第3章 离散傅里叶变换(DFT),卢光跃 教授 通信与信息工程学院 gylu@,3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例,第3章 离散傅里叶变换(DFT),第三章 学习目标,理解Fourier变换的几种形式； 理解离散傅里叶变换及性质，掌握循环移位、循环共轭对称性，掌握 循环卷积、线性卷积及二者之间的关系； 掌握频域采样理论； 理解频谱分析过程连续《===》非周期 离散《===》周期,四种傅里叶变换形式的归纳,DFT即DFS只不过时、频域各取一个主值而已,§3.1 离散傅里叶变换的定义,一. DFT的定义 1. 周期延拓（以N为周期）,用((n))N表示（n mod N），其数学上就是表示“n对N取余数”， 或称“n对N取模值” 令,0≤n1≤N-1, m为整数,则n1为n对N的余数例如: 是周期为N=8的序列，则有：,2. 取主值,主值区间的范围,频域,3. DFT定义式,,时、频域各取一个主值区间,,,DFS,DFT,旋转因子的正交性,例：x(n)=R4(n) ，求x(n)的4点、8点和16点DFT 解：设变换区间N=8，则,设变换区间N=16， 则,,思考： 其4点的DFT结果？,X(ejw)=DTFT[R4(n)],,,讨论： N为DFT变换区间长度，即周期延拓的周期、频域的采样点数； 同一序列，N不同，DFT不同； 通过后补零使N增大，谱线变密——高密度谱,二. DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：,比较上面二式可得关系式,表明 是Z平面单位圆上幅角为 的 点，也即： 将Z平面单位圆N等分后的第k点，所以X(k)也就是对X(z)在Z平面单位圆上N点等间隔采样值。
DFT与序列傅里叶变换的关系为,DFT的物理意义——X(k)可以看作序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间［0, 2π）上的N点等间隔采样，其采样间隔为ωN=2π/NDFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系,第一采样点在正实轴上,,三. DFT的隐含周期性 DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期均为N 对任意整数m，总有,,,,,三. DFT的隐含周期性 DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期均为N 对任意整数m，总有,,1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT运算，即将它看做是周期为N的周期序列,已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，令 ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系例题：,,解：,DFT与DFS的关系：有限长度序列的DFT正好是其周期延拓序列的DFS级数系数的主值序列！,§3.2 离散傅里叶变换的基本性质,一. 线性性质 x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数，即N≥max［N1, N2］，则y(n)的N 点DFT为： （补零问题！） Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
线性性质的验证,已知x(n)是长度为N的有限长度序列，其N点DFT为X(k)=DFT[x(n)]，在序列前部补N个0值，得到序列 试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系思考题：,二. 循环移位 1. 定义 一个长度为N的有限长序列x(n)的循环移位定义为,y(n)=x((n+m))NRN(n) ：仍为长度为N的序列！,,,循环移位过程示意图,,移出主值区间的序列值又依次从另一侧移入主值区间,,,,,,,,,,1,2,3,4,5,n=0,N=6,左移顺时针转 如： x(n+2) 右移逆时针转 如：x(n-2),,,从时间起点开始，逆时针读取数据,2. 时域循环移位定理 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)循环移位，即,则循环移位后的DFT为,证：利用周期序列的移位性质加以证明,可直接按IDFT{Y(k)}证明,再利用DFS和DFT关系,这表明，有限长序列的循环移位在离散频域中引入一个和频率成正比的线性相移 ，而对频谱的幅度没有影响——幅度谱的平移不变性已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，在序列前部补N个0值，得到序列 试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
思考题：,3. 频域循环移位定理——调制特性 对于频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在一个N等分的圆周上，所以对于X(k)的循环移位，利用频域与时域的对偶关系，可以证明以下性质：,这就是调制特性——时域序列的调制等效于频域的循环移位序列反转,,,序列共轭,序列共轭反转,序列反转,四. 循环卷积 1、时域循环卷积定理 有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2， N=max［N1,N2］x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为： X1(k)=DFT［x1(n)］，X2(k)=DFT［x2(n)］ 若Y(k)=X1(k)·X2(k)，则y(n)=IDFT[Y(k)] ？,,,,,与教材上不同,循环卷积结果仍为有限长序列！ 注意：循环卷积的长度！,计算步骤： 将x2(m)周期化，形成x2((m))N； 再反转形成x2((-m))N，取主值序列则得到 x2((-m))NRN(m)，通常称之为x2(m)的循环反转； 对x2(m)的循环反转序列循环右移n，形成 x2((n-m))NRN(m)； 当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相乘，并在m=0到N-1区间内求和，便得到其循环卷积y(n)。
