王道考研系列： 2001 年-2010 年考研数学（数学一）真题2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题 (1-8 小题 ,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中 ,只有一项符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内 .)- 26 -(1) 极限limxx2x=( x a)( x b)(A) 1 (B) e(C)ea b(D)eb a【考点分析】：考察 1 ∞型不定性极限求解过程】：方法一 ：利用求幂指型极限的一般方法：I = limx→∞= limx→∞归结为求x 2 x[ ( x-a )( x+b ) ]x 2ex ln ( x-a ) (x+b)x2w limxxln( x a)( x b)x2limxx ln 1 1( x a)( x b)x2(x(aa )( xb)xb)ab( xa)( xb)lim x 1xlim xxa b因 此 ， I = ea-b ， 选 C【基础回顾】 ：对于一般的幂指型极限有：limf (x) g( x )limeg (x )lnf (x )elim g( x )lnf ( x )方法二 ：利用第二个重要极限求解x xx2 x2I lim lim 1 1xlim 1xea b(x a)( x b)x( a b) x ab( x a)( x b)xxlime( x a)( x b)( a b) x ab x ( x a)( x b)【基础回顾】：一般地，对于 1 ∞型极限，均可利用第二个重要极限求解：设 limf ( x) 1， limg(x) ，则limf (x) g (x )lim 1g( x )f ( x) 1elim( f ( x) 1) g( x)(2) 设 函数z z( x,y) 由 方 程y zF ( , ) 0 确定 , 其 中x xF 为 可微 函数 , 且F2 0, 则x z y z =x y(A) x(C) x(B) z(D) z【考点分析】：隐函数求导【求解过程】：方法一 ：全微分法方 程 F (y z, ) 0 两边求全微分得： x xy z ，即 xdy ydx xdz zdxF1 d ( ) F2 d ( ) 0 F1 2F2 2 0x x x x整理得dz yF1 xF2zF2 dxF1 dy F2z所以，yF1zF2 ， zF1 。
代入即可求得 x z y zz 选 B.x xF2y F2 x y方法二 ：隐函数求导公式法记 G( x, y, z)F y , z，对于隐函数G( x, y, z) 0 ,利用隐函数求导公式得：x xF1z G Gy2 F2xzx2 yF1 zF2，x x zz G GF 12 xF 11 x F1xF2y y z1 F2F2x代入即可求得 x z y zz x y方法三 ：复合函数求导法由方程 Fy , z0 可确定z z( x, y)方程 Fy , z0 两边分别对 x,y 求偏导，x x x x注意 z z( x, y)由复合函数求导法则：对 x 求偏导 : F (y ) Fz 1 z 0221 2x x x x对 y 求偏导： F 1 F 1 z 01 2x x y解得：z yF1zF2z F1x xF2 y F2代入即可求得 x z y zz x y【方法总结】：上述三种方法是求解此类问题的三种典型方法要熟悉隐函数求导公式和复合函数的求导法则，复合函数求导容易出错，注意多加练习3) 设 m, n 为正整数 ,则反常积分1 m ln 2 (1x) dx 的收敛性0 n x(A) 仅与m 取值有关 (B) 仅与n 取值有关(C)与 m, n 取值都有关 (D) 与 m, n 取值都无关【考点分析】：反常积分的判敛法则，超纲题【基础回顾】：利用反常积分的判敛法则b对瑕点为 x b 的瑕积分m敛准则：f ( x)dx ，设af (x) 在a,b) 上连续，且f ( x) 0，有如下判① 若 lim(x bb x)f ( x)k,0 k,0 m1,则bf (x)dx 收敛；a② 若 lim( b x)m fx b【求解过程】：( x)k,0 k, m 1,则bf (x)dx 发散。
a因 为 limm ln 2 (1 x)，所以 x=1 为瑕点x 1 n x2m ln 2 (1 x) xm 2 1 2 1而 lim lim lim x m n ， 所以 x=0 是否为瑕点取决于是否为x 0 n xx 0 1 x 0 m nxn负数1 m ln 2 (1 x)1 m ln 2 (1 x)1 m ln 2 (1 x)I dx 2 dx 1 dx0 n x0 n x2 n x1仅当 2m ln 2 (1x) dx 与1 m ln 2 (11x) dx都收敛， I 收敛，否则 I 发散0 n x 2 n x21 m ln 2 (1x)dx 的敛散性0 n x① x 0 时 ，m ln 2 (12x) ~ xm ，1 m ln 2 (1x) dx 与212 1 dx 敛散性相同，0 n x0 1 2xn m因为 m,n 均为正整数， 所以 1 212<1,所以 21 dx 收敛，1 m ln 2 (1x) dx 也收敛n m 01 2xn m0 n x② x 0时， m ln 2 (12x) ~ xm ，1 m ln 2 (1x) dx 与1 2 122 xm n dx 敛散性相同。
因为m,n 是正整数，所以2 1>-1,m n0 n x 0若 2 1m n<0,则 x=0 为瑕点，一定存在常数 p 满足 0 2 1m np 1 ，使得2limm ln 2 (1 x)xpp 2 1lim x m n0 ，于是1 m ln 2 (1x) dx 收敛x 0 n x x 02 10 n x1 m ln 2 (1 x)当 0 时，x=0 不是瑕点， 2m n 0dx 不是反常积分， 它存在是一个常数n x1 m ln 2 (11x) dx 的敛散性2 n x1 m ln 2 (1 x)1m(1 x)2 ln 2 (1 x)因 为 lim(1x)2 mlim 0x 1 n x x 1 1而 0 1 1 ，所以1 m ln 2 (11x) dx 收敛2m所以，选 D2 n x【自我总结】：若反常积分的结果能够通过计算获得，那么其敛散性可直接由计算获知若反常积分无法计算， 那么其敛散性应由判别法获得 本题属于由判别法获知反常积分的敛散性n n(4) limn2 2 =xi 1 j1 ( n i )( n j )(A)1 xdx0 0 (11x)(12 dyy )(B)1 xdx0 0 (11 dyx)(1 y)1 1 1 1 1 1(C)dx0 0 (1dyx)(1 y)(D)dx0 0 (1x)(1y2 ) dy【考点分析】：考察利用积分定义求极限【思路来源】：把和式化成二重积分定义的形式求解，把和式化成定积分定义的形式求解【求解过程】：n n n n n 1 1j 1n limn i 1( n i )(n2 j 2 )limn i 1 j 1i j 2 n2(1 )(1 )n n方法一：化成两个定积分定义式的乘积n limn 1 1 n 1 12n i 1 n 1i j 1 j nn 1 n， 选 D1 1 dx 11 dy 1 dx 11 dy0 1 x0 1 y20 0 (1x)(1y2 )方法二：化成二重积分定义式的形式记 D 是正方形区域： ( x, y)}| 0x 1,0y 1 ，f (x, y)1(1 x)(1y2 )将 D 的长与宽均 n 等分，分成 n2 个小正方形，每个小正方形面积是D 上的一个积分和。
1 ，于是n 2n 是 f(x,y) 在f ( x,y)dxdydxdy1 dx 1 1dy ， 选 DnD D (1x)(1y2 )0 0 (1x)(1y2 )(5) 设 A 为m n 型矩阵, B 为n m 型矩阵 ,若AB E, 则(A) 秩 (A )m, 秩 (B) m(B) 秩 ( A )m, 秩 ( B) n(C) 秩 (A )n, 秩 (B) m(D)。