第二节第二节 实验不确定度实验不确定度 由于误差的存在而被测量值不能确由于误差的存在而被测量值不能确定的程度，是被测量真值在某个量值范定的程度，是被测量真值在某个量值范围内的评定围内的评定一、不确定度的概念：一、不确定度的概念：误差以一定的概率被包含在量值范围误差以一定的概率被包含在量值范围 中中真值以一定的概率被包含在量值范围真值以一定的概率被包含在量值范围 中中不确定度用不确定度用σσ表示表示 的大小反映测量结果与真值之间的靠近程度的大小反映测量结果与真值之间的靠近程度 B B类不确定度类不确定度 ：：不能用统计方法只能用其他方法估算不能用统计方法只能用其他方法估算(如仪器误差、估读误差如仪器误差、估读误差) 通常仪器误差通常仪器误差 和估读误差和估读误差 是引起是引起B类类不确定度的主要因素，因此本教材只考虑仪器误不确定度的主要因素，因此本教材只考虑仪器误差不确定度差不确定度 和估读误差不确定度和估读误差不确定度 两两个个B类不确定度分量，即类不确定度分量，即 A类类A类类A类类 B类类B类类B类类 三、直接测量不确定度的计算三、直接测量不确定度的计算1 1、、A A类不确定度的计算类不确定度的计算：：N的不确定度的不确定度– 2 2、、B B类不确定度的估计类不确定度的估计: :1））.估计方法估计方法一般采用等价标准差一般采用等价标准差( )的方法计算。
的方法计算为误差极限值，为误差极限值，C为置信系数为置信系数均匀分布均匀分布:三角分布：三角分布：正态分布：正态分布：C=3，， 2））.仪器误差和平均分布仪器误差和平均分布 由于仪器误差大多是均匀分布，为了由于仪器误差大多是均匀分布，为了简便，计算中统一规定仪器误差都是均匀简便，计算中统一规定仪器误差都是均匀分布，所以置信系数分布，所以置信系数C都取为，得到：都取为，得到：推导过程参考教材推导过程参考教材14页 3））.估读误差估读误差 由于估读误差有些遵从平均分布，也有些由于估读误差有些遵从平均分布，也有些遵从正态分布和其它分布，本课程统一约定为遵从正态分布和其它分布，本课程统一约定为遵从平均分布，也用近似标准差估算估读误差遵从平均分布，也用近似标准差估算估读误差 估读误差与人眼的分辨能力、刻度间隔、测量估读误差与人眼的分辨能力、刻度间隔、测量者的经验、实验条件等多种因素有关教学中凡是者的经验、实验条件等多种因素有关教学中凡是在两个刻度之间判断位置的估读误差统一取为在两个刻度之间判断位置的估读误差统一取为0.2格；格；在测量条件达不到仪器规定要求时，必须根据实际在测量条件达不到仪器规定要求时，必须根据实际情况对估读误差或仪器误差进行放大。
情况对估读误差或仪器误差进行放大 估读误差：估读误差：0.002mm A.A.由仪器的准确度表示由仪器的准确度表示- -由仪器直接标出由仪器直接标出B.B.由仪器的准确度级别来计算由仪器的准确度级别来计算4）仪器误差）仪器误差 的确定：的确定：仪器误差：仪器误差： 在规定使用条件下，正确使用仪器时，仪器的示值在规定使用条件下，正确使用仪器时，仪器的示值与被测量值的真值之间可能产生的最大误差与被测量值的真值之间可能产生的最大误差 A.A.由仪器的准确度表示由仪器的准确度表示②.②.仪器误差仪器误差 的确定：的确定： B.B.由仪器的准确度等级计算由仪器的准确度等级计算电流表电流表（（0.50.5级）级） B.B.由仪器的准确度等级计算由仪器的准确度等级计算电压表电压表（（0.10.1级）级）电流表电流表（（0.50.5级）级） 电阻箱电阻箱（读数为（读数为2700 2700 ））B.B.由仪器的准确度等级计算由仪器的准确度等级计算电压表电压表（（0.10.1级）级）电流表电流表（（0.50.5级）级） B.B.由仪器的准确度等级计算由仪器的准确度等级计算电压表电压表（（0.10.1级）级）电流表电流表（（0.50.5级）级）电阻箱电阻箱（读数为（读数为2700 2700 ）） C.C.仪器上未注明，但隐含或在使用说明书中说明仪器上未注明，但隐含或在使用说明书中说明仪器精确度或仪器误差及计算方法。