n,,~,,,,,,,0,N-1,n,两个长度 小于等于N的 序列的N点 循环卷积 长度仍为N， 与线性卷积 不同,N=6,,例题：,4 3 2 1,2 8 6 4 6 3 12 9 12 8 4 16,,,,,不进位乘法！,思考：若两序列作N=5点循环卷积，结果如何？,若两序列作N=5点循环卷积，结果如上！,2、频域循环卷积定理,x1(n)，x2(n)皆为N点有限长序列，y(n)的N点DFT为,时域序列相乘，乘积的DFT等于各个DFT的循环卷积再乘以1/NN,,,,),(,),(,1,),(,)),((,),(,1,),(,)),((,),(,1,)],(,[,),(,2,1,1,1,0,2,2,1,0,1,k,X,k,X,N,k,R,l,k,X,l,X,N,k,R,l,k,X,l,X,N,n,y,DFT,k,Y,N,N,N,l,N,N,N,l,=,-,=,-,=,=,å,å,-,=,-,=,证明：对Y(k)两边取IDFT、利用调制定理即可！,1、有限长共轭对称与共轭反对称 设有限长序列x(n)的长度为N点，则它的有限长共轭对称分量xep(n)和有限长共轭反对称分量xop(n)分别被重新定义为:,三. 有限长共轭对称性,关于N/2点的对称性,共轭对称性的基本概念,N为偶数 n=N/2-n,xep(n),N=8,,x(n)=xep(n)+xop(n) 0≤n≤N-1,x*(N-n)=xep*(N-n)+xop*(N-n) = xep(n)-xop(n) 0≤n≤N-1,复序列对称性分析,,,,序列,DFT,复序列对称性分析,,,,序列,DFT,实序列对称性分析,,,,序列,DFT,为零,为零,实序列的频谱具有有限长共轭对称性,实偶序列对称性分析,序列,为零,为零,于是：,DFT：,,实偶序列的频谱具有偶实对称性,,,为零,实奇序列对称性分析,序列,为零,为零,于是：,DFT：,,实奇序列的频谱具有纯虚奇函数,,,N=9,,,,,应用举例：,(,),(,),。
五. DFT形式下的帕塞伐定理,证：,令x(n)=y(n),例题：,设实序列x(n)，N=14，其14点DFT为X(k)，已知前8点值为： X(0)=12 X(1)=-1+3j X(2)=3+4j X(3)=1-5j X(4)=-2+2j X(5)=6+3j X(6)=-2-3j X(7)=10 试确定1）X(k)在其他频率点的值； 2）不通过计算IDFT[X(k)]，确定下列值： x(0) x(7),X(0), X(1), X(2), ……, X(N-1),,§3.3 频率域采样,是否任意一个频率特性（例如，理想低通特性）都能用频域采样的办法去逼近呢？ 其限制条件是什么？ 频域采样后会带来什么样的误差？在什么条件下才能消除误差？,一、频域采样,一个任意的绝对可和的非周期序列x(n)，其Z变换为：,对X(z)在单位圆上进行N点等间隔采样：,,分析：,有限长度序列 任意长度序列,由 得到的周期序列 是原非周期序列x(n)的周期延拓，其时域周期为频域采样点数N 时域采样造成频域的周期延拓，频域采样同样会造成时域的周期延拓。
x(n)为无限长序列 时域周期延拓必会混叠失真，产生误差； 当n增加时信号衰减得越快，或频域采样越密（即采样点数N越大），则误差越小，即xN(n)越接近x(n)； x(n)为有限长序列，长度为M： N≥M，不混叠，可无失真恢复； NM，混叠，不可无失真恢复讨论：,N=M=5,不混叠,,,,N=8M，不混叠,N=3M，混叠,,,,,,其值为1,x(n)=xN(n),,,,,讨论：z=exp(j2pikm/N),,第k个内插函数的零极点,零极点对消,恢复时，第k个采样点值仅由自己决定，不受其他采样点值影响用频域采样X(k)表示X(ejw)的内插公式,,,,内插函数：,内插函数幅度特性与相位特性(N=5),,|Φ1(w-2π/N)|,当变量ω=0 时， Φ(ω)=1； 当 （i=1, 2, …, N-1)时， Φ(ω)=0 因而可知， 满足以下关系：,k=0, 1, …, N-1,也就是说，函数 在本采样点 ， 而在其他采样点 上，函数 整个X(ejω)就是由N个 函数分别乘上X(k)后求和。
所以很明显，在每个采样点上X(ejω)就精确地等于X(k)（因为其他点的插值函数在这一点上的值为零，没有影响）即,各采样点之间的X(ejω)值由各采样点的加权插值函数 在所求ω点上的值的叠加得到的 频率采样理论为FIR滤波器的结构设计，以及FIR滤波器传递函数的逼近提供了又一个有力的工具 ,对时域序列x(n)，X(z)是按z的幂级数（即罗朗级数）展开的， x(n)为罗朗级数的系数； 对频域序列X(k)，X(z)是按函数集展开的， X(k)为展开系数；,对时域序列x(n)，频响X(ejw) 展成负正弦级数（傅立叶级数）， x(n)为负正弦级数的谐波系数； 对频域序列X(k)，频响X(ejw) 展成内插函数的级数， X(k)为展开系数；,§3.4 DFT的应用举例,DFT在数字通信、语言信号处理、图像处理、功率谱估计、仿真、系统分析、雷达理论、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用 对时域连续信号的频谱进行分析——计算信号各个频率分量的幅值、相位和功率（功率谱具有突出主频率特性，在分析带有噪声干扰的信号时。