齐次方程组与系数矩阵的列向量组一一对应1、线性表示三、重要结论与典型例题三、重要结论与典型例题（P83 定理1）（P77 定理6，P84 定理2，P92 定理2）（X：线性表示的系数矩阵）（P92 定理3）（P84 定理2 推论）(3) 任一n维向量（组）都能由n维单位向量组线性表示解例1分析解 考虑即非齐次线性方程组对方程组的增广矩阵进行初等行变换,得可见，R(A)=R(B)=3,方程组有唯一解:解 考虑矩阵可见，R(A)=2, R(B)=3,R(A) R(B)解 考虑矩阵可见，R(A)=R(B)=2,可见，R(A)=R(B)=2,表达式有无穷多种.于是，有表达式这是无穷多种表达式之中的一个.2、相关性（P88 定理4）解例5证一证二（P89 定理5）特别地， n +1个 n 维向量必线性相关.证3、最大无关组例8 考察向量组A:证明证明解之得证明解之得向量组的最大线性无关组一般不是唯一的与向量组例9解构造矩阵所以 R(A)=2从而 例10解构造矩阵所以 R(A)=2从而 例11 求向量组A的秩，求一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示.解构造矩阵对矩阵进行初等行变换将其化为行最简形,得行所以 R(A)=3。