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1、江苏省常州市金坛市儒林中学高三数学文模拟试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 集合A=1,5,1,A的子集中,含有元素5的子集共有()A2个B4个C6个D8个参考答案:B【考点】子集与真子集【专题】计算题;转化思想;综合法;集合【分析】由集合A中的元素有1,5,1共3个,含有元素5的子集,可能含有1,1,代入公式得结论【解答】解:由集合A中的元素有1,5,1共3个,含有元素5的子集,可能含有1,1,代入公式得:22=4,故选:B【点评】本题的关键是掌握当集合中元素有n个时,子集的个数为2n同时注意子集与真子集的区
2、别:子集包含本身,而真子集不包含本身2. 等差数列的前项的和为,且,则( )A. 2012 B. -2012 C. 2011 D. -2011参考答案:D在等差数列中,所以,所以,选D.3. 函数(,且)的图象恒过定点,且点在角的终边上,则( )A. B. C. D. 参考答案:C【分析】令对数的真数等于1,求得x、y的值,可得定点A的坐标,再利用任意角的三角函数的定义求得,再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式,求得的值【详解】对于函数且,令,求得,可得函数的图象恒过点,且点A在角的终边上,则,故选:C【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题,任意角的三角函数的定义,同角三角函
3、数的基本关系、二倍角的正弦公式,属于基础题4. 已知函数f(x)=,数列an满足a1=1,an+1=f(),nN*数列an的通项公式;( )Aan=n+Ban=nCan=n+Dan=n+参考答案:A【考点】数列与函数的综合 【专题】函数的性质及应用;等差数列与等比数列【分析】由函数f(x)的解析式,化简整理可得an+1=an+,由等差数列的通项公式,计算即可得到所求【解答】解:由函数f(x)=,可得an+1=,即为an+1=an+,则数列an为首项为1,公差为的等差数列,即有an=a1+(n1)d=1+(n1)=故选A【点评】本题考查等差数列的定义、通项公式的运用,考查运算求解能力,属于基础题
4、5. 等差数列中的是函数的极值点,则等于A.2B.3C.4D.5参考答案:【知识点】函数在某点取得极值的条件B11A 解析:.因为,是函数的极值点,所以,是方程的两实数根,则.而为等差数列,所以,即,从而,选A.【思路点拨】利用导数即可得出函数的极值点,再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出6. 已知集合A=x|2x27x0,B=x|x3,则集合AB=()A(3,+)B,+)C(,0,+)D(,0(3,+)参考答案:B【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A,找出A与B的交集即可【解答】解:由A中不等式变形得:x(2x7)0,解得:x0或x,即A=(,0,+),B=(3
5、,+),AB=,+),故选:B7. 等差数列中,若,则等于( )A3 B4 C5 D6参考答案:C8. 已知函数,其导函数的图像如图所示,则( ). A. 在上为减函数 B. 在处取极小值 C. 在上为减函数 D. 在处取极大值参考答案:C略9. 一个单位有职工人,其中具有高级职称的人,具有中级职称的人,具有初级职称的人,其余人员人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )12,24,15,9 9,12,12,7 8,15,12,5 8,16,10,6参考答案:D10. 对于函数,若,为某一三角形的三边长,则称为“可构造三角形函
6、数”,已知函数是“可构造三角形函数”,则实数的取值范围是A B C D 参考答案:D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 奇函数满足对任意都有,且,则的值为 .参考答案:略12. 计算:参考答案:略13. 下面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图,则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是 参考答案:答案:1.5 14. 已知等差数列an,Sn是数列an的前n项和,且满足a4=10,S6=S3+39,则数列an的首项a1= ,通项an= 参考答案:1,3n2。考点:等差数列的前n项和 专题:等差数列与等比数列分析:设出等差数列的首项和公差,由已知列方程组求得首项和公差
7、,则答案可求解答:解:设等差数列an的首项为a1,公差为d,由a4=10,S6=S3+39,得,解得an=1+3(n1)=3n2故答案为:1,3n2点评:本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的前n项和,是基础题15. 某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种在点Pk(xk,yk)处,其中x1=1,y1=1,当k2时,T(a)表示非负实数a的整数部分,例如T(2.6)=2,T(0.2)=0。则第2011棵树的种植点的坐标为 。参考答案:(1,403)16. 如上页图,一条螺旋线是用以下方法画成:是边长为1的正三角形,曲线分别以为圆心,为半径画的弧,曲线称为螺旋线
