理科数学 第 页（共 4 页）12020 年普通高等学校招生全国统一考试（年普通高等学校招生全国统一考试（III 卷）卷）理科数学理科数学一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则中元素的个数为,| ),(*xyyxyxAN8| ),(yxyxBBAA. 2B. 3C. 4D. 62. 复数的虚部是i 311A. B. C. D. 1031011011033. 在一组样本数据中，1、2、3、4 出现的频率分别为，且，则下面四种情形4321pppp，141iip中，对应样本的标准差最大的一组是A. B. 0.41 . 03241pppp，0.14 . 03241pppp，C. D. 0.32 . 03241pppp，0.23 . 03241pppp，4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)（t 的单位：天）的 Logistic 模型：，其中 K 为最)53(23. 0e1)(tKtI大确诊病例数。
当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）KtI95. 0)(*t319lnA. 60B. 63C. 66D. 695. 设 O 为坐标原点，直线 x = 2 与抛物线交于 D、E 两点，若，则 C 的)0(2:2ppxyCOEOD 焦点坐标为A. B. C. D. )0 ,41()0 ,21()0 , 1 ()0 , 2(6. 已知向量 a、b 满足，则61|5|baba，baa,cosA. B. C. D. 35313519351735197. 在中，则ABC3432cosBCACC，Bcos2020.7理科数学 第 页（共 4 页）2A. B. C. D. 913121328. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A. 246B. 244C. 326D. 3249. 已知，则7)4tan(tan2tanA. -2B. -1C. 1D. 210. 若直线 l 与曲线和圆都相切，则 l 的方程为xy 5122 yxA. B. C. D. 12 xy212 xy121xy2121xy11. 设双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为P 是 C 上一点，)0, 0( 1:2222babyaxC5且。
若的面积为 4，则 a =PFPF2121FPFA. 1B. 2C. 4D. 812. 已知，设，则4585 54813 8log5log3log1385cba，A. B. C. D. cbacabacbbac二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分13. 若 x、y 满足约束条件则的最大值为_ 1, 02, 0 xyxyxyxz23 14. 的展开式中常数项是_（用数字作答） 6)2(2xx 15. 已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_理科数学 第 页（共 4 页）316. 关于函数有如下四个命题：xxxfsin1sin)(的图像关于 y 轴对称)(xf的图像关于原点对称)(xf的图像关于直线对称)(xf2x的最小值为 2)(xf其中所有真命题的序号是_三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答。
一）必考题：共（一）必考题：共 60 分17. （12 分）设数列满足nanaaann43311，（1）计算，猜想的通项公式并加以证明；32aa ，na（2）求数列的前 n 项和2nnanS18. （12 分）某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级0,200(200,400(400,6001（优）216252（良）510123（轻度污染）678理科数学 第 页（共 4 页）44（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该区间的中点值为代表） ；（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好” ；若某天的空气质量等级为 3 或4，则称这天“空气质量不好” 根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有2295%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次 400人次 400空气质量好空气质量不好附：，)()()()(22dbcadcbabcadnK19. （12 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E、F 分别在棱 DD1、BB1上，且 2DE = ED1，BF = 2FB1。
1）证明：点 C1在平面 AEF 内；（2）若 AB = 2，AD = 1，AA1 = 3，求二面角 AEFA1的正弦值理科数学 第 页（共 4 页）520. （12 分）已知椭圆的离心率为，A、B 分别为 C 的左、右顶点)50( 125:222mmyxC415（1）求 C 的方程；（2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x = 6 上，且，求的面积BQBPBQBP，|APQ21. （12 分）设函数，曲线在点处的切线与 y 轴垂直cbxxxf3)()(xfy )21(,21(f（1）求 b；（2）若有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于 1)(xf)(xf理科数学 第 页（共 4 页）6（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计 分22. 选修：坐标系与参数方程（10 分）44在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为，C 与坐标轴交于 A、) 1(,32,222ttttyttx为参数且B 两点1）求；| AB（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程。
23. 选修：不等式选讲（10 分）54设10,abccbacba，R（1）证明：；0cabcab（2）用表示的最大值，证明：maxcbacba，34,maxcba。