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1、上海中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知角是第二象限角,直线2x+(tan)y+1=0的斜率为,则cos等于()ABCD参考答案:D【考点】直线的斜率【分析】表示出k,求出tan,根据角是第二象限角,求出cos即可【解答】解:由题意得:k=,故tan=,故cos=,故选:D2. 如图所示,在平面四边形ABCD中,为正三角形,则面积的最大值为ABCD参考答案:D在中,设,由余弦定理得:,为正三角形,在中,由正弦定理得: ,BAC,为锐角,当时, .3. 从正方形四个顶点及其中心这5个点
2、中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) 参考答案:B4. 已知半径为r的圆内切于某等边三角形,若在该三角形内任取一点,则该点到圆心的距离大于半径r的概率为()AB1CD1参考答案:B【考点】几何概型【分析】半径为r的圆内切于某等边三角形,则等边三角形的边长为2r,即可求出该点到圆心的距离大于半径r的概率【解答】解:半径为r的圆内切于某等边三角形,则等边三角形的边长为2r,该点到圆心的距离大于半径r的概率为1=1,故选B【点评】本题考查几何概型,考查面积的计算,属于中档题5. 函数的大致图象是( )参考答案:A略6. 如图,偶函数f(x)的图象如字母M,奇函数g(x)的
3、图象如字母N,若方程f(g(x)=0,g(f(x)=0的实根个数分别为m、n,则m+n=()A12B18C16D14参考答案:B【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数思想;转化法;函数的性质及应用【分析】若方程f(g(x)=0,则g(x)=,或g(x)=0,或g(x)=,进而可得m值;不妨仅g(x)的三个零点分别为a,0,a(0a1),若g(f(x)=0,则f(x)=a,或f(x)=0,或f(x)=a,进而得到n值【解答】解:若方程f(g(x)=0,则g(x)=,或g(x)=0,或g(x)=,此时方程有9个解;不妨仅g(x)的三个零点分别为a,0,a(0a1)若g(f(x)=0,则f(x)=a,
4、或f(x)=0,或f(x)=a,此时方程有9个解;即m=n=9,m+n=18,故选:B【点评】本题考查的知识点是数形结合思想,方程的根与函数零点之间的关系,难度中档7. (4) 已知下列三个命题: 若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的;若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; 直线x + y + 1 = 0与圆相切. 其中真命题的序号是:(A) (B) (C) (D) 参考答案:C8. 设,在约束条件下,目标函数的最大值小于2,则的取值范围为()A(1,1) B(1+,) C(1,3) D(3,)参考答案:A9. 函数f(x)=sin(2x+)的最小正周期为A.4 B.2
5、 C. D. 参考答案:C由题意,故选C.10. 若满足且的最小值为2,则的值为( )A. 1 B.1 C. 2 D. -2 参考答案:B【知识点】简单线性规划【答案解析】解:由约束条件作出可行域如图,由,得,B由得由图可知,当直线过B时直线在y轴上的截距最小,即z最小解得:k=-1故选B.【思路点拨】由此结合约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数x,y满足则z=的取值范围为 参考答案:【考点】7C:简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域,再由z=的几何
6、意义,即可行域内的动点与定点P(2,1)连线的斜率求解【解答】解:由约束条件作出可行域如图:A(2,0),联立,解得B(5,6),z=的几何意义为可行域内的动点与定点P(2,1)连线的斜率,z=的取值范围为故答案为:【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题12. 在平行四边形中,已知,点是的中点,与相交于点,若,则 参考答案:313. 若向量与共线且方向相同,则n=_参考答案:214. ,为复数的共轭复数,则_参考答案:试题分析:因为,所以,.考点:1.复数的概念;2.复数的四则运算.15. 的展开式中的系数为 参考答案:7由题意,二项式的展开式的通项为,令,得,