仪器精确度或仪器误差及计算方法 （（1）钢直尺没有注明仪器误差）钢直尺没有注明仪器误差（（2）仪器说明书中最大误差一般表示成：）仪器说明书中最大误差一般表示成： 式中式中N是测量值（不是量程），是测量值（不是量程），m%为相对误差系数，为相对误差系数，n是绝对误差项，是绝对误差项，m和和n在仪器说明书中都会给出对于多在仪器说明书中都会给出对于多量程仪表，量程仪表，m一般是定值，而一般是定值，而n与量程有关与量程有关 又如某又如某3½位数字万用表直流电压档的最大误差：位数字万用表直流电压档的最大误差：0.5% *V+ 2个字个字 例如国标二级钢卷尺的最大误差例如国标二级钢卷尺的最大误差 (1)(1)连续可读仪器连续可读仪器 最小分度的一半最小分度的一半 如朔料直尺等如朔料直尺等(2)(2)非连续可读仪器非连续可读仪器 最小分度最小分度 如游标类、数字式仪表等如游标类、数字式仪表等D.D.未注明仪器误差也找不到说明书或相关标准时未注明仪器误差也找不到说明书或相关标准时 朔料直尺朔料直尺：最小分度为：最小分度为1mm1mmC.C.未给出仪器误差时未给出仪器误差时连续可读仪器连续可读仪器 朔料直尺朔料直尺：最小分度为：最小分度为1mm1mmC.C.未给出仪器误差时未给出仪器误差时连续可读仪器连续可读仪器读数显微镜读数显微镜：最小分度为：最小分度为0.01mm0.01mm 朔料朔料直尺直尺：最小分度为：最小分度为1mm1mmD.未注明仪器误差也找不到说明书或相关标准时未注明仪器误差也找不到说明书或相关标准时连续可读仪器连续可读仪器读数显微镜读数显微镜：最小分度为：最小分度为0.01mm0.01mm 数字秒表数字秒表: :最小分度最小分度=0.01s=0.01sC.C.未给出仪器误差时未给出仪器误差时非连续可读仪器非连续可读仪器 数字秒表数字秒表: :最小分度最小分度=0.01s=0.01s2020分度游标卡尺分度游标卡尺：最小分度：最小分度=0.05mm=0.05mmC.C.未给出仪器误差时未给出仪器误差时非连续可读仪器非连续可读仪器 数字秒表数字秒表: :最小分度最小分度=0.01s=0.01s2020分度游标卡尺分度游标卡尺：最小分度：最小分度=0.05mm=0.05mm分光计分光计: :最小分度最小分度=1‘=1‘C.C.未给出仪器误差时未给出仪器误差时非连续可读仪器非连续可读仪器 数字秒表数字秒表: :最小分度最小分度=0.01s=0.01s2020分度游标卡尺分度游标卡尺：最小分度：最小分度=0.05mm=0.05mm分光计分光计: :最小分度最小分度=1‘=1‘非连续可读仪器非连续可读仪器D.未注明仪器误差也找不到说明书或相关标准时未注明仪器误差也找不到说明书或相关标准时 (1)(1)连续可读仪器连续可读仪器 最小分度的一半最小分度的一半 如朔料米尺等如朔料米尺等(2)(2)非连续可读仪器非连续可读仪器 最小分度最小分度 如游标类、数字式仪表等如游标类、数字式仪表等D.D.未注明仪器误差也找不到说明书或相关标准时未注明仪器误差也找不到说明书或相关标准时 C .单次测量具有测量效率高，数据处理简单的优单次测量具有测量效率高，数据处理简单的优点，在实验测量中也经常用到，但单次测量可靠性点，在实验测量中也经常用到，但单次测量可靠性较低，一般应根据经验将仪器误差加以放大。
