专题 9.7 圆锥曲线综合问题【考纲要求】1. 理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想. 了解圆锥曲线的简单应用. 【知识清单】命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 【考点梳理】考点一：圆锥曲线中的定点问题【典例 1】 （2020全国高考真题（理）已知A、B分别为椭圆E：2221xya（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，8AG GB，P为直线x=6 上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D （1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点 . 【答案】（1）2219xy； （2）证明详见解析. 【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)xEyaa可得：,0Aa，,0B a，0,1G,1AGa，, 1GBa218AG GBa，29a椭圆方程为：2219xy（2）证明：设06,Py，则直线AP的方程为：00363yyx，即：039yyx联立直线AP的方程与椭圆方程可得：2201939xyyyx，整理得：2222000969810yxyxy，解得：3x或20203279yxy将20203279yxy代入直线039yyx可得：02069yyy所以点C的坐标为20022003276,99yyyy. 同理可得：点D的坐标为2002200332,11yyyy当203y时，直线CD的方程为：0022200002222000022006291233327331191yyyyyyyxyyyyyy，整理可得：2220000002224200000832338331116 96 3yyyyyyyxxyyyyy整理得：0002220004243323 33 3yyyyxxyyy所以直线CD过定点3,02当203y时，直线CD：32x，直线过点3,02故直线CD过定点3,02【典例 2】 （2019 年高考北京卷理）已知抛物线C：x2=- 2py经过点（ 2，- 1）（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0 的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=- 1 分别交直线OM，ON于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点【答案】（1）抛物线C的方程为24xy，准线方程为1y； （2）见解析 . 【解析】（1）由抛物线2:2C xpy经过点(2,1)，得2p. 所以抛物线C的方程为24xy，其准线方程为1y. （2）抛物线C的焦点为(0,1)F. 设直线l的方程为1(0)ykxk. 由21,4ykxxy得2440 xkx. 设1122,Mx yN xy，则124x x. 直线OM的方程为11yyxx. 令1y，得点A的横坐标11Axxy. 同理得点B的横坐标22Bxxy. 设点(0, )Dn，则1212, 1, 1xxDAnDBnyy，21212(1)x xDA DBny y2122212(1)44x xnxx21216(1)nx x24(1)n. 令0DA DB，即24(1)0n，则1n或3n. 综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,3). 【规律方法】1. 圆锥曲线中定点问题的求解策略圆锥曲线中的定点问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清2. 圆锥曲线中定点问题的两种解法【变式探究】1 （2019北京高考真题（文）已知椭圆2222:1xyCab的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A. （）求椭圆C的方程；（）设O为原点，直线:(1)lykxt t与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若 |OM| |ON|=2 ，求证：直线l经过定点 . 【答案】（）2212xy；（）见解析. 【解析】（）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225；因为椭圆经过点(0,1)A, 所以1b，所以2222abc，故椭圆的方程为2212xy. （）设1122(,),(,)P x yQ xy联立2212(1)xyykxt t得222(1 2)4220kxktxt，21212224220,1212kttxxx xkk，121222()212tyyk xxtk，222212121222()12tky yk x xkt xxtk. 直线111:1yAPyxx，令0y得111xxy，即111xOMy；同理可得221xONy. 因为2OM ON, 所以1212121212211()1xxxxyyy yyy；221121ttt，解之得0t，所以直线方程为ykx ，所以直线l恒过定点(0,0). 2. （2020 届山东省潍坊市高三模拟二）已知P是圆F1： （x+1）2+y216 上任意一点，F2（1，0） ，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x1 上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H（4，0） . 