6.1.4数项级数判敛法一、正项级数及其判敛法 级数，，称为正项级数 ∵，∴是一个单调增加的数列若有界，则必存在，从而收敛反之，若收敛，则，必有界定理3 正项级数收敛它的部分和数列有界例1．试判定正项级数的收敛性解：， 即有界，故正项级数收敛定理4（比较判别法）设有两个正项级数和，且（1）若收敛，则也收敛； （2）若发散，则也发散证：（1）设收敛，则由定理3可知，其部分和数列有界， 即存在，使得 ∵，故的部分和， ∴ 有界，故收敛2）用反证法若收敛，则由（1）知收敛，这与发散 矛盾，故发散 注意到级数的每一项同乘不为零的常数，以及去掉级数前面部分的有限项不会改变级数的敛散性，可得如下推论：推论：设和都是正项级数，若存在常数，，使当时恒有成立，则由收敛收敛；由发散发散例2．判别级数（）的敛散性解：∵， ∴ ∵级数是公比为的等比级数，收敛的，∴级数收敛例3．讨论级数的敛散性，其中解：（1）当时，，而发散，故发散2）当时，对于，有，可得，知部分和 故有界，从而收敛 级数用比较审敛法判定正项级数的敛散性时，常用等比级数和级数作为比较级数例4．判定级数的敛散性 （1） 解：∵，∴， 而是公比为的收敛的等比级数，∴收敛。
2） 解：∵，（）而，是去 掉首项的调和级数，发散的， ∴ 定理4，（极限形式的比较判别法） 设和均为正项级数，且，则 （1）当时，与具有相同的敛散性； （2）当，且收敛时，也收敛； （3）当时且发散时，也发散证明：（1）∵， ∴对， ， 时，有 ，即， 从而，由比较判别法可知结论成立 （2）∵， ∴对，， 时，有，， 由比较判别法可知收敛时，也收敛 （3）∵，∴，由反证法及（2）即知结论成立 极限形式的比较判别法在两个正项级数的通项均趋向于零的情况下，其实是比较两个正项级数的通项作为无穷小量的阶它表明：当时，如果是比高阶或是与同阶的无穷小，而级数收敛，则级数收敛；如果是比低阶或是与同阶的无穷小，而级数发散，则级数发散例5．判别下列正项级数的敛散性（1） 解：对级数的通项作先分析： 当时，～，从而与等价 ∵，而发散，∴发散2） 解：对通项作先分析：当时，～，～， 从而与同阶∵， 而收敛，∴收敛3） 解：∵，而发散，∴发散定理5（比值判别法） 设为正项级数，若＝，则（1）当< 1时，收敛；（2）当> 1（或）时，发散；（3）当＝1时，可能收敛也可能发散。
证：（1）当时， 取，使得而对此给定的，必， 当时，恒有 故得， ，（）， 即， ， …… ， …… 因此正项级数 的各项小于收敛的等比级数 的对应项 故由比较判别法和级数性质3可知，级数收敛2）当时，取，使得而对此， ，当，有， 故得， ， 即当时，后项总比前项大，这表明，故由级数收敛的必要条件可知，发散 类似地，可以证明当时，发散3）当，正项级数可能收敛也可能发散，此结论从级数就可看出因为若是级数，则对，都有 ，但当，；当，例6．判定下列正项级数的敛散性1）； 解：∵， ∴级数收敛2）； 解：∵＝，∴级数发散解：，∵， ∴原级数收敛例7．讨论级数的收敛性 ∵， ∴当，即时，级数收敛；当，即时，级数发散； 当时，比值法失效但因为数列是一个单调递增而有上界的数列，即 ，因此对于任意有限的，总有 ， 于是可知，级数的后项总是大于前项，故，所以级数也发散 例7说明，虽然定理3对于情形，不能判定级数的敛散性，但若能确定在的过程中，总是从大于1的方向趋向于1，则也可判定级数是发散的。
凡是用比值审敛法判定的发散级数，都必有定理6（根值判别法） 设为正项级数，且，则 （1）当，收敛； （2）当（或）时，发散 （3）当，不能判别例8．判别下列级数的敛散性1）；解：∵，∴发散2）解：∵， ∴当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，根值法失效 但∵，∴当时，级数发散3）解：∵，∴收敛 可以证明，凡是能用比值判别法判定其敛散性的级数必能用根值判别法判别其敛散性，反之未必 例如：不存在，可见比值判别法失效 定理7（积分判别法）123设（1），且单调递减； （2），则反常积分收敛或发散时，正项级数也随之收敛或发散证明：曲线与直线，所围成的面积 ， ， ， 故有， 由此得①， ②，；若例9．判别下列级数的敛散性1）； （2）解：（1），取，则在上非负，连续，单减 ∵ ∴，当时发散；当时收敛2），取，则在上非负，连 续，单减 ∵， ∴收敛，从而收敛。