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1、方程 x22 xyy2学习必备欢迎下载2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法xy60是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2 的整式方程 ,这样的方程叫做二元二次方程其中22x , 2xy , y 叫做这个方程的 二次项 , x , y 叫做一次项 ,6 叫做常数项 我们看下面的两个方程组：x24 y2x3y10,2xy10;x2y2x25 xy20,6 y20.第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，其次个方程组是由两个二元二次方程组成的， 像这样的方程组叫做二元二次方程组下面我们主要来争论由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法一个
2、二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解 例 1解方程组x24y2x2y40,20.分析： 二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟识的形式留意到方程是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟识的问题 解： 由 ,得x 2y 2， 把代入 ,整理,得8y28y 0，即 yy 1 0解得 y1 0， y2 1把 y1 0 代入 , 得 x1 2； 把 y2 1 代入 , 得 x2 0 所以原方程组的解是x12,y10，x20,y21.说明 ：在解类似于本例
3、的二元二次方程组时，通常采纳本例所介绍的代入消元法来求解 例 2解方程组xy7,xy解法一： 由，得12.解法二： 对这个方程组， 也可以依据一元二次方程的x7y.根与系数的关系，把x, y 看作一个一元二次方程的两个把代入，整理，得根，通过解这个一元二次方程来求x, y 解这个方程，得2y7 y120这个方程组的x, y 是一元二次方程2y13, y24 z7 z的两个根，解这个方程，得120把 y13 代入，得x14 ；z所以原方程组的解是3 ，或 z4 把 y24 代入，得x23 x4,x3,所以原方程的解是练习x14,y13，x23,y24.1y13;2y24.学习必备欢迎下载1. 以
4、下各组中的值是不是方程组x2y213,的解 .xxy52,x3,x1,x2,（ 1）y（ 2）3;y（ 3）2;y（ 4）4;y3;2. 解以下方程组 :yx5,xy3,（ 1）x2y2x2y2625;1,（ 2）xyy210;2x,（ 3）54yx3;（ 4）x2y28.2.3.2 一元二次不等式解法二次函数 y x2x6 的对应值表与图象如下：x32101234y6046 6406由对应值表及函数图象 如图 2.3 1可知当 x 2，或 x 3 时， y0，即 x2x6 0； 当 x 2，或 x 3 时， y0，即 x2x6 0； 当 2 x 3 时， y0，即 x2x60这就是说，假如抛
5、物线 y= x2 x6 与 x 轴的交点是 2，0与3，0，那么一元二次方程x2 x60的解就是x1 2，x2 3；同样，结合抛物线与 x 轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2 x60的解是x 2，或 x3；一元二次不等式x2 x 6 0的解是 2 x 3上例说明：由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集那么，怎样解一元二次不等式ax2 bx c0 a0呢 ？我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y ax2 bx ca0的图象来解一元二次不等式ax2 bx c0 a0为了便利起见，我们先来争论二次项系数a 0 时的一元二次不等式的解 我们知
6、道，对于一元二次方程ax2 bx c 0a 0，设 b2 4ac，它的解的情形依据 0， =0， 0 分别为以下三种情形 有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y ax2 bx c（ a 0）与 x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点如图 2.3 2 所示 ，因此，我们可以分以下三种情形争论对应的一元二次不等式ax2 bx c0（ a 0）与 ax2 bx c 0（ a 0）的解（ 1）当 0 时，抛物线 y ax2 bx c（ a 0）与 x 轴有两个公共点 x1， 0和 x2， 0，方程 ax2 bx c 0 有两个不相等的实数根x1 和 x2x1 x
7、2，由图 2.3 2可知不等式 ax2 bxc 0 的解为x x1，或 x x2； 不等式 ax2 bxc 0 的解为x1 x x2（2）当 0 时，抛物线 y ax2 bx c（a 0）与 x 轴有且仅有一个公共点，方程ax2 bx c 0 有两个相等的实数根 x1x2 b2a，由图 2.3 2可知不等式 ax2 bxc 0 的解为b x 2a ；不等式 ax2 bxc 0 无解（ 3）假如 0，抛物线 y ax2 bx c（a 0）与 x 轴没有公共点，方程ax2 bx c0 没有实数根 ，由图 2.32可知不等式 ax2 bxc 0 的解为一切实数； 不等式 ax2 bxc 0 无解今后
8、，我们在解一元二次不等式时，假如二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；假如二次项系数小 于零，就可以先在不等式两边同乘以1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式例 3解不等式：（1） x2 2x 30；（ 2） xx2 6 0；（3） 4x2 4x 10；（ 4） x2 6x 90；（5） 4 x x2 0解：（ 1） 0，方程 x2 2x3 0 的解是x1 3， x2 1不等式的解为3x1（2）整理，得x2 x6 0原不等式的解为x3（5） 整理，得x2x4 0 0，所以，原不等式的解为一切实数 0，方程 x2x6=0 的解为x1 2， x2 3所以，原不等
9、式的解为x 2，或 x 3（3） 整理，得2x 12 0.由于上式对任意实数 x 都成立，原不等式的解为一切实数（4） 整理，得x32 0.由于当 x 3 时，x 320 成立；而对任意的实数 x， x320 都不成立，例 4已知不等式 ax2bxc0 a0 的解是 x2, 或 x3 求不等式2bxaxc0 的解解： 由不等式 ax2bxc0a0 的解为 x2, 或 x3 ，可知a0 ，且方程ax2bxc0 的两根分别为 2 和 3，b5 ,c6 ，aa即b5 ,c6 aa由于 a0，所以不等式bx 2axc0 可变为b x2xc0，aa即 5 x2整理，得x60 ,25 xx60 ,所以，不
10、等式bx2axc0 的解是6x 1，或 x 5 说明： 本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题2例 5解关于 x 的一元二次不等式xax10 a 为实数 .分析 对于一元二次不等式 ,按其一般解题步骤 ,第一应当将二次项系数变成正数 ,此题已满意这一要求 ,欲求一元二次不等式的解 ,要争论根的判别式 的符号 ,而这里的 是关于未知系数的代数式 , 的符号取决于未知系数的取值范畴，因此 ,再依据解题的需要 ,对 的符号进行分类争论 .22解:a4 ,当0,即a2或a2时, 方程 xax10 的解是22xaa4 , xaa4 .1222aa24aa24所以 ,原不等式的解集为x, 或 x；
11、22当 0，即 a 2 时，原不等式的解为a x 2 ；当0,即2a2时,原不等式的解为一切实数 .综上 ,当 a2，或 a2时，原不等式的解是aa24aa24x,或 x；22当2a2时,原不等式的解 为一切实数例 6已知函数 y x2 2ax 1a 为常数 在 2x1上的最小值为 n，试将 n 用 a 表示出来分析： 由该函数的图象可知， 该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类争论解： y xa2 1 a2，抛物线 y x2 2ax 1 的对称轴方程是 x a（ 1）如 2a1，由图 2.3-3 可知 ,当 x a 时，该函数取最小值 n 1 a2；2如 a -2 时, 由图 2.3-3可知 , 当 x -2 时，该函数取最小值n 4a+5 ；2如 a 1 时, 由图 2.3-3可知 , 当 x 1 时，该函数取最小值n -2a+2.综上 ,函数的最小值为 3.3.1三个二次的关系及一元二次不等式的解一、学问回忆：1、形如ax 2 +bx+c0 （或 0）（其中 a0 ）的不等式称为关于x 的一元二次不等式 .2、二次方程、二次函数、二次不等式的关系：2设 f x= ax + bx+ c