【答案】（1）22143xy（2）证明见解析【解析】（1）由已知 |QF1|+|QF2| |QF1|+|QP| |PF1| 4，所以点Q的轨迹为以为F1，F2焦点，长轴长为4 的椭圆，故 2a4，a 2，c1，b2a2c23 所以曲线C的方程为22143xy（2）由（ 1）可得A（ 2，0） ，B（2，0） ，设点M的坐标为（ 1，m）直线MA的方程为：23myx（）将23myx（）与22143xy联立消去y整理得：（4m2+27）x2+16m2x+16m21080，设点D的坐标为（xD，yD） ，则22161082427Dmxm，故22548427Dmxm，则23623427DDmmyxm（）直线MB的方程为：ym（x2）将ym（x2）与22143xy联立消去y整理得：（4m2+3）x216m2x+16m212 0 设点E的坐标为（xE，yE） ，则221612243Emxm，故228643Emxm，则212243EEmym xm（）HD的斜率为122236645484 42749DDymmkxmmm（）HE的斜率为22221264864 4349EEymmkxmmm（）因为k1k2，所以直线DE经过定点H. 考点二：圆锥曲线中的定值问题【典例 3】 （2020山东海南省高考真题）已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点A（2，1） （1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得 |DQ| 为定值【答案】（1）22163xy； （2）详见解析 . 【解析】 (1)由题意可得：2222232411caababc，解得：2226,3abc，故椭圆方程为：22163xy. (2) 设点1122,Mx yN xy. 因为AMAN，0AM AN，即121222110 xxyy, 当直线 MN 的斜率存在时，设方程为ykxm, 如图 1. 代入椭圆方程消去y并整理得：22212k4260 xkmxm, 2121222426,1212kmmxxx xkk,根据1122,ykxm ykxm, 代入整理可得：221212k1 x2140 xkmkxxm将代入，22222264k121401 212mkmkmkmkk，整理化简得231210kmkm, 2,1A （）不在直线MN上，210km，23101kmk，于是MN的方程为2133yk x，所以直线过定点直线过定点21,33E. 当直线MN的斜率不存在时，可得11,N xy, 如图 2. 代入121222110 xxyy得2212210 xy, 结合2211163xy, 解得1122,3xx舍, 此时直线MN过点21,33E, 由于AE为定值，且ADE为直角三角形，AE为斜边，所以AE中点Q满足QD为定值（AE长度的一半2212142212333）. 由于21,32,13,AE，故由中点坐标公式可得4 1,3 3Q. 故存在点4 1,3 3Q，使得|DQ|为定值 . 【典例 4】 （2020浙江高三月考）已知椭圆2222:1xyCab（）的焦距为，且过点（）求椭圆的方程；（）若点，设为椭圆上位于第三象限内一动点，直线与轴交于点，直线与轴0ab2 3(2,0)AC(0,1)BPCPAyMPBx交于点，求证：四边形的面积为定值，并求出该定值【答案】（）；（）四边形的面积为定值 2；证明见解析 . 【解析】（）由题意，且，求得，所以所以椭圆的方程为；（）设（，） ，则又，所以直线的方程为令，得，从而直线的方程为令，得，从而所以四边形的面积所以四边形的面积为定值 2【规律方法】1. 圆锥曲线中定值问题的特征圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等定值问题的求解与证明类似，在求定值之前，已经知道定值的结果( 题中未告知，可用特殊值探路求之) ，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清，定值显现NABNM2214xyABNMS22 3c2a3c1bC2214xy00,P xy00 x00y220044xy2,0A0,1BPA0022yyxx0 x0022Myyx002112MyBMyxPB0011yyxx0y001Nxxy00221NxANxyABNM220000000000000024448411212212222xyxyx yxySANBMyxx yxy000000004222222x yxyx yxy（）（）ABNMS2. 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略3. 两种解题思路从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；引进变量法：其解题流程为：【变式探究】1. （2020 黑龙江萨尔图 大庆实验中学月考 （文） 已知椭圆222210 xyabab的左右焦点分别是12,F F，122FF，点P为椭圆短轴的端点，且12PF F的面积为3.（1）求椭圆的方程；（2）点31,2B是椭圆上的一点，12,B B是椭圆上的两动点，且直线12,BB BB关于直线1x对称，试证明：直线12B B的斜率为定值.【答案】（1）22143xy； （2）证明见解析.【解析】（1）由已知122FF得1c，又121232PF FSb，3b，1 32a所以椭圆的标准方程为22143xy.（2）已知点31,2B，当直线1BB斜率不存在时显然不满足题意，所以直线1BB斜率存在，设直线1BB：312yk x， 即32ykxk， 由于直线12,BB BB关于直线1x对称，则直线23: y2BBkxk，设111,Bx y，22,B xy联立：2232143ykxkxy得2223443241230kxkk xkk212412343kkxk（方程有一解是1x） ，同理222412343kkxk则2121212133()22ABkxkkxkyykxxxx2212212862214324243kkkkk xxkkxxk所以直线12B B的斜率为定值.2. （2019湖北高三月考）已知椭圆：的左、右焦点，是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且的周长为（1）求椭圆的方程；（2） 设直线是圆：上动点处的切线，与椭圆交与不同的两点，证明：的大小为定值【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】（1）因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所。