分维（Fractal Dimension）,讲授：王庆丰 2004.04.15,一、引言 二、分维的概念 1. 整数维（拓扑维或传统的维数 ） 2. 分数维 3. 分数维的性质 三、分维的应用,一、引言 1919年，豪斯道夫 Hausdorff (1868-1942) 将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限 1967年，曼德布罗特（B.B.Mandelbort, 1924- ） 英国的海岸线有多长？统计自相似与分数维数 建立了“分形几何”二、分维的概念 1. 整数维（拓扑维或传统的维数 ） a. 点 零维 b. 线 一维 c. 面 二维 d. 体 三维,,让我们对维数有更多的理解：,,,,自相似几何体线度的2倍所得复制个数 = 2d 其实， 自相似几何体线度的 倍所得复制个数 = d 其中: d 是几何体的维数 是复制个数,让我们看下面的两个图形： a. 谢尔平斯基缕垫或海绵 3 = 2d d=log3/log2 ?,,,b. 科赫曲线 4 = 3d d=log4/log3 ?,此外，维数和测量有着密切的关系： 一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是 0，因为直线中不包含平面。
那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值呢？ 看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为 1(大于0、小于2) 对于我们上面提到的科赫曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是 0(此曲线中不包含平面)那么只有找一个与科赫曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于 1、小于 2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维！,2. 分数维 现在我们从测量的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数即： 如果某图形是由把原图缩小为1/的相似的个图形所组成，有：= D D即维数 D = log/log 其中： 为线度的放大倍数 为“体积”的放大倍数,D = log/log 由于这样定义的维数D是一个分式所得出的比值，因此人们称之为分数维 易见，这样定义的维数包括规整的对象（线、面、体）的整数维 D线=log2/log2=1 D面=log4/log2=2 D体=log8/log2=3,谢尔平斯基垫片或海绵的维数： d=log3/log2 =1.58 科赫曲线的维数： d=log4/log3 =1.26 象相对论发展了传统力学一样，分维是对传统维数概念的进一步发展！,,准确的说，我们把上面定义的分数维称为相似性维数。
相似性维数通常被定义为具有严格自相似性的维数 还有其他一些方法定义的维数，如容量维数、豪斯道夫维数、信息维数、关联维数等柯尔莫戈洛夫(Kolmogorov)曾给分维这样定义： 对于d 维空间中的一个小集合E，我们可以用一些直径r的d 维小球去覆盖它，如果完全覆盖所需的小球数目的最小值为N(r) , 则该子集的柯尔莫戈洛夫容量维为： 或 一般地，我们就把这样定义的容量维叫做豪斯道夫维数，把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形，把此时的D 值称为该分形的分形维数，简称分维也有人把该维数称为分数维3. 分数维的性质 a. 分数维一定大于拓扑维而小于它的所占的空间维；,b. 分数维数值D的大小是分形对象复杂程度的一个度量，数值越大分形对象越复杂； 我们来看三种人造海岸线，它们的形式一个比一个复杂,三种海岸线起点与终点间直线距离均为1于是计算出的维数分别是：,c. 对于各种分形来说，即使在不同的尺度上，用分维表示的不规整程度却是一个常量 如下面的科赫曲线，设两端点的距离为 1 ， 当尺子取: r=1/3 , N=4 D=log4/log3=1.26 r=1/9 , N=16 D=log16/log9=1.26,三、分维的应用 伴随着分形理论的发展，分维也在越来越多的领域得到更广泛的应用。
它涉及到：农业、林业、医学、材料、经济、图形学,。