第 19 炼 利用函数证明数列不等式利用函数证明不等式是在高考导数题中比较考验学生灵活运用知识的能力，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，可谓一题多考，巧妙地将函数，数列，不等式连接在一起，也是近年来高考的热门题型一、基础知识：1、考察类型：（1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题（2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题2、恒成立不等式的来源：（1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式2）恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式3、常见恒成立不等式：（1）ln1xx对数多项式（2）1xex指数多项式4、关于前n项和的放缩问题：求数列前n项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有以下几种：（1）倒序相加：通项公式具备第k项与第1nk项的和为常数的特点（2）错位相减：通项公式为“等差等比”的形式（例如2nnan，求和可用错位相减）（3）等比数列求和公式（4）裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，且na裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行相消。
注：在放缩法处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑5、大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式6、在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向7、放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向：朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）8、数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明（有时更容易发现所证不等式与题目条件的联系）二、典型例题：例 1： 已知函数2lnfxxaxx在0 x处取得极值（1）求实数a的值（2）证明：对于任意的正整数n，不等式23412ln(1)49nnn都成立例 2： 已知函数2ln1fxaxx（1）当14a时，求函数fx的单调区间（2）当0,x时，函数( )yf x图像上的点都在00 xyx所表示的平面区域内，求实数a的取值范围（3）求证：1248211112 33 55 82121nnne（其中,nNe是自然对数的底数）例 3： 已知函数)1(1)ln1()(xxxaxxf（1）当0a时，讨论xfxxg2)1()(的单调性；（2）当1a时，若nxf)(恒成立，求满足条件的正整数n的值；（3）求证：25211321211nenn. 例 4：设函数2ln1fxxax，其中aR。
（1）当0a时，讨论函数( )f x在其定义域上的单调性；（2）证明：对任意的正整数n，不等式23111ln1nknkk都成立例 5：已知函数)ln()(axxxf的最小值为0，其中0a1）求a的值（2）若对任意的),0 x，有2)(kxxf成立，求实数k的最小值（3）证明：niNnni1*)(2)12ln(122例 6： 已知函数3( )ln1,0, ( )f xxxxg xxax（1）求( )f x的最大值；（2）证明不等式：121nnnnennne例 7：函数xxfsin)(. （1）若xaxxfcos1)(在,0上恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：) 12(4) 1(23)12)1(.)122()12(nnnnfnfnf. 例 8： 定义： 若kfxyx在,k上为增函数，则称fx为 “k次比增函数” ， 其中kN，已知axfxe: （1）当12a时，求函数fxg xx在,10m mm上的最小值（2）求证：123111172123neeeene例 9：已知函数ln xfxx（1）设lng xfxxm，讨论函数g x在区间21,ee上的零点个数（2）记2*123ln,nnnnxFxSxFxFxFxnNn，若对任意正整数p，4npnSxSxn对任意xD恒成立，则称nSx在xD上是“高效”的。
试判断nSx是否在2,xe e上是“高效”的？若是，请给出证明，若不是，请说明理由例 10： 已知函数ln1fxxpx（1）若fx在定义域内为减函数，求p的范围（2）若na满足1122113,141nnnaaann，试证明：2n时，3444nae。