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1、1997年数学（一）真题解析一、填空题3【答案】 y.3sin x + 2 cos 【解 映(1 + cos x)ln(l +x)3sin z + 工 $ cos 1 x= ln(l + z)3sin 工 + 工 2 cos 1 jC=lim(3 巴三+ zcos2 x-*0 x=vlimZ X-*Ox（2）【答案】（一2,4）.【解】 【解】 因为幕级数工;“a”（z 1）七的收敛半径与的收敛半径相同，” =1 ” = 0所以工皿”（工一1）宀的收敛半径为R = 3,故所求收敛区间为一3 Vz-l V3,即（一2,4）. n = l（3）【答案】y = jc + e2 .【解】【解】对数螺线
2、的参数方程为5=e cos 9 ,=e sin 0.当0 =守时，（工，歹）=（0,e2 ）,2 d=dy/d& djr dx / d0cos 9 + sin 0cos 9 sin 9曲Idz I 0=JL故所求切线的直角坐标方程为y e2 =工，或;y = z+J.（4）【答案】一3.【解】 【解】 方法一 因为BO且AB = O,所以方程组AX = 0有非零解，1 2 -2于是 | A | = 0,而由 A= 4 t 3 =7t + 21 = 0,得 = 3.3 - 1 1方法二 由AB =O得厂(A) +厂()3,再由 BO 得厂(3) $ 1,于是 r(A) 2 3,故 | A | =
3、 0,解得 t = -3.2(5)【答案】百【解】 【解】 令人=第一个人取黄球,A2 = 第一个人取白球,B = 第二个人取黄球,2 3 1Q 90PCAJ = , P(A2) = , P(B | AJ = , P(B | A2) = 49 49则 P(B) = PCAPCB | AJ + P(A2)P(B | A2)2 19 , 3 20 2=X -1 X =:5 49 5 49 5 二、选择题(1)【答案】(C).【解】 【解】 因为lim/Xz 9y) = 工lim f(x =-，所以f(x ,3/)在(0,0)处不连续；Tf 0 Li X-*0 Ly=x1997年全国硕士研究生考试数
4、学（一）真题第 1 页，共 6 页由 lim 了)- )=lim = 0 得 (0,0) = 0,同理 fy (0,0) = 0,o x 0 zo x即y(z,y)在(0,0)处可偏导，应选(C).(2)【答案】(B).【解】 【解】 由/&)J _f (b)dx = f a) = S2 ;再由fS 0得/(x)为凹函数，rt i于是 Si = y：/(a) +/(&)(& -a) = S3 ,即 S2 S, sin(t)dtJ n J 0当 t e 0,7t时,(es,n, -e-sin,)sin t MO,则 FQ) 0, 故F(x)为正常数，应选(A).（4）【答案】（D）.fajX +
5、bxy = Ci ,【解】【解】三条直线交于一点的充分必要条件是方程组a2x+b2y = -c2，有唯一解， L 3- + b3y = -5即 r(A) = r(A)23故ai ,a2,a3线性相关，而a2线性无关，应选（D）.（5）【答案】（D）.【解】 已知D(X) = 4, D(Y) = 2,因为 X,Y 相互独立，所以 D(3X 2Y) = 9D(X) +4D(Y) = 36十8 = 44,应选(D).（1）【解】 【解】 平面曲线$ = 2Z，绕z轴旋转一周形成的曲面为S：2+j；2 = 2z, 1工=0则 Q = Cx ,y ,z) | (乂，)6 D=,0WzW8,其中 D= =
6、 (z,y) Id+yWZz,于是I =jjj (jr2 + y2 )dun8= ds：jj( j; 2 y2 )da: dy = 2k | dz0 D.727r3 dro=2tc z2 dz = J o1 024tt3-0(2)【 【解】解】方法一(x = cos t ,令C Ay = sin t, (起点t = 2兀，终点t = 0)，则n = 2 cos t + sin t1997年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 6 页(n jOdr + (工一N)dy +(H y)dz(2 cos Z) ( sin ) dr + (2cos t 2 sin t) cos dr + (c
