§2.4 singularly solution singularly solution§2.4 奇奇 解解/Singularly solution/ 常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution2.4 奇解奇解包络和奇解包络和奇解克莱罗方程（克莱罗方程（Clairant EquationClairant Equation））本节要求：本节要求：Ø1 了解奇解的意义；Ø2 掌握求奇解的方法主要内容主要内容常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution利用通解和特解可以构造解：利用通解和特解可以构造解：从图形可以看到，有无数从图形可以看到，有无数条积分曲线过初始点条积分曲线过初始点解：解： 容易看到容易看到 y y=0=0是解，并且满足给定的初始条件是解，并且满足给定的初始条件例例例例1 1得通解得通解由由常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solutionxy常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution定义定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的则称此解为微分方程的奇解奇解。
奇解对应的积奇解对应的积分曲线称为分曲线称为奇积分曲线奇积分曲线 常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution一一 包络和奇解的定义包络和奇解的定义曲线族的包络：曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切奇解：奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解奇解 注注：奇解上每一点都有方程的另一解存在常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution例 单参数曲线族R是常数，c是参数xyo显然，是曲线族 的包络 一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的。
常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution注:并不是每个曲线族都有包络.例如: 单参数曲线族:(其中c为参数)表示一族同心圆. 如图从图形可见, 此曲线族没有包络.常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution 二、不存在奇解的判别法二、不存在奇解的判别法•假设方程(1.9)的右端函数在区域上有定义，如果在D D上连续且在D D上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从而在D D内一定不存在奇解有定义的区域D D内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解• 如果存在唯一性定理条件不是在整个常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution定理2.6 方程(1.9)的积分曲线族(C)的包络线L是(1.9)的奇积分曲线证明：证明： 应用定理应用定理2.1积分曲线与线素场的积分曲线与线素场的关系的充要条件关系的充要条件常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution三三 求奇解（包络线）的方法求奇解（包络线）的方法l C-判别曲线法判别曲线法l P-判别曲线法判别曲线法设一阶方程的通积分为1 C-判别曲线法判别曲线法结论结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组消去 C 而得到的曲线中。
常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution设由能确定出曲线为则对参数 C 求导数从而得到恒等式常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution当至少有一个不为零时有或这表明曲线 L 在其上每一点 (x(C), y(C) ) 处均与曲线族中对应于C的曲线 相切注意：注意： C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution例例1 求直线族的包络，这里 是参数，p 是常数解：解：对参数 求导数联立相加，得，经检验，其是所求包络线xyop常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution例例2 求直线族的包络，这里 c 是参数解：解：对参数 c 求导数联立得从 得到从 得到因此， C-判别曲线中包括了两条曲线，易检验， 是所求包络线。
常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solutionxyo常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution2 p-判别曲线判别曲线结论结论：方程 的奇解包含在下列方程组消去 p 而得到的曲线中注意：注意： p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution例例3 求方程的奇解解：解： 从消去 p，得到 p-判别曲线经检验，它们是方程的奇解因为易求得原方程的通解为而 是方程的解，且正好是通解的包络常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution例例4 求方程的奇解解：解： 从消去 p，得到 p-判别曲线经检验， 不是方程的解，故此方程没有奇解。
注意：注意： 以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判判别曲线和别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验判别曲线是不是奇解，必需进行检验常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution 3 克莱罗方程克莱罗方程形式其中是 p 的连续函数解法解法通解奇解常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution结果果:Clairaut方程的通解是一直线族,此直线族的包络或是Clairaut方程的奇积分曲线, 所对应的解是奇解.常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution例例5 求解方程解：解： 这是克莱罗方程，因而其通解为消去 c，得到奇解从常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solutionxyO如图:此方程的通解是直线族:而奇解是通解的包络:常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution例例6 求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2。
解解 设要求的曲线为过曲线任上一点 的切线方程为其与坐标轴的交点为切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积为常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution这是克莱罗方程，因而其通解为消去 c，得到奇解从这是等腰双曲线，显然它就是满足要求的曲线常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution直线族及其包络线常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution利用利用Maple可以得到这个方程的解曲线如下可以得到这个方程的解曲线如下:注意注意:y=3x和和y=-3x是非常特殊的解是非常特殊的解,其它解与这两条直线相切其它解与这两条直线相切.restart: with(plots): for j from -5 to -1 do plot(j*x^2/2+9/2/j,x=-3..3,y=-10..10):y[j]:=%:end do:for j from 1 to 5 do plot(j*x^2/2+9/2/j,x=-3..3,y=-10..10):y[j]:=%:end do:plot(3*x, x=-3..3,y=-10..10, color=black):yy:=%:plot(-3*x, x=-3..3,y=-10..10, color=black):yyy:=%:display(y[1],y[2],y[3],y[4],y[5],y[-1],y[-2],y[-3],y[-4],y[-5],yy,yyy);常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution本节要点本节要点： 1.奇解的定义。
2.不存在奇解的判别方法 （1）全平面上解唯一 （2）不满足解唯一的区域上没有方程的解 3.求奇解的包络线求法 满足C—判别式 在非蜕化条件下，从C —判别式解出的曲线常微分方程 奇解与包络 §2.4 singularly solution singularly solution课堂练习：课堂练习：1 求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴的两截距之和等于常数 a 2 求解方程，并划出积分曲线图作业：作业：P109 1(2)，，2. 常微分方程 奇解与包络 。