§3 初 等 函 数 的 连 续 性,教 学 要 求,1．理解指数函数、对数函数与实指数幂函数的定义及其连续性,2．理解一切初等函数在其定义区间上是连续的,3．会用初等函数的连续性求函数的极限,§3 初等函数的连续性,一、基本初等函数与初等函数,基本初等函数,常量函数 :,为常数),幂函数 :,为实数),指数函数 :,对数函数 :,三角函数:,反三角函数:,初等函数: 由基本初等函数经有限次四则运算和复合运算所得的函数.,已知:三角函数、反三角函数、有理指数幂函数在其定义域连续.,二、指数函数的连续性,指数函数 :,当,为有理数时,,已定义(意义明确).,设,当,为有理数时:,当,为无理数时，定义:,为有理数},,为有理数},,已证:,当,时,,单调递增;,当,时,,单调递减.,性质:,不妨设,为有理数},存在有理数,使得,为有理数},存在有理数,使得,定理4.10 设,为任意实数,则有,先证:,即要证,且,不妨设,由定义,存在有理数,使得,存在有理数,使得,因,单调递增,,得,而,故得,由,的任意性,得,同理,设,为有理数,且,使得,再取有理数,以及,则有,故得到,由,的任意性得,所以有,定理4.11,指数函数,在R上连续.,证:,先设,由第三章§2例4知,故,在,连续.,设,令,则,有,故,故,连续.,当,时,,设,则有,可视为,的复合函数.,由连续函数的复合函数的连续性可得,在R连续.,三、初等函数的连续性,由定理4.11,,指数函数,在R上连续.,由连续函数的反函数的连续性得,对函数,在,连续.,又,可表示为,故在,连续.,定理4.12 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数.,定理4.13 任何初等函数都是其定义域上的连续函数.,例8,设,证明:,证:,补充定义,则,都在,连续.,从而,例9 求,解:,例10 求,解:,。