[重点保分 两级优选练]A级一、选择题1．若函数y＝aex＋3x在R上有小于零的极值点，则实数a的取值范围是( )A．(－3，＋∞) B．(－∞，－3)C. D.答案 B解析 y＝aex＋3x，求导，y′＝aex＋3，由若函数y＝aex＋3x在R上有小于零的极值点，则y′＝aex＋3＝0有负根，则a≠0，则ex＝－在y轴的左侧有交点，∴0<－<1，解得：a<－3，实数a的取值范围为(－∞，－3)．故选B.2．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)≠0，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(－3)＝0，则不等式<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)答案 D解析 ∵f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴为奇函数，的图象关于原点对称．当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，∴′＝>0，∴当x<0时，是增函数，故当x>0时，也是增函数. 函数的单调性的示意图，如图所示：∵f(－3)＝0，∴f(3)＝0，∴由不等式<0，可得x<－3或01，f(0)＝2018，则不等式exf(x)>ex＋2017(其中e为自然对数的底数)的解集为( )A．(－∞，0)∪(0，＋∞) B．(0，＋∞)C．(2017，＋∞) D．(－∞，0)∪(2017，＋∞)答案 B解析 设g(x)＝exf(x)－ex，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]，∵f(x)＋f′(x)>1，ex>0，∴g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0，∴g(x)是R上的增函数．又g(0)＝f(0)－1＝2017，∴g(x)>2017的解集为(0，＋∞)，即不等式exf(x)>ex＋2017的解集为(0，＋∞)．故选B.6．设函数f(x)＝x(ln x－ax)(a∈R)在区间(0,2)上有两个极值点，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案 D解析 f(x)＝x(ln x－ax)，求导f′(x)＝ln x－2ax＋1，由题意，关于x的方程2ax＝ln x＋1在区间(0,2)有两个不相等的实根，则y＝2ax与y＝ln x＋1有两个交点，由y＝ln x＋1，求导y′＝，设切点(x0，y0)，＝，解得x0＝1，∴切线的斜率k＝1，则2a＝1，a＝，则当x＝2，则直线斜率k＝，则a＝，∴a的取值范围为，故选D.7．若函数f(x)＝a(x－2)ex＋ln x＋存在唯一的极值点，且此极值大于0，则( )A．0≤a< B．0≤a0，∴f′(x)＝a(x－1)ex＋－＝(x－1)，由f′(x)＝0得到x＝1或aex＋＝0(*)．由于f(x)仅有一个极值点，关于x的方程(*)必无解，①当a＝0时，(*)无解，符合题意，②当a≠0时，由(*)得，a＝－，∴a>0，由于这两种情况都有，当01时，f′(x)>0，于是f(x)为增函数，∴x＝1为f(x)的极值点，∵f(1)＝－ae＋1>0，∴a<.综上可得a的取值范围是.故选A.8．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )A．20 B．18 C．3 D．0答案 A解析 对于区间[－3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，等价于对于区间[－3,2]上的任意x，都有f(x)max－f(x)min≤t.∵f(x)＝x3－3x－1，∴f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，∵x∈[－3,2]，∴函数在[－3，－1]，[1,2]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝f(－1)＝1，f(x)min＝f(－3)＝－19，∴f(x)max－f(x)min＝20，∴t≥20，∴实数t的最小值是20，故选A.9．已知函数y＝xex＋x2＋2x＋a恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围为( )A. B.C. D.答案 B解析 函数y＝xex＋x2＋2x＋a恰有两个不同的零点，就是xex＋x2＋2x＋a＝0恰有两个不同的实数解，设g(x)＝xex＋x2＋2x，则g′(x)＝ex＋xex＋2x＋2＝(x＋1)(ex＋2)，x<－1，g′(x)<0，函数是减函数，x>－1，g′(x)>0，函数是增函数，函数的最小值为g(－1)＝－1－，则－a>－1－，即a<1＋.函数y＝xex＋x2＋2x＋a恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围为.故选B.10．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )A．1 B. C. D.答案 D解析 |MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－ln x的最小值，h′(x)＝2x－＝，令h′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.二、填空题11．若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．答案 解析 对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a.当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.要使f(x)在上存在单调递增区间，则必须有f′>0，即＋2a>0，解得a>－，所以a的取值范围是.12．已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为________．答案 (－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)解析 由函数图象可知f′(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f′(x)<0的解集为(－1,1)．由(x2－2x－3)f′(x)>0，得 ①或 ②解①得x<－1或x>3；解②得－10的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．故答案为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．13．定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(3)＝0，且当x>0时，不等式f(x)>－xf′(x)恒成立，则函数g(x)＝xf(x)＋lg |x＋1|的零点的个数是________．答案 3解析 定义在R上的奇函数f(x)满足：f(0)＝0＝f(3)＝f(－3)，且f(－x)＝－f(x)，又x>0时，f(x)>－xf′(x)，即f(x)＋xf′(x)>0，∴[xf(x)]′>0，函数h(x)＝xf(x)在x>0时是增函数．又h(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，∴h(x)＝xf(x)是偶函数；∴x<0时，h(x)是减函数，结合函数的定义域为R，且f(0)＝f(3)＝f(－3)＝0，可得函数y1＝xf(x)与y2＝－lg |x＋1|的大致图象如图所示，∴由图象知，函数g(x)＝xf(x)＋lg |x＋1|的零点的个数为3个．14．设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.答案 ①③④⑤解析 令f(x)＝x3＋ax＋b，则f′(x)＝3x2＋a.对于①，由a＝b＝－3，得f(x)＝x3－3x－3，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝－1<0，f(x)极小值＝f(1)＝－5<0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；对于②，由a＝－3，b＝2，得f(x)＝x3－3x＋2，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝4>0，f(x)极小值＝f(1)＝0，函数f(x)的图象与x轴有两个交点，故x3＋ax＋b＝0有两个实根；对于③，由a＝－3，b>2，得f(x)＝x3－3x＋b，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝2＋b>0，f(x)极小值＝f(1)＝b－2>0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故 x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；对于④，由a＝0，b＝2，得f(x)＝x3＋2，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；对于⑤，由a＝1，b＝2，得f(x)＝x3＋x＋2，f′(x)＝3x2＋1>0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根．B级三、解答题15．已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a<1时，试确定函数g(x)＝f(x－a)－x2的零点个数，并说明理由．解 (1)因为f(x)＝(x＋a)ex，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝－a－1.当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：x(－∞，－a－1)－a－1(－a－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值故f(x)的单调递减区间为(－∞，－a－1)，单调递增区间为(－a－1，＋∞)．(2)结论：函数g(x)有且仅有一个零点．理由如下：由g(x)＝f(x－a)－x2＝0，得方程xex－a＝x2，显然x＝0为此方程的一个实数解，所以x＝0是函数g(x)的一个零点．当x≠0时，方程可化简为ex－a＝x.设函数F(x)＝ex－a－x，则F′(x)＝ex－a－1，令F′(x)＝0，得x＝a.当x变化时，F(x)与F′(x)的变化情况如下：x(－∞，a)a(a，＋∞)F′(x)－0＋F(。
