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1、浅析如何在初中数学教学中渗透分类思想普洱市景谷县景谷二中段仕成摘 要数学活动中分类是一种很重要的思想，其思想贯穿 于整个初中数学教材的结构体系中，在初中数学教学中逐步渗透分类 的数学思想方法，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养 学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又可提升学生研究问题， 探索规律的能力。关键词初中数学教学渗透分类讨论数学思想“朋友来了有好酒，若是敌人来了迎接他的有猎枪”。这句歌词 不仅表达了中华儿女爱憎分明的品质，同时也体现了中国人有着分类 解决问题的传统，分类讨论是人们常用的重要思想方法，无论是在生 产活动、科学实验中，还是在日常的生活中，都常常需要用到它。分类讨
2、论思想，贯穿于整个初中数学教材的结构体系中。初中数 学中的分类讨论思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同 点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重耍的数学 思想,又是一种重要的数学逻辑方法。随着课程改革的深入，“应试 教育”向“素质教育”转变的过程中，对学生不仅考查基础知识，基 本技能，更重视对学生能力的考查。在初中数学教学中逐步渗透数学 思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课 程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化，分类的过程，可培 养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又可提升学生研究问题, 探索规律的能力
3、。例1: 一张桌子有四只角，砍掉一只角后，还剩几只角？在小学数学课中，数学老师会问学生上述这个问题，当有的同学 冋答有3只角时，老师会说“错了”，而当有的同学冋答有5只角时, 老师则会称赞他“聪明”。实际上，砍去一只角后可能出现多种情况，我们需分门别类，一 一展示，再讨论得结果：图1图2图3（1）砍下去的那条边不经过桌面（矩形）顶点，那么还剩下4-14-2=5只角（如图1月示）；（2）砍下去的那条边经过桌面的一个顶点，那么还剩下4-1+1=4只角（如图2麻）;（3）当砍下去的那条边经过桌面的两个顶点，那么还剩下4-1=3只角（如图3）o分类思想不象般数学知识那样，通过儿节课的教学就可掌握， 它
4、要根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认知水平和知识特 点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。所以我们在初中 数学教学的过程中要不失时机地渗透其思想，让学生在数学学习过程 中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的 主动应用。如何在初中数学教学中渗透分类思想，可从以下几个方面 入手。一、挖掘教材，培养学生分类的数学思想每个学生在日常生活中都具有一定的分类知识，如班级的分类、 性别的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认知基础，把生活 中的分类迁移到数学学习中来，在教学中进行数学分类思想的渗透， 挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义, 不等
5、式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。又如，两个有理数 的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和 零、负数和负数儿类情况來比较，而负数和负数的大小比较是新的知 识点，这就突出了学习的重点。结合教学过程，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成 数学学习中的分类的意识，并能在分类讨论的时候注意一些基本原 则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂， 标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负 数、整数，就是犯分类标准不一的错误。二、掌握方法，培养学生思维的严密性在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适 当的标准，根据对象的
6、属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后 对每一子类的问题加以讨论解答。掌握合理的分类方法，就成为解决 问题的关键所在。分类的方法常有以下儿种：（一）根据概念分类有些数学概念是分类定义的，如实数分类：常分为正数、负数、 零；角的分类：锐角、角直、钝角；三角形的分类：锐角三角形、 直角三角形、钝角三角形；等腰三角形分类边与角的分类：边分为 腰与底；角分为顶角与底角；四边形分类；代数式的分类；方程的 分类；函数的分类等。所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。 有些数学概念在下定义吋已经对所考虑的对象的范围作了限制（如二 次方程，耍求二次项系数不为零），当解题过程的变换需耍突破这些 限制时，就必
