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1、特征值与特征向量【探究】1、计算下列结果：以上的计算结果与 的关系是怎样的？2、计算下列结果：以上的计算结果与 的关系是怎样的？例题分析建构数学设矩阵A ，如果对于实数l，存在一个非零向量a，使得Aa= la，则称l是矩阵A的一个特征值。a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量。 从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上。这时，特征向量或者方向不变(l0)， 或者方向相反(l0).特别地，当l=0时，特征向量被变换成了0向量. 设l是矩阵A= 的一个特征值，它的一个特征向量为则即 满足方程组故此时Dx=0、Dy=0.则D=0即因 0，所以x, y不全为0，建构数学设矩
2、阵A ，lR，我们把行列式称为A的特征多项式。分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f (l)=0此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解即 为矩阵A的属于l的一个特征向量.数学运用例1、求出矩阵A= 的特征值和特征向量 能否从几何变换的角度直接观察出矩阵A的特征向量？思考：总结求二阶矩阵特征值与特征向量的步骤：其几何意义是什么？ 如果a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量，则对任意的非零常数t，ta也是矩阵A的属于特征值l的特征向量。【定理1】属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线.属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。【定理2】属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系？思考：探究：1、矩阵A=
3、 的特征向量是什么？怎样从几何角度加以解释？2、从几何角度解释的特征向量。P73 习题2.5 1.求特征值与特征向量:（2008江苏高考） 设椭圆4x2+y2=1在矩阵 对应的变换下得到曲线F, 求F的方程.（2009江苏高考） 求矩阵 的逆矩阵.在平面直角坐标系xoy中, 已知点A(0, 0), B(-2, 0), C(-2, 1), 设k为非零实数, 矩阵M= , N= ，点A, B, C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1, B1,C1, A1B1C1的面积是ABC面积的2倍, 求k的值。（2010江苏高考） 知识回顾2、自学课本69至70页内容，总结求的步骤。新课讲解建构数学建构数学任意向量都可以用特征向量来表示。数学运用P73 习题2.5 3.例4.已知二阶矩阵M有特征值 及对应的一个特征向量 ,并且矩阵对应的变换将点(-1,2)变成(-2,4)(1) 求矩阵M；(2) 求矩阵M的另一个特征值及对应的特征向量；(3) 求直线l: x-y+1=0在矩阵M的作用下的直线l/.l/: x-y+1=0