8、旋转一圈然后又以为圆心为半径画弧,这样画到第圈,则所得整条螺旋线的长度_(用表示即可) 参考答案:设第n段弧的弧长为,由弧长公式,可得 数列是以为首项、为公差的等差数列.画到第n圈,有3n段弧, 故所得整条螺旋线的长度 17. 某几何体的三视图如图所示,其正视图是边长为2的正方形,侧视图和俯视图都是等腰直角三角形,则此几何体的体积是 参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)已知函数(I)求函数f(x)的解析式;()设,证明:当a1时对任意的,参考答案:19. 2016年射阳县洋马镇政府决定投资8千万元启动“鹤乡菊海”观
9、光旅游及菊花产业项目规划从2017年起,在相当长的年份里,每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元(含旅游净收入与菊花产业净收入),并预测在相当长的年份里,每年的净收入均为上一年的1.5倍记2016年为第1年,f(n)为第1年至此后第n(nN*)年的累计利润(注:含第n年,累计利润=累计净收入累计投入,单位:千万元),且当f(n)为正值时,认为该项目赢利(1)试求f(n)的表达式;(2)根据预测,该项目将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由(参考数据:()45,ln20.7,ln31.1)参考答案:【考点】数列的应用【分析】(1)由题意知,第1年至此后第n(nN*)年的
10、累计投入为8+2(n1)(千万元),第1年至此后第n(nN*)年的累计净收入为,利用等比数列的求和公式可得f(n)(2)方法一:由f(n+1)f(n)=,利用指数函数的单调性即可得出方法二:设,求导利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【解答】解:(1)由题意知,第1年至此后第n(nN*)年的累计投入为8+2(n1)=2n+6(千万元),第1年至此后第n(nN*)年的累计净收入为=(千万元)所以(千万元)(2)方法一:因为=,所以当n3时,f(n+1)f(n)0,故当n4时,f(n)递减;当n4时,f(n+1)f(n)0,故当n4时,f(n)递增又,所以,该项目将从第8年开始并持续赢利答:
11、该项目将从2023年开始并持续赢利方法二:设,则,令f(x)=0,得,所以x4从而当x1,4)时,f(x)0,f(x)递减;当x(4,+)时,f(x)0,f(x)递增又,所以,该项目将从第8年开始并持续赢利答:该项目将从2023年开始并持续赢利20. 已知抛物线C1:y2=2px(p0)上一点Q(1,a)到焦点的距离为3,(1)求a,p的值;()设P为直线x=1上除(1,),(1,)两点外的任意一点,过P作圆C2:(x2)2+y2=3的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D,试判断A,B,C,D四点纵坐标之积是否为定值?若是,求该定值;若不是,请说明理由参考答案:【考点】抛物线的简单性
12、质【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】()根据抛物线的定义即可得到,求出p=4,从而焦点坐标为(2,0),这便得到,从而可求出a的值;()可设过点P的直线l方程为:yy0=k(x+1),联立抛物线方程消去x便可得到ky28y+8y0+8k=0,可设直线AB,CD的斜率分别为k1,k2,A,B,C,D四点的纵坐标分别为y1,y2,y3,y4,从而可以得到可以求圆心C2到切线l的距离,从而可以得到关于k的一元二次方程,由韦达定理得到k1+k2=y0,这样即可求得y1y2y3y4=64,即得出A,B,C,D四点纵坐标之积为定值【解答】解:()根据抛物线的定义
13、,Q(1,a)到准线x=的距离为3;p=4;抛物线的焦点坐标为(2,0);()设P(1,y0),过点P的直线方程设为l:yy0=k(x+1);由得,ky28y+8y0+8k=0;若直线AB,CD的斜率分别为k1,k2,设A,B,C,D的纵坐标分别为y1,y2,y3,y4;C2到l的距离d=;=;A,B,C,D四点纵坐标之积为定值,且定值为64【点评】考查抛物线的定义,抛物线的标准方程,抛物线的焦点及准线方程,两点间距离公式,直线的点斜式方程,以及韦达定理,圆心到切线距离和圆半径的关系,点到直线的距离公式21. (本小题满分12分)已知函数在处取得极值.() 求;() 设函数,如果在开区间上存在极小值,求实数的取值范围.参考答案:略22. 如图,公园有一块边长为2的等边ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.()设AD=x(x0),ED=y,求用x表示y的函数关系式,并注明函数的定义域;()如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里? 如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应在哪里?请