7、须分类讨论。例2：已知等腰三角形的两边长分别为5cm与6cm,则其周长 为多少？分析：因为等腰三角形的边有两类，已知等腰三角形的两边长没 有明确给出腰与底，故分两类讨论。由三角形三边关系进行判定两类 情况都可构成三角形。所以有：（1）当腰为5cm时，那么底为6cm,则等腰三角形的周长为16cm ；（2）当腰为6cm时，那么底为5cm,则等腰三角形的周长为 17cm o（二）根据数学运算的适用范围分类有些数学运算的进行需要一定的条件，如零不能作除数，不等式 两边同乘以或除以（0除外）某数时必须考虑正负等，若在运算中要 突破该运算的限制条件，就要进行分类讨论。例3、解不等式(a+l)xa2 -1如
8、果不加区分，得xa- 1,那就不对了，因为既可以a+l0, 或a+l=O,也可以a+1 0 即 a-l 时，则 x(a2-l)/(a+l)=a - 1当a+l=O即a= -1时，原不等式为0 x0,故不等式无解当 a+l0 即 a-l 时,则 x-l, a = -l, a-l,分别处理，才获得 正确的解。(%1) 根据图形的位置变化关系而进彳亍分类讨论有些儿何问题，因图形的位置不能确定或形状不能确定，就必须 分类全面讨论。如点与直线位置关系、直线与直线的位置关系、点与 圆的的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、圆周 角、弦切角的证明、三角形相似中对应顶点的对应性的讨论等。例4：已知
9、半径为a的两圆外切，半径为2a且和这两圆都相切的 圆共有()个。此题在解题时耍考虑各种可能的情况。和这两个圆同时相切的圆 可分为以下三类：同吋外切(有2个)；同吋内切(有1个)；以及一 个内切一个外切(有2个)。故共有满足条件的圆共有5个。如在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内 部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。（如上图）先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况, 然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条 边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的 外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分
10、类讨论 的思想和方法。它是根据儿何图形点和线出现不同位置的情况逐一解 决的方法。教材中在证明弦切角定理：（弦切角等于它所夹的弧所对 的圆周角。）时，也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内 部、弦切角的外部三种不同情况解决的。三、引导分类，培养学生合理解题的能力一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类： 其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别 在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据儿何图形的点和线出 现不同位置的情况，逐讨论解决问题。例5、已知函救y= （ml） x? + （m-2） x1 （m是实数）。如果 函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值。分析
11、：这里从函数分类的角度讨论，分m1=0和nHHO两 种情况来研究解决问题。解：当m=l时函数就是一个一次函数y=x1,它与x轴只有一个交点（I, 0）o当mHl时，函数就是一个二次函数y= (ml) x + (m2) x 1 当厶= (m2) +4 (ml) =0,得 m=0 抛物线y= -x22x1,的顶点(一1, 0)在x轴上。当此函数的图象和x轴只有一个交点时，m=0或m=lo例6、平面上A、B两点到直线k距离分别是2-巧与2 +爺，则 线段中点C到直线k的距离是()。分析：点A、点B与直线k的位置关系有两种情形：A、B点在直线k的同侧或异侧。解：I)如图，当点A、B两点在直线k的同侧时
12、，设AM丄k 于 M, BN 丄 k 于 N,且 AM=2-V3, BM=2 + V, C 是 AB 的中点,CP丄k于P,则CP是梯形AMNB的中位线。CP =AM + BN2=2II)如图，当A、B两点在直线k的异侧时，过B作BR丄AM的延长线交于R,延长PC交BR于Q,则AMCQBNoAC = BC, RQ = BQ, .PQ = BN= 2 +能,-AR = -(AM + BN) = 2r-CQ=2 2,CP=PQ-CQ=3线段中点C到直线k的距离是2或巧。由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论中
13、，可以激发学生学习数学的兴趣。数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，教师在制订 教学目的、采用教学方法时，利用现有教材，着意渗透并力求帮助学 生初步掌握分类的思想方法，根据初中学生的特点，循序渐近、逐步 深化的原则采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的 教学，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用, 给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在 认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。参考文献：1J全日制义务教育课程标准（实验稿）。北京师范大学岀 版社2 初中生学习法与能力培养任勇3 数学思想和数学方法。蔡上鹤4J义务教育课程标准实验教科书（7一 年级）。人民教 育出版社生活数学社会一初中数学应用问题集
