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1、高中数学竞赛辅导其次讲映射及映射法学问，方法，技能1. 映射的定义设 A, B 是两个集合,假如依据某种对应法就f,对于集合 A 中的任何一个元素,在集可编辑资料 - - - 欢迎下载合 B 中都有惟一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合A 到集合 B 的映射, 记作f : AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 1）映射是特殊的对应,映射中的集合A ,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合, 这两个集合有先后次序,从A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是截然不同的 .（ 2）原象和象是不能互换的,互换后就不是原先的映射了.（ 3）映射包括集合 A 和集合 B,以及集合 A 到 B 的
2、对应法就 f,三者缺一不行 .（ 4）对于一个从集合 A 到集合 B 的映射来说, A 中的每一个元素必有惟一的,但B 中的每一个元素都不愿定都有原象.如有,也不愿定只有一个.2. 一一映射可编辑资料 - - - 欢迎下载一般地, 设 A ，B 是两个集合,f : AB. 是集合 A 到集合 B 的映射, 假如在这个映射下,可编辑资料 - - - 欢迎下载对于集合 A 中的不同元素,在集合B 中有不同的象,而且B 中每一个元素都有原象,那么个这个映射叫做 A 到 B 上的一一映射 .3. 逆映射f.假如 f 是 A 与 B 之间的一一对应,那么可得B 到 A 的一个映射 g：任给 bB ,规定
3、可编辑资料 - - - 欢迎下载gba ,其中 a 是 b 在 f 下的原象,称这个映射g 是 f 的逆映射,并将g 记为 1可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载是 f.明显有（ f 1） 1= f,即假如 f 是 A 与 B 之间的一一对应,就f1 是 B 与 A 之间的一一对应,并且f1 的逆映射事实上, f 1 是 B 到 A 的映射,对于B 中的不同元素 b1 和 b2,由于它们在 f 下的原象不可编辑资料 - - - 欢迎下载f同,所以 b1 和 b2 在 1 下的像不同,所以f 1 是 1 1 的.可编辑资料 - - - 欢迎下载任给 aA, 设fab
4、,就 f1ba .这说明 A 中每个元素 a 在 f 1 都有原象 .因此, f可编辑资料 - - - 欢迎下载1 是映射上的 .这样即得 f 1 是 B 到 A 上的 1 1 映射,即 f1 是 B 与 A 之间一一对应 .从而 f1 有逆映射可编辑资料 - - - 欢迎下载h : AB. 由于任给 aA,设h ab ,其中 b 是 a 在 f1 下的原象,即f1b=a,所以,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载fa =b,从而映射habf a , 得hf ,这即是 f1 的逆映射是 f.赛题精讲可编辑资料 - - - 欢迎下载关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一
5、,请看下述试题.可编辑资料 - - - 欢迎下载例 1：设集合 M x | 0x 11, xZ,集合F a, b, c, d | a, b, c, dM ,映射 f：F Z. 使得可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载f a, b, c, dabcd.已知u, v, x, yf39, u, y, x, vf66, 求x, y,u, v 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载【思路分析】应从fa, b, c, d abcd 入手,列方程组来解之.可编辑资料 - - - 欢迎下载【略解】由 f 的定义和已知数据,得可编辑资料 - - - 欢
6、迎下载uvxyuyxv39,66u,v, x, yM .可编辑资料 - - - 欢迎下载将两式相加,相减并分别分解因式,得可编辑资料 - - - 欢迎下载 yvux105, yvux27.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载明显, ux0, yv0, 在x, y, u, v x | 0x11, xZ 的条件下, 0uv11,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载105 1y11v22,即10yv22,但 yv |105,可见 yv 115, yv 221,可编辑资料 - - - 欢迎下载对应可知 ux 17,ux 25.可编辑资料 - -
7、- 欢迎下载同理,由 0yv11, 271u11x22知,3ux22又有 ux 13, ux 29.可编辑资料 - - - 欢迎下载对应地, yv 19, yv23. 于是有以下两种可能：可编辑资料 - - - 欢迎下载（）yuxx15,7,（）yuvx21,5,ux9,ux9,yv3;yv3.由（）解出x=1, y=9 , u=8, v=6 .由（）解出 y=12,它已超出集合M 中元素的范畴.因此,（）无解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载【评述】在解此类问题时,估量取值范畴的争辩特别重要.y v,ux, yv,ux 的可能值是关键,其中,对它们的可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资
8、料 - - - 欢迎下载例 2：已知集合 A x, y |3y3x3 和集合x, y | yx0.求一个 A 与 B 的一一对可编辑资料 - - - 欢迎下载应 f,并写出其逆映射 .图 12 1【略解】从已知集合A ,B 看出,它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图 12 1） .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载集合 A 为直线 y3 x和y33x 所夹角内点的集合,集合B 就是第一，三象限内点可编辑资料 - - - 欢迎下载的集合 .所要求的对应实际上可使A 区域拓展成 B 区域,并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合 A 和 B：
9、可编辑资料 - - - 欢迎下载A B 令 f cos cos cos ,sin |,sin |sin0,0,cos ,R,6R ,0sin, 3.23. 在这个映射下, 极径没有改6可编辑资料 - - - 欢迎下载变,辐角之间是一次函数3,因而 和 之间是一一对应,其中2,63可编辑资料 - - - 欢迎下载0,. 所以,映射 f 是 A 与 B 的一一对应 .2逆映射极易写,从略 .【评述】此题中将下角坐标问题化为极坐标问题,颇具特色.应留意懂得把握 .映射法应用映射学问往往能神奇地解决有关集合的一些问题.例 3：设 X=1 ,2, 100 ,对 X 的任一非空子集 M ,M 中的最大数与
10、最小数的和称为M可编辑资料 - - - 欢迎下载的特点,记为mM. 求 X 的全部非空子集的特点的平均数.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载【略解】设 AX ,令f : AA , A101a | aAX.可编辑资料 - - - 欢迎下载于是 f : AA 是 X 的非空子集的全体（子集组成的集）, Y 到 X 自身的满射,记 X 的非空子集为 A1 ,A 2, A n（其中 n=2100 1）,就特点的平均数为可编辑资料 - - - 欢迎下载1nn i 1m Ai 1n2n i 1m Ai m Ai .可编辑资料 - - - 欢迎下载由于 A 中的最大数与A 中的
11、最小数的和为101, A 中最小数与 A 中的最大数的和也可编辑资料 - - - 欢迎下载为 101,故m A m A 202, 从而特点平均数为1202 n101.可编辑资料 - - - 欢迎下载2n可编辑资料 - - - 欢迎下载ii假如 A ,B 都是有限集合, 它们的元素个数分别记为card A,cardB. 对于映射f : AB 来可编辑资料 - - - 欢迎下载说,假如 f 是单射,就有card Acard B .假如 f 是满射,就有card Acard B .如可编辑资料 - - - 欢迎下载果 f 是双射,就有card AcardB .这在运算集合 A 的元素的个数时,有着重要的应用.即可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载当 card A 比较