7、os t sin E) (sin t + cos t)dt 2k= (3cos2Z sin2Z 2sin t 2cos E)dtJ 2n2n7= 3J cos2 zdz +| sin2 tdt = 12 | cos2 zdz + 4 | 2 sin21 dz0oo= _8xTxT = _27r-方法二设c所在的截口平面块为工，方向向下,取= 1,1, 1,方向余弦为 cos a =-9 cos B = ,cosV3 73(N + (工一z)dy + (a: y)dz =c2+/=-2Ajc dy = 2兀（3）【解】【解】由题意得dz-T- = b 工(N 工)9 dtx (0) = Ho ,
8、II / 1 jr由工(N 乂)= kAt 得 NlnN7 二怂 +C，dxNh严由 乂（0）=冲得 C =亓 InU;，故鼻=N s +.oe-四、（1）【解】 【解】 曲面z = J：2 +y2在点（1, 2,5）的法向量为n =2z ,2y , l（i,-2,5）即平面7T的法向量为” =2,-4,-1,则平面7T的方程为=2, 4 ? 1,兀：2(无一1) 4(y + 2) (n 5) = 0, B 卩 兀：2工4：y z 5 = 0. 直线L的方向向量为$ = 1,1,0 X 1 1=因为L在平面7T上，所以m s = 0,解得a = 5.z + v + 6 = 0, f v = t
9、 b得 代入平面TT得b = 2,jc 53/ 一 z 一 3 = 0 + 56 一 3 ,艮卩 q = 5,5 = 2.【解】【解】0,即工(-1)为正项级数，5+1 n = l 卄 1 /而 0 W 玉一1 = Q仕 a” -a+1 , a ”+i a ”+i级数另 a Q”+1)展开得 S =(5 如)+(。2 03)+ +(S Q”+1)= 2 a”+i ,因为limS” = 2lima卄i存在9所以级数工(Q” 一a卄i)收敛9 ” f8 ”fO ” =由比较审敛法得级数工;(d_l)收敛.,q “丄 1 /七、(1)【解】 【解】 因为r(B) = 2 11，y?=253,、3,【
10、解】【解】(I解得QA 21 -2(n ) | AE - A I =(A + 1)0得入=入2-5入 + 3 33入 3 =，10 A +2-3101-E-A =-5211101 o00因为r(-E-A) = 2,所以A不可相似对角化.八、(1) 【证明】 【证明】 显然 B=E(J,j)A 且 |E(i,j)| = 1. 因为A可逆，所以|A |工0,于是| B | = | A | # 0,故B可逆.(2) 【解】【解】AB 1 = AAE(i,jrl = E(i,j)7 =k-1九、【解】【解】显然X B 3,即PX = e = G_3223k5M = 0 91,2,3当工 V0 时，F(
11、z) = P X = 0JC 1 时，FQ) = PX 27h = PX = 0=JC 2 时，F(z) = PX O 1=PX = O+PX = 1 = IZoJC 3 时，F&) = PX 117= PX = 0 +PX = 1 +PX = 2=IZo当工 $ 3 时，F(h) = 1,27125O 1即FQ)亠质，117125 ?、1，E(X) = np =丄5当0W当W当2 wh V 0,0 W 工 VI,1 G V 2,2 工 V 3,工M 3.1997年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 6 页fl fl 0 + 1十、【解】E(X) = x f (jc)dx = (0
12、 + 1) x +1 dx = tr ,J 0 Jo &十/ 0 + 1 亠 2X 1由E(X) = X,即厂J = X,解得0的矩估计量为0 = ；0+2 1-X似然函数为L(0) = fS ；0”(工2；0)/(6；0)=(0 + 1)(工1工2工”)&，其中0Vz V 1 z = 1,2,皿，In L () = nln(0 + 1)+0 工 In x, t= i由 盘In L(0) = 7-7 + = 0,得 & = 1- - -,d 十 1 ： = In 工；i = i- T1故0的最大似然估计量为0 = -1-Sin X,1 = 11997年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6 页，共 6 页
