第五章第五章 二次型二次型5.15.1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示5.25.2 标准形标准形5.35.3 唯一性唯一性5. 5.4 4 正定二次型正定二次型章小结与习题章小结与习题一、一、n n元二次型元二次型二、非退化线性替换二、非退化线性替换三、矩阵的合同三、矩阵的合同四、小结四、小结5.15.1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示解析几何中选择适当角度,逆时针旋转坐标轴 (标准方程)中心与坐标原点重合的有心二次曲线 问题的引入问题的引入: :代数观点下作适当的非退化线性替换 只含平方项的多项式二次齐次多项式 (标准形)一、一、n n元二次型元二次型1 1、定义、定义：设P为数域，称为数域P上的一个n元二次型n个文字 的二次齐次多项式注意2) 式 也可写成1) 为了计算和讨论的方便,式中 的系数写成 1） 约定中aij=aji，ij ，由 xixjxjxi，有2 2、二次型的矩阵表示、二次型的矩阵表示 则矩阵A称为二次型 的矩阵.于是有注意:2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具. 若 且 ，则1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即（这表明在选定文字下，二次型 完全由对称矩阵A决定.)例11）实数域R上的2元二次型 3）复数域C上的4元二次型它们的矩阵分别是：2） 实数域R上的3元二次型二、非退化线性替换二、非退化线性替换1 1、定义、定义：是两组文字,，关系式称为由的一个线性替换;若系数行列式|cij|0,则称为非退化线性替换.0它是非退化的.系数行列式 例2 解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度即变换2 2、线性替换的矩阵表示线性替换的矩阵表示则可表示为X=CY若|C| 0，则为非退化线性替换.注 1）或为非退化的 为可逆矩阵 .2）若XCY为非退化线性替换，则有非退化线性替换.即，B为对称矩阵. 3 3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型、二次型经过非退化线性替换仍为二次型 事实上， 是一个 二次型. 三、矩阵的合同三、矩阵的合同1）合同具有对称性：传递性:即C1C2可逆.反身性:注:1 1、定义、定义：设 ，若存在可逆矩阵使 ，则称A与B合同.3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵. 2）合同矩阵具有相同的秩. 2 2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与A与B合同.二次型XAX可经非退化线性替换化为二次型YBY进而，有: C可逆原二次型矩阵是合同的原二次型矩阵是合同的. .例2证明：矩阵A与B合同，其中一个排列.证：作二次型故矩阵A与B合同.对作非退化线性替换则二次型化为（注意 的系数为 ）练习练习 写出下列二次型的矩阵其中答案答案- - 4. 解：四、四、 小结小结 n n元二次型元二次型：非退化线性替换：非退化线性替换：，或X=CY， |C| 0.基本概念矩阵的合同：矩阵的合同：基本结论1、二次型经过非退化线性替换仍为二次型.3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.2、二次型XAX可经非退化线性替换化为二型YBY。