基础--综合--能力--创新《定积分的概念与微积分基本定理》知识点总结一.定积分的概念:㈠定积分的背景:1.求曲边梯形的面积:区别“曲边梯形”与“直边梯形”:前者有一边是曲线段;后者所有的边都是直线段采用“分割,近似代替,求和,取极限”的步骤和办法,求出其面积2.求变速直线运动的路程:3.连续函数的概念:一般地,若函数在某个区间上的图象是一条连续不断的曲线,则称它是区间上的连续函数㈡定积分的概念:若函数在区间上连续,用分点把区间 等分成个小区间,在每个小区间上取任一点作和式(其中为小区间长度),当即时,和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数在区间上的定积分,记作即这里,与分别叫做积分下限与积分上限,区间叫做积分区间,函数叫做被积函数,叫做积分变量,叫做被积式㈢定积分的几何意义:若函数在区间上连续且恒有时,定积分的几何意义是:它表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积㈣定积分的性质:①（k为常数）;②;③(其中㈤难点及疑惑点:1.定积分与曲边梯形的面积的关系:定积分的概念是从曲边梯形面积引入的,但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积.这要结合具体图形来:设阴影部分面积为S.(1)S＝ʃf(x)dx; (2)S＝－ʃf(x)dx；(3)S＝ʃf(x)dx－ʃf(x)dx; (4)S＝ʃf(x)dx－ʃg(x)dx＝ʃ[f(x)－g(x)]dx.2.定积分ʃf(x)dx的实质:(1)当f(x)在区间[a，b]上大于0时，ʃf(x)dx表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积。
这也是定积分的几何意义2)当f(x)在区间[a，b]上小于0时,ʃf(x)dx表示上述面积的相反数3)当f(x)在区间[a，b]上有正有负时,ʃf(x)dx表示介于x＝a，x＝b (a≠b)之间x轴上、下相应的曲边梯形的面积的代数和.二.微积分基本定理:㈠微积分基本定理:若函数是区间上的连续函数,并且,那么: 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式常把记为即注意: 利用微积分基本定理(即牛顿—莱布尼茨公式)求定积分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的原函数F(x)，即找被积函数f(x)的原函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出原函数F(x).㈡定积分的简单应用:1.定积分在几何中的应用:求曲边梯形的面积由三条直线,轴及一条曲线围成的曲边梯的面积1)若图形由曲线(不妨设),及直线围成,那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝2.定积分在物理中的应用:①求变速直线运动的路程（为速度函数）②求变力所做的功 三.附录:㈠积分的概念:①积分值仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的字母无关。
即②定义中区间的分法和的取法都是任意的③在定积分的定义中,限定下限小于限,即,为了方便计算,可以把定积分的概念扩大,使下限不一定小于上限,并规定:、㈡定积分的几何意义:在区间上,若既可取正值又可取负值时,曲线的某些部分在轴上方,而其他部分在轴下方,如果我们将在轴上方的面积赋予正值,在轴上方的面积赋予负值,那么在一般情形下,定积分的几何意义是曲线以及直线、与轴所围成的曲边梯形的面积的代数和;例:计算下列定积分:⑴ ⑵㈢基本积分公式:① ② ③④ ⑤ ⑥⑦㈣定积的应用:①平面图形的面积:如果平面图形由连续曲线、,与直线、所围成,那么这块图形的面积为:② 由曲线以及两条直线、和轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周面成的旋转体的体积分式为:㈤高中阶段基本积分表-汇总:4。