第三节 体积分布图示旋转体举例★ 圆锥 ★ 圆柱 ★ 旋转体★ 旋转体的体积 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 平行截面面积为已知的立体的体积 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-3★ 返回内容要点 一、旋转体的体积体积微元, 旋转体的体积 二、平行截面面积为已知的立体的体积体积微元 所求立体的体积 例题选讲旋转体的体积例1 (E01) 连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形. 将它绕轴旋转构成一个半径为高为的圆锥体，计算圆锥体的体积.解 体积微元:所求体积:例2 (E02) 计算由椭圆围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转椭球体的体积.解 如图(见系统演示)，该旋转体可视为由上半椭圆及轴所围成的图形绕轴旋转而成的立体 .取为自变量，其变化区间为任取其上一区间微元相应于该区间微元的小薄片的体积，近似等于底半径为高为的扁圆柱体的体积，即体积微元故所求旋转椭球体的体积为特别地，当时，可得半径为的球体的体积例3 求星行线 绕轴旋构成旋转体的体积.解 体积微元 :所求体积:例4 计算由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体的体积.解 体积微元:所求体积:例5 (E03) 求曲线,所围成的图形绕轴旋转构成旋转体的体积.解 体积微元:所求体积:例6 (E04) 求由曲线及所围成的图形绕直线旋转构成旋转体的体积.解 体积微元:所求体积: 平行截面面积为已知的立体的体积例7 (E05) 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角（图6-3-9），计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解 截面面积:体积微元: 所求体积:例8 (E06) 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.解 取底圆所在的平面为平面，圆心为原点,并使轴与正劈锥的顶平行.底圆的方程为 过轴上的点作垂直于轴的平面,截正劈锥体得等腰三角形.这截面的面积为于是所求正劈锥体的体积为即正劈锥体的体积等于同底同高的圆柱体体积的一半.课堂练习1. 求由曲线 所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积. 2. 求由曲线与直线及所围成的图形绕旋转一周所生成的旋转体的体积.。