第三章 多维随机变量及其分布一、填空题０１ 1.〔1994年数学一〕设互相独立的两个随机变量具有同一分布律，且的分布律为那么随机变量的分布律为 .【解题分析】首先要根据的定义确定的取值范围,然后求取值的概率即可.解: 由于仅取0、1两个数值，故也仅取0和1两个数值，因互相独立，故 的分布律为０１2．〔2003年数学一〕设二维随机变量的概率密度为 那么= .【解题分析】利用求解.解: 如图10-5所示 图10-5． 二、选择题1.(1990年数学三)设随机变量和互相独立,其概率分布律为－１１－１１那么以下式子正确的选项是〔 〕．． ．． ．【解题分析】乍看似乎答案是,理由是和同分布,但这是错误的,因为,假设,说明取什么值时, 也一定取一样的值,而这是不可能的,所以只能从剩下的三个答案中选一个,这时只要直接计算即可.解: 由和互相独立知所以,正确答案是.2.(1999年数学三)设随机变量,且满足那么等于〔 〕．．0； ．； ．； ．1.【解题分析】此题应从所给条件出发,找出随机变量的结合分布. －1０１－１０１解: 设随机变量的结合分布为 由 知 从而有 ,类似地 进一步可知 即 因此有正确答案是.3.(1999年数学四)假设随机变量服从指数分布,那么随机变量的分布函数〔 〕．．是连续函数； ．至少有两个连续点；．是阶梯函数； ．恰好有一个连续点.【解题分析】从公式出发求解即可.解: 由题设令那么于是的分布函数为可见其仅有一个连续点正确答案是.4.(2002年数学四)设和是任意两个互相独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为和,分布函数分别为和,那么．必为某一随机变量的分布密度； ．必为某一随机变量的分布函数； ．必为某一随机变量的分布函数； .必为某一随机变量的分布密度．解: 由于假设随机变量与互相独立，它们的分布函数分别为与，那么的分布函数为，可知必为某一随机变量的分布函数.应选择.注：此题与2002年高数一中的选择题类同.此题也可以用赋值法求解.三、计算与证明题1.(1994年数学三)假设随机变量互相独立,且同分布,求行列式的概率分布.【解题分析】由阶行列式表示,仍是一随机变量,且,由于独立同分布, 故与也是独立同分布的,因此可先求出和的分布律,再求的分布律.解: 记,,那么.随机变量和独立同分布: ..随机变量有三个可能值-1,0,1.易见于是．2．(2003年数学三)设随机变量与独立,其中的概率分布律为,而的分布密度为,求随机变量的分布密度.【解题分析】此题是求随机变量函数的分布,这里的两随机变量一个是离散型,一个是连续型,我们仍然从求分布函数出发,根据的不同取值,利用全概率公式来求解.解: 设为分布函数,那么由全概率公式及与的独立性可知,的分布函数为 ,由此得 3.(2006年数学四) 设二维随机变量的概率分布律为X Y-101-1a00.200.1b0.2100.1c其中为常数,且的数学期望,,记.求(1) 的值;(2)的概率分布;(3)【解题分析】要求的值，只需要找到三个含有的等式即可，这可以由分布函数的性质及题设中所给的两个条件得到；求的概率分布，首先要弄清楚的可能取值，由的取值可知，的可能取值为-2，-1，0，1，2，然后再求取值的概率；要求，只需要转化为求关于的概率，由，既可得出结论. 解: (1)由概率分布的性质知,,即 ．由 ,可得 ．再由，得 .解以上关于的三个方程得 .(2) 的可能取值为-2，-1，0，1，2,，，，．即的概率分布律为-2-10120.20.10.30.30.1(3) =.4.(1987年数学一)设随机变量互相独立,其概率密度函数分别为 求的概率密度函数.【解题分析】此类问题,一般有两种解法:一种是先写出二维随机变量()的结合概率分布密度函数,再计算的概率分布密度函数,另一种是直接利用两独立随机变量和的分布密度计算公式(即卷积公式)求解.解: 方法１ 由于随机变量互相独立,所以二维随机变量()的概率分布密度函数为因此,随机变量的分布函数为所以,随机变量的分布密度函数为方法２ 由于随机变量互相独立,所以,由卷积公式知,随机变量的密度函数为==5.(1999年数学四)设二维随机变量()在矩形上服从均匀分布,试求边长为和的矩形面积的概率分布密度函数.【解题分析】由题设容易得出随机变量()的分布密度,此题相当于求随机变量的函数的分布密度.可先求出其分布函数,再求导得分布密度.在求分布函数时,一定要注意对的取值范围进展讨论.解: 由于二维随机变量()服从均匀分布,所以,它的概率分布密度函数为设为的分布函数,那么当时, 当时, 如今，设如图10-6所示, 曲线与矩形的上边交于点； 图10-6位于曲线上方的点满足,位于下方的点满足,于是于是, 6.(2001年数学一)设某班车起点站上车人数服从参数为的泊松分布,每位乘客中途下车的概率为,且中途下车与否互相独立.以表示在中途下车的人数,求：〔1〕在发车时有个乘客的条件下，中途有人下车的概率；〔2〕二维随机变量的概率分布.【解题分析】显然，第一问求的是条件概率, 发车时有个乘客, 中途有人下车的概率,为重伯努利概型,可以依此求解.其次，要求二维随机变量的概率分布,首先确定的取值,然后按乘法公式求解.解: (1)设事件{发车时有个乘客},{中途有个人下车},那么在发车时有个乘客的条件下,中途有个人下车的概率是一个条件概率,即根据重伯努利概型,有，其中.(2)由于而上车人数服从,因此 于是的概率分布律为其中.7.(2001年数学三)设随机变量和的结合分布在正方形(如图10-7)上服从均匀分布,试求随机变量的概率分布密度函数图10-7【解题分析】此题主要考察随机变量函数的分布,可从分布函数出发求解.但是,这里要注意的是随机变量函数带有绝对值.解: 由条件知和结合密度为 以表示随机变量的分布函数,显然,当时, ；当时，.设那么,于是,随机变量的分布密度为8.(2002年数学三、四)假设一设备开机后无故障工作的时间服从指数分布，平均无故障工作的时间〔〕为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间的分布函数【解题分析】此题主要考察随机变量函数的分布.首先要找到与的关系,然后分情况进展讨论.解: 设的分布参数为,由于可见.显然,.对于对于设有=于是，的分布函数为求随机变量函数的分布,是概率论中考试的重点,对于求连续型随机变量函数的分布密度,一般从求分布函数出发,结合图形对自变量的取值范围进展讨论,求出分布函数,然后求导即得分布密度.。