7、所以的系数为16. 在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y28x+15=0,若直线y=kx2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是参考答案:【考点】圆与圆的位置关系及其判定;直线与圆的位置关系【分析】由于圆C的方程为(x4)2+y2=1,由题意可知,只需(x4)2+y2=1与直线y=kx2有公共点即可【解答】解:圆C的方程为x2+y28x+15=0,整理得:(x4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆;又直线y=kx2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,只需圆C:(x4)2+y2=4与直线y=kx2有公共
8、点即可设圆心C(4,0)到直线y=kx2的距离为d,则d=2,即3k24k0,0kk的最大值是故答案为:17. 已知aR,函数为奇函数则f(1)= ,a= 参考答案:0,1.考点:函数奇偶性的性质 专题:函数的性质及应用分析:根据函数的解析式奇偶性得出f(1)=11=0,f(1)=f(1)=0,求解得出a1=0即可求解a的值解答:解;函数为奇函数f(1)=11=0,f(1)=a1,a1=0,a=1,f(x)=,满足f(x)=f(x),f(x)为奇函数故答案为:0,1点评:本题考查了函数的性质,运用解析式,奇偶性求解函数值,参变量的值,属于容易题三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出
9、文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分13分)如图,设是由个实数组成的行列的数表,其中表示位于第行第列的实数,且记为所有这样的数表构成的集合对于,记为的第行各数之积,为的第列各数之积令()对如下数表,求的值;()证明:存在,使得,其中;()给定为奇数,对于所有的,证明:参考答案:()解:,;, 所以 3分()证明:()对数表:,显然将数表中的由变为,得到数表,显然将数表中的由变为,得到数表,显然依此类推,将数表中的由变为,得到数表即数表满足:,其余所以 ,所以 ,其中7分【注:数表不唯一】()证明:用反证法 假设存在,其中为奇数,使得 因为, 所以,这个数中有个,个 令 一方面,由于
10、这个数中有个,个,从而 另一方面,表示数表中所有元素之积(记这个实数之积为);也表示, 从而 、相互矛盾,从而不存在,使得 即为奇数时,必有 13分19. (本小题满分10分)已知,若是单元素集,求实数的取值范围. 参考答案:是单元素集与有一个交点即方程在有一个根, 解得 解得 若,方程不成立 若,则 ,此时方程根为或 在上有两个根 ,不符合题意 综上或20. 设关于x的函数的定义域为集合A,函数,的值域为集合B.(1)求集合A,B; (2)若集合A,B满足,求实数a的取值范围.参考答案:解:()A=, =, B. (),或,实数a的取值范围是a|或略21. 如图,AB切O于点B,直线AO交O
11、于D,E两点,BCDE,垂足为C()证明:CBD=DBA;()若AD=3DC,BC=,求O的直径参考答案:【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】()根据直径的性质即可证明:CBD=DBA;()结合割线定理进行求解即可求O的直径【解答】证明:()DE是O的直径,则BED+EDB=90,BCDE,CBD+EDB=90,即CBD=BED,AB切O于点B,DBA=BED,即CBD=DBA;()由()知BD平分CBA,则=3,BC=,AB=3,AC=,则AD=3,由切割线定理得AB2=AD?AE,即AE=,故DE=AEAD=3,即可O的直径为3【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明,根据相应的定理是解决本题的关键22. (本小题满分14分)函数,过曲线上的点的切线方程为. (1)若在时有极值,求的表达式;(2)在(1)的条件下,求在-3,1上的最大值;(3)若函数在区间-2,1上单调递增,求实数b的取值范围. 参考答案:(1)由得,过上点的切线方程为,即.而过上点的切线方程为,故 3分在处有极值,故联立解得. 5分(2) ,令得 7分列下表:因此,的极大值为,极小值为,又在上的最大值为13.10分(3)在上单调递增,又,由(1)知,依题意在上恒有,即即在上恒成立.当时恒成立;当时,此时12分而当且仅当时成立要使恒成立,只须.14分