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1、全国中学数学竞赛（海南赛区）初赛试卷（本试卷共 4 页，满分 120 分，考试时间： 3 月 22 日 8:30 10:30 ）一二三总分题号（ 110）（ 11 18）1920得分一、挑选题（本大题满分50 分，每道题5 分）在以下各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内题号12345678910答案1. 方程11x20210 的根是A. 1B.20211C. -2021D. 202120212. 假如 ab0 ，且 b0 ，那么a 2 与 b2 的关系是A a 2 b2B a2 b 2C a 2 b2D a 2 b23. 如下列图，
2、 图 1 是图 2 中正方体的平面绽开图（两图中的箭头位置和方向是一样的），那么，图 1 中的线段AB在图 2 中的对应线段是A kB hC eD d4. 如图， A、B、C是 O上的三点， OC是 O的半径， ABC=15，那么 OCA的度数是 A 75B72C 70D 65A AB BCO图 1图 2（第 3 题图）（第 4 题图）5. 已知2 a =3， 2b =6， 2c =12，就以下关系正确选项22A 2 abcB 2bacC 2cabD.c2 ab6. 如实数 n 满意 n-2021 + 2021-n =1，就代数式 n-2021 2021-n 的值是A 1B1C 0D. -12
3、7. 已知 ABC是锐角三角形，且A B C，就以下结论中错误选项A A 60B C 60C B 45D B C908. 有 2021 个数排成一行， 其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，如第一个数是1，其次个数是-1 ，就这 2021 个数的和是A -2B -1C0D 29. 0 的半径为15，在 0 内有一点P 到圆心 0 的距离为9，就通过P 点且长度是整数值的弦的条数是A 5B 7C 10D1210. 已知二次函数yax2bxc a0 的图象y如下列图，记p2ab ， qba ，就以下结论正确选项A p q 0B q p 0 C p 0 qD q 0 p二、填空题（本大
4、题满分40 分，每道题5 分）01x（第 10 题图）11.已知 |x |=3 ，y 2 =2，且 xy 0，就x y =.12. 假如实数a, b 互为倒数，那么11.1a 21b213. 口袋里只有红球、绿球和黄球如干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球4 个，绿球 6 个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为率为.2 ，那么，随机从中摸出一个黄球的概514. 如图，在直线yx3 上取一点P ，作 PA x 轴， PB y 轴，垂足分别为A 、 B，如矩形 OAPB的面积为4，就这样的点P 的坐标是.15. 如图， AD是 ABC的角平分线，B=60 , E,F 分别在 AC、AB 上，且
5、 AE=AF， CDE= BAC，那么，图中长度肯定与DE相等的线段共有条 .yAADEFFyx3xoBDCBEC（第 14 题图）（第 15 题图）（第 16 题图）16. 如图，等腰梯形ABCD中， AD/BC， DBC=45，折叠梯形ABCD，使点 B 重合于点D，折痕为 EF，如 AD=2， BC=8，就 tan CDE=.17. 实数x, y 满意2x 26xy20 ，设 wx2y28x ，就 w 的最大值是.18. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（ 10，0）， y点 B 的坐标为（ 8，0），点 C， D 在以 OA 为直径的CD半圆 M 上，且四边形OCDB 是平行四
6、边形，就点C的坐标为.OMBAx（第 18 题图）三、解答题（本大题满分30 分，每道题15 分）19. 某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用了100 元，按该书定价2.8 元出售，很快售完；由于该书畅销，其次次购书时，每本的批发价已比第一次高出0.5 元，共用了 150 元， 所购得书的数量比第一次多10 本； 这批书按原定价售出80%后， 显现滞销，便以 5 折售完剩余的该图书. 试问：这个书店老板其次次售书是赔钱，仍是赚钱？请通过运算说明（只与进价比较，不考虑其它成本）.20. 如图，在Rt ABC 中， C=90 ， AC=3 ， BC=4 ，点 E 在 AC 上（点 E 与
