留数及其应用摘 要 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．关键词 留数定理；留数计算；应用引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．1. 预备知识孤立奇点1．设在点的某去心邻域内解析，但在点不解析，则称为的孤立奇点.例如，以为孤立奇点.以为奇点，但不是孤立奇点，是支点.以为奇点（又由，得故不是孤立奇点）2．设为的孤立奇点，则在的某去心邻域内，有称为在点的主要部分，称为在点的正则部分，当主要部分为时，称为的可去奇点；当主要部分为有限项时，设为称为的级极点；当主要部分为无限项时，称为本性奇点.2. 留数的概念及留数定理1. 留数的定义设函数以有限点为孤立点，即在点的某个去心邻域内解析，则积分为在点的留数，记为：．2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设是由复周线…所围成的有界连通区域，函数在内解析，在上连续，则．定理1 （留数定理） 设在周线或复周线所范围的区域内，除…外解析，在闭域上除…外连续，则（ “大范围”积分） ． （1）证明 以为心，充分小的正数为半径画圆周（…）使这些圆周及内部均含于，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得，由留数的定义，有．特别地，由定义得 ，代入（1）式得 ．定理2 设为的阶极点，，其中在点解析，，则．这里符号代表，且有．推论3 设为的一阶极点，，则 ．推论4 设为的二阶极点，，则 ．3. 留数的引理引理1 设沿圆弧 (，充分大)上连续，且于上一致成立(即与中的无关)，则．引理2(若尔当引理) 设函数沿半圆周 (，充分大)上连续，且在上一致成立，则．引理3 (1)设为的阶零点，则必为函数的一阶极点，并且；(2)设为的阶极点，则必为函数的一阶极点，并且．3. 留数的计算1. 函数在极点的留数法则1：如果为的简单极点，则 法则2：设，其中在处解析，如果，为的一阶零点，则为的一阶极点，且 . 法则3：如果为的m阶极点，则 .2. 函数在无穷远点的留数定理 1 如果在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）为，则在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则 4： .例 1 求函数在奇点处的留数．解 有两个一阶极点，于是根据（6.5）得 例 2 求函数在奇点处的留数．解 有一个三阶极点，故由（6.7）得4. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．1. 形如型的积分这里表示的有理函数，并且在上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为，这样当作定积分时从经历变到，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。
当满足这两个特点之后，我们可设，则，， 得 ．例1 计算．解 令，则 ．例2 计算．解 ，由于分母有两个根，其中，因此 ．2 . 形如型的积分把握此类积分要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足一下两条才能适用第一：，其中，均为关于的多项式，且分母的次数至少比分子的次数高两次；第二：在半平面上的极点为（＝1，2，3，…，），在实轴上的极点为（＝1，2，3，…，）则有．例3 计算．解 取，孤立点为，其中落在上半平面的为，，故例4 计算．解 由于，且上半平面只有一个极点，因此 ．3 . 形如型的积分1) 留数公式定理2 （若尔当引理）设函数沿半径圆周（）上连续，且在上一致成立，则．证明 ，使当时，有 于是 （2）这里利用了 以及于是由若尔当不等式（）将（2）化为 即 ．2) 举例例5 计算．解 不难验证，函数满足若尔当引理条件．这里，，函数有两个一阶极点及，于是 ．4. 形如和型积分定理3 设，其中和是互质多项式，并且符合条件：（1）的次数比的次数高；（2）在实轴上；（3）．则有 （3）特别地，将（3）式分开实虚部，就可用得到形如及的积分．例6 计算．解 利用以及若尔当引理，且分母在上半圆只有两个孤立奇点和，得到 ．例7 计算（）．解 被积函数为偶函数，所以，设函数关系式为，它共有四个一阶极点，即（）得 （），因为，所以在上半面只有两个一阶极点及，于是 ，故 ．小结:正确的运用留数可以有效的解决一些复杂的定积分问题，留数定理是学习辐角原理的基础，在复变函数的学习中有着重要的作用，是复变函数的基础理论之一.上面举例说明了常见的几种可以用留数定理计算的定积分类型，计算比较简捷，通过上面几例，可以看出实积分中是定积分计算与利用留数定理计算之间既有区别，也有联系．解题时应视具体情况而定，有使用实积分理论计算很困难甚至无法计算时，利用留数定理能收到很好的效果.参 考 文 献［1］钟玉泉.复变函数论［M］高等教育出版社，2004.［2］盖云英.复变函数与积分变换指导［M］科学出版社，2004.［3］王玉玉.复变函数论全程导学及习题全解［M］中国时代经济出版社，2008.［4］王瑞苹.论留数与定积分的关系［J］菏泽学院学报,2005.［5］余家荣. 复变函数论［M］高等教育出版社，2004.［6］李红,谢松发.复变函数与积分变换［M］华中科技大学,2003.。