2024全国高考甲卷文科数学 (1)

绝密 ⋆ 启用前2024 年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围: 陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项:1. 答题前, 务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2. 答选择题时, 必须使用 2 B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦擦干净后, 再选涂其它答案标号.3. 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔, 将答案书写在答题卡规定的位置上.4. 所有题目必须在答题卡上作答, 在试题卷上答题无效.5. 考试结束后, 只将答题卡交回.一、选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.集合 A={1,2,3,4,5,9},B={x∣x+1∈A}, 则 A∩B=( )(A) {1,2,3,4}(B) {1,2,3,4}(C) {1,2,3,4}(D) {1,2,3,4}【参考答案】A【详细解析】因为 A={1,2,3,4,5,9},B={x∣x+1∈A}={0,1,2,3,4,8}, 所以 A ∩B={1,2,3,4}, 故选(A).2. 设 z=2i, 则 z⋅z=( )(A) 2(B) 2(C) 2(D) 2【参考答案】D【详细解析】因为 z=2i, 所以 z⋅z=2, 故选(D).3.若实数 x,y 满足约束条件(略), 则 z=x-5y 的最小值为 ( )(A)5(B) 12(C) -2(D) -72【参考答案】D【详细解析】将约束条件两两联立可得 3 个交点: (0,-1)、32,1 和 3,12, 经检验都符合约束条件. 代入目标函数可得: zmin=-72, 故选(D).4.等差数列 an 的前 n 项和为 Sn, 若 S9=1,a3+a7=( )(A) -2(B) 73(C) 1(D) 29【参考答案】D【详细解析】令 d=0, 则 S9=9an=1,an=19,a3+a7=29, 故选(D).5.甲、乙、丙、丁四人排成一列, 丙不在排头, 且甲或乙在排尾的概率是( ）(A) 14(B) 13(C) 12(D) 23【详细解析】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有 24 种可能. 丙不在排头, 且甲或乙在排尾的共有 8 种可能, P=824=13, 故选(B).6. 已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为 F1(0, 4)、 F2(0,-4), 且经过点 P(-6,4), 则双曲线 C 的离心率是 ( )(A) 135(B) 137(C) 2(D) 3【参考答案】C【详细解析】 e= c=F1F2a=2, 故选(C).7.曲线 f(x)=x6+3x 在 (0,-1) 处的切线与坐标轴围成的面积为 ((A) 1(B) 32(C) 12(D) 32【参考答案】A【详细解析】因为 y'=6x5+3, 所以 k=3,y=3x-1,S=12×13×1=16, 故选(A).8.函数 f(x)=-x2+ex-e-xsin⁡x 的大致图像为 ( )【参考答案】B【详细解析】选(B). 9.已知 cos⁡αcos⁡α-sin⁡α=13, 则 tan⁡α+π4=( )(A) 3(B) 23-1(C) -3(D) 13【参考答案】B【详细解析】因为 cos⁡αcos⁡α-sin⁡α=3, 所以 tan⁡α=1-33,tan⁡α+π4=tan⁡α+11-tan⁡α=23-1, 故选(B).10.直线过圆心, 直径【参考答案】直径【详细解析】直线过圆心, 直径.11.已知已知 m、n 是两条不同的直线， α、β 是两个不同的平面: (1)若 m⊥α,n⊥α, 则 m//n; (2)若 α∩β=m,m//n, 则 n//β; (3)若 m//α,n//α,m 与 n 可能异面, 也可能相交, 也可能平行; (4)若 α∩β=m,n 与 α 和 β 所成的角相等, 则 m⊥n, 以上命题是真命题的是( )(A)(1)(3)(B)(2)(3)(C)(1)(2)(3)(D)(1)(3)(4)【参考答案】A【详细解析】选(A).12.在 △ABC 中, 内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c, 若 B=π3, b2=94ac, 则 sin⁡A+sin⁡C=( )(A) 23913(B) 3913(C) 72(D) 31313【参考答案】C【详细解析】因为 B=π3,b2=94ac, 所以 sin⁡Asin⁡C=49sin2⁡B=13. 由余弦定理可得: b2=a2+c2 -ac=94ac, 即: a2+c2=134ac,sin2⁡A+sin2⁡C=134sin⁡Asin⁡C=1312, 所以 (sin⁡A+sin⁡C)2=sin2⁡A+sin2⁡C +2sin⁡Asin⁡C=74,sin⁡A+sin⁡C=72, 故选(C).二、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.13.略14. 函数 f(x)=sin⁡x-3cos⁡x 在 [0,π] 上的最大值是 【参考答案】2【详细解析】 f(x)=sin⁡x-3cos⁡x=2sin⁡x-π3⩽2, 当且仅当 x=5π6 时取等号.15. 已知 a>1,1log8⁡a-1loga⁡4=-52, 则 a= .