7、 A 、C 都不重合），点 F 在斜边 AB 上（点 F 与 A ， B 都不重合）（1）如 EF 平分 Rt ABC 的周长，设 AE= x ， AEF 的面积为y ，写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出x 的取值范畴；（2）试问：是否存在直线EF 将 RtABC 的周长和面积同时平分，B如存在，求出AE 的长，如不存在，说明理由.FCEA全国中学数学竞赛（海南赛区）初赛试题参考答案一、挑选题： DBCA，B提示：CDADB1D；由 11x20210 ，得1x1,2021x20212B；由 ab 0， b 0 知 a 0 且| a | | b | ，所以 | a | 2 | b | 2
8、 ，即 a 2 b 2 ；3C；将图 1 中的平面图折成正方体4A；延长 CO交于 O 于 D，连结 AD，就 D= B=15，由于 CD为 O 的直径，所以 CAD=90，所cb以在 Rt ACD中 , OCA=90 15=75 .5B；由 2 a =3，2 c =12，得 2 a 2 c =3 12.即 2 a=36=62，而 2=6a a c2b 222 b2bac6 C；设 an2021, b2021n, 就ab1，又 ab 2a22abb 2且a 2b21 1 212ab,2ab0 即ab07D；如 B C 90，就 A90，这与 ABC是锐角三角形冲突，故D 错.8A；先据题意写出
9、前面一些数：1， 1， 2， 1， 1，2， 1， 1，经观看发觉从左向右数 每排列六个数后，从第七个数开头重复显现，即这2021 个数是由1， 1， 2， 1， 1， 2 这 6个数组成的数组重复排列而成，而1 1 2 1 1 2=0，又 2021=33465，这说明，这 2021 个数的和等于最终五个数：1， 1， 2， 1，1 的和 .159D；过 P 点的最长的弦是直径，其长为30，最短的弦长 = 229 2弦长24 ，所以 O中，通过 P 点的L 的取值范畴是24 L30，又 L 为整数，所以L 的值可取 24，25，26，27，28，29，30，又依据圆的对称性知：长度为25， 2
10、6， 27， 28， 29 的弦各有 2 条，故共有12 条.10. B；由图象知 a 0， c =0， ba .b 1，从而 2 a b 0，又 2ab2a ba3a 0，即 2ab二、填空题： 11. 9 或（1，3）提示：112.113.9114.（4，-1 ），（ -1 ，4）15.3 条16.3317.O18.511 9 或 1 ；由条件知 x93 ， y2121；由已知条件知ab =1，所以原式abababab aba 2abb2a bab abbaab1 ababab13. 1 ； 设口袋中有黄球x 个，依题意，得62 ,x5 ，所以 P（摸出 1 个黄球） =51346x5|
11、a | b |415314.（ 4， -1 ），（-1 ，4）；设点 P 的坐标为（a, b ），由题意得分程组解此方程组即可.ba315. 3条；易知 AFD AED，所以 AFD= AED， DE=DF，又 CDE= BAC， C 为公共角，所以 DEC=B=60，所以 AFD= AED=120，所以 BFD=60，又 B=60，所以 BDF 为等边三角形，所以DB=BF=DF=DE.16 3 ；由于折叠后点B 与 D重合，所以 EDB=DBC=45， BED=90，即 DE BC，在等腰梯形5ABCD中， CE= tan CDE= ECDE1 BC235AD 1822，3 DE=BE=8-3=517. O ；由2x26xy20，得2x2y 26 x知x0 ，又y22x26x，22wx2x6 x8xx2xx11，由此可见，当x -1 时， w 随着 x 的增大而22减小，又由于x 0-1,，故当 x =0 时， w 的最大值是0.18. （ 1, 3 ）； 四边形 OCDB是平行四边形，B（8， 0）， CD/OA ，CD=OB=8y过点 M作 MF CD于点 F，就 CF=C1D=4过点 C 作 CE OA于点 E，2F A （ 10， 0）， OE=OM ME=OM CF=54=1.CD.连结 MC，就
