章末整合第二章2021内容索引0102知识网络整合构建题型突破深化提升知识网络整合构建题型突破深化提升题题型一与圆锥圆锥 曲线线有关的轨轨迹问题问题例1已知两同心圆的半径分别为5和4,AB为小圆的直径,求以大圆的切线为准线且过A,B两点的抛物线的焦点的轨迹方程.解 以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系.设大圆的切线为l,抛物线的焦点为F,显然l不与直线AB垂直.过点A,B,O分别作l的垂线,垂足分别为点A1,B1,O1,由抛物线的定义得|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.又由梯形中位线定理得|AA1|+|BB1|=2|OO1|,|AF|+|BF|=2|OO1|=10.点F的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为10的椭圆(不包括左、右顶点).方法技巧解动点轨迹问题的策略和技巧1.解决与圆锥曲线有关的轨迹问题,首先要明确圆锥曲线的性质,做好对图形变化可能性的总体分析,选好相应的解题策略并拟定好具体的解题方法,注意将动点的几何特性用数学语言表达出来.2.要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件,如曲线上点的坐标的取值范围等.变式训练1如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,则动圆P的圆心P的轨迹方程是.解析 由已知,圆E半径为r=2,设圆P的半径为R,则|PF|=|PM|=R,|ME|=r=2,|PE|=|PM|-|ME|=R-2,所以|PF|-|PE|=2.由双曲线的定义知,P的轨迹为双曲线的左支,题题型二圆锥圆锥 曲线线定义义的应应用又|F1F2|=4,在F1PF2中,由余弦定理可求得反思感悟 (1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题,常用定义来解决.(2)涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者,常用定义解决问题.(3)求轨迹问题、最值问题,曲线方程也常常结合定义求解.变式训练2抛物线y2=2px(p0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F是它的焦点,若2|BF|=|AF|+|CF|,则()A.2x2=x1+x3B.2y2=y1+y3C.2x3=x1+x2D.2y3=y1+y2答案 A 解析 如图,过A,B,C分别作准线的垂线,垂足分别为A,B,C,由抛物线定义知,|AF|=|AA|,|BF|=|BB|,|CF|=|CC|.2|BF|=|AF|+|CF|,2|BB|=|AA|+|CC|.题题型三圆锥圆锥 曲线线方程与性质质的应应用 例3如图,椭圆C1,C2与双曲线C3,C4的离心率分别为e1,e2与e3,e4,则e1,e2,e3,e4的大小关系是()A.e2e1e3e4B.e2e1e4e3C.e1e2e3e4D.e1e2e4e3答案 A 1e3e4.因此0e2e11e30)上,则抛物线E的标准方程为.答案 (1)C(2)x2=4y 即bxay=0,由对称性,取切线方程为bx-ay=0,题题型四直线线与圆锥圆锥 曲线线例4已知点A(0,-1),B(0,1),动点P满足 ,记点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)设D为直线y=-2上的动点,过D作C的两条切线,切点分别是E,F,证明:直线EF过定点.(2)证明由题设可设D(t,-2),设过D(t,-2)的抛物线的切线方程为y+2=k(x-t),即y=kx-kt-2,与方程x2=4y联立,消去y得x2-4kx+4(kt+2)=0,由=(-4k)2-42(kt+2)=0,得k2-tk-2=0,方程x2-4kx+4(kt+2)=0的根是x=2k,由k2-tk-2=0,知这个方程有两个不等实根,设为k1,k2,分别为两条切线的斜率,反思感悟 直线与圆锥曲线的综合问题,主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题等,求解这类问题时,通常采用代数方法,将直线方程与圆锥曲线的方程联立,消去其中一个未知量,通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系,同时,还经常利用根与系数的关系,采取“设而不求”的办法求解弦长问题、面积问题.题题型五圆锥圆锥 曲线线中的定点、定值问题值问题例5(2020安徽黄山高考模拟)已知直线l经过椭圆C: =1(abc)的右焦点(1,0),交椭圆C于点A,B,点F为椭圆C的左焦点,ABF的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线m与直线l的倾斜角互补,且交椭圆C于点M,N,|MN|2=4|AB|,求证:直线m与直线l的交点P在定直线上.(2)若直线l的斜率不存在,则直线m的斜率也不存在,这与直线m与直线l相交于点P矛盾,所以直线l的斜率存在.令l:y=k(x-1)(k0),m:y=-k(x+t),A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN).将直线m的方程代入椭圆方程,得(3+4k2)x2+8k2tx+4(k2t2-3)=0,方法技巧圆锥曲线中的定点(值)问题的计算方法(1)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定点(值).探索直线过定点时,可设直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立关于b,k的等量关系进行消元,借助直线系方程找出定点.(2)从特殊情况入手,先探求定点(值),再证明此定点(值)与变量无关.有关斜率的定值问题,包含证明动直线的斜率为定值,不同直线斜率的关方法:设原始量的有关变量,逐步表示出关系式中涉及的斜率,最后进行化简得到一个定值.有关向量的定值问题,包括向量之积为定值,向量之间一些稍微复杂的关系为定值,两直线垂直(可以用向量的数量积为0来证明).方法:设出原始量的变量,逐步表示出向量所涉及的点的坐标,再表示出向量,直接利用坐标关系列式子,最后化简得定值.(当求 ,而A,B,C,D在同一条直线上时,可化为求线段长度之积|AB|CD|的问题,只是要注意正负号即可)方法:设原始量的变量,推出线段的长的表达式(这里常用到“设而不求”法求弦长),然后代入式子化简求得定值.(1)解 设直线l:x=my+1,与y2=2px联立消x,得y2-2pmy-2p=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-2p. =(1+m2)y1y2+m(y1+y2)+1=(1+m2)(-2p)+2pm2+1=-2p+1=-3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明由(1)知M(1,0)是抛物线C的焦点,所以|AB|=x1+x2+p=my1+my2+2+p=4m2+4.题题型六圆锥圆锥 曲线线中参数范围围和最值问题值问题 例6(1)若抛物线x2=2y上距离点A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是()A.a0 B.00,即a1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.综上可知a1.得它的焦点为F(0,1),准线为l:y=-1,延长PM交准线于N,连接PF,根据抛物线的定义,得|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-1=|PA|+|PF|-1,在PAF中,|PA|+|PF|AF|,反思感悟 圆锥曲线中最值与范围的求法有两种:(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值与范围,求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.(1)求满足上述条件的点M(x,y)的轨迹C的方程;(2)设曲线C与直线y=kx+m(k0)相交于不同的两点P,Q,点A(0,-1),当|AP|=|AQ|时,求实数m的取值范围.得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.曲线C与直线y=kx+m(k0)相交于不同的两点,=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)0,即3k2-m2+10.设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点N(x0,y0),本 课 结 束。