【参考答案】 64【详细解析】因为 1log8⁡a-1loga⁡4=3log2⁡a-12log2⁡a=-52, 所以 log2⁡a+1log2⁡a-6=0, 而 a>1,故 log2⁡a=6,a=64.16. 曲线 y=x3-3x 与 y=-(x-1)2+a 在 (0,+∞) 上有两个不同的交点, 则 a 的取值范围为 . 【参考答案】 (-2,1)【详细解析】令 x3-3x=-(x-1)2+a, 则 a=x3-3x+(x-1)2, 设 φ(x)=x3-3x+(x-1)2,φ'(x) =(3x+5)(x-1),φ(x) 在 (1,+∞) 上递增, 在 (0,1) 上递减. 因为曲线 y=x3-3x 与 y=-(x -1)2+a 在 (0,+∞) 上有两个不同的交点, φ(0)=1,φ(1)=-2, 所以 a 的取值范围为 (-2, 1).三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 第 17 题 第 21 题为必考题, 每个考题考生必须作答. 第 22、23 题为选考题, 考生根据要求作答.(一)必考题: 共 60 分.17.(12 分)已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn, 且 2Sn=3an+1-3.(1)求 an 的通项公式;(2)求数列 Sn 的通项公式.【参考答案】见解析.【详细解析】(1)因为 2Sn=3an+1-3, 所以 2Sn+1=3an+2-3, 两式相减可得: 2an+1=3an+2- 3an+1, 即: 3an+2=5an+1, 所以等比数列 an 的公比 q=53, 又因为 2S1=3a2-3=5a1-3, 所以 a1=1,an=53n-1;(2) 因为 2Sn=3an+1-3, 所以 Sn=32an+1-1=3253n-1.18.(12 分)题干略.【详细解析】(1) χ2=150(70×24-26×30)296×54×50×100<6.635, 没有 99% 的把握;(2) p>p+1.65p(1-p)150, 故有优化提升.19.(12 分)如图, 已知 AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2, CD=4,AD=BC=10,AE=23,M 为 CD 的中点.(1)证明: EM// 平面 BCF;(2)求点 M 到 ADE 的距离.【参考答案】见解析【详细解析】(1)由题意: EF//CM,EF=CM, 而 CF 平面 ADO,EM⊈ 平面 ADO, 所以 EM // 平面 BCF;(2)取 DM 的中点 O, 连结 OA,OE, 则 OA⊥DM,OE⊥DM,OA=3,OE=3, 而 AE=23,故 OA⊥OE,S△AOE=233. 因为 DE=2,AD=10, 所以 AD⊥DE,S△AOE=10.DM 设点 M到平面 ADE 的距离为 h, 所以 VM-ADE=13S△ADE⋅h=13S△AOE⋅DM,h=4310=2305, 故点 M 到 ADE 的距离为 2305.20.(12 分) 已知函数 f(x)=a(x-1)-ln⁡x+1.(1)求 f(x) 的单调区间; ◻(2)若 a⩽2 时, 证明: 当 x>1 时, f(x)0 时, 当 01a 时, f'(x)>0, 所以 f(x) 的减区间为 0,1a, 增区间为 1a,+∞;(2)因为 a⩽2, 所以当 x>1 时, ex-1-f(x)=ex-1-a(x-1)+ln⁡x-1⩾ex-1-2x+ln⁡x+1. 令 g(x) =ex-1-2x+ln⁡x+1, 则 g'(x)=ex-1-2+1x. 令 h(x)=g'(x), 则 h'(x)=ex-1-1x2 在 (1,+∞) 上递增, h'(x)>h'(1)=0, 所以 h(x)=g'(x) 在 (1,+∞) 上递增, g'(x)>g'(1)=0, 故 g(x) 在 (1,+∞)上递增, g(x)>g(1)=0, 即: 当 x>1 时, f(x)b>0) 的右焦点为 F, 点 M(1, 32 在椭圆 C 上, 且 MF⊥x 轴.(1)求椭圆 C 的方程;(2) P(4,0), 过 P 的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点, N 为 FP 的中点, 直线 NB 与 MF 交于 Q,证明: AQ⊥y 轴.【参考答案】见解析【详细解析】(1)设椭圆 C 的左焦点为 F1, 则 F1F=2,|MF|=32. 因为 MF⊥x 轴, 所以 ∣MF1 =52,2a=MF1+|MF|=4, 解得: a2=4,b2=a2-1=3, 故椭圆 C 的方程为: x24+y23=1;3x12+4y12=123λx22+4λy22=12λ2 可得: 3⋅x1+λx21+λ⋅x1-λx21-λ+4⋅y1+λy21+λ⋅y1-λy21-λ=12, 结合上式可得: 5λ- 2λx2+3=0.P(4,0),F(1,0),N52,0, 则 yQ=3y25-2x2=3λy25λ-2λx2=-λy2=y1, 故 AQ⊥y轴.x2y1x1y2+x2y1=x12y22-x22y12=4+4y123y22-4+4y223y12=4y2-y1y2+y1=4y2-y1x1y2+x2y1,即: x1y2+x2y1=y2+y1,2x2y1=5y1-3y2.P(4,0),F(1,0),N52,0, 则 yQ=3y25-2x2=3y1y25y1-2y1x2 =y1, 故 AQ⊥y 轴.(二)选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答, 并用 2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.[选修 4-4: 坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 xOy中, 以坐标原点 O 为极。