较低，一般应根据经验将仪器误差加以放大 A A类不确定度分量类不确定度分量B B类不确定度分量类不确定度分量3 合成不确定度合成不确定度 对于任何一次直接测量量，都要必须算出对于任何一次直接测量量，都要必须算出 和和 ，按，按“方和根方和根”的方式合成不确定度的方式合成不确定度 (1)常用的不确定度合成公式为常用的不确定度合成公式为(2)对任何一个直接测量原则上都必须先算出它的统对任何一个直接测量原则上都必须先算出它的统计不确定度和两个非统计不确定度分量和后，按计不确定度和两个非统计不确定度分量和后，按“方和根方和根”的方式合成为合成不确定度的方式合成为合成不确定度 (3)如果统计不确定度小于或的如果统计不确定度小于或的1/3，测量就可以简化，测量就可以简化为单次测量，合成不确定度的计算公式也就简化为为单次测量，合成不确定度的计算公式也就简化为(4)如果单次测量时没有估读误差的影响，则有如果单次测量时没有估读误差的影响，则有 用用仪仪器器误误差差为为0.01mm的的螺螺旋旋测测微微计计测测一一圆圆环环的直径的直径D，其数据如下（单位，其数据如下（单位mm））：：（（2 2）由于是多次测量，存在）由于是多次测量，存在A A类不确定度：类不确定度：15.272；；15.276；；15.268；；15.274；；15.270；；15.274；；15.268；；15.274；；15.272 .求测量值求测量值D的合成不确定度。
的合成不确定度解：解：（（1 1）计算圆环直径的平均值：）计算圆环直径的平均值： 任何直接测量都存在任何直接测量都存在B B类不确定度：类不确定度：（（5 5）圆环直径的合成不确定度）圆环直径的合成不确定度: :（（3）计算仪器误差产生的）计算仪器误差产生的B类不确定度类不确定度（（4））计算估算估读误差差产生的产生的B类不确定度类不确定度因最小刻度为因最小刻度为0.01mm，所以，所以 四、间接测量的不确定度计算四、间接测量的不确定度计算1.1.多元函数的全微分多元函数的全微分设设N N为待测物理量，为待测物理量，X X、、Y Y、、Z Z为直接测量量为直接测量量若先取对数再微分，则有若先取对数再微分，则有: :全微分后，则有全微分后，则有: : 2.2.间接测量的不确定度由传播公式计算间接测量的不确定度由传播公式计算其其中中f f为为间间接接测测量量量量N N与与直直接接测测量量量量x x、、y y、、z……z……之间的函数关系之间的函数关系1)(2)dN, dxx, dyy, dzz,…... 此公式适合于间接测量量与直接测量量是和差形式此公式适合于间接测量量与直接测量量是和差形式。
此公式适合于间接测量量与直接测量量是积此公式适合于间接测量量与直接测量量是积商形式的函数关系商形式的函数关系此式既是相对不确定度的传播此式既是相对不确定度的传播公式3.3.不确定度计算的简化不确定度计算的简化- -微小误差舍去原则微小误差舍去原则 五、总不确定度五、总不确定度 合成不确定度乘上一个系数合成不确定度乘上一个系数C后，其结果就后，其结果就称为总不确定度，它用称为总不确定度，它用U表示，即表示，即 式中，式中，C为置信因子对于误差服从正态分布的测量，为置信因子对于误差服从正态分布的测量，一般一般C取取1，，2或或3，它们对应的置信概率分别为，它们对应的置信概率分别为0.683，，0.954，，0.997在不确定度分析时一般都取在不确定度分析时一般都取C为为1，便于分析和计，便于分析和计算（因为所有不确定度分量都是在置信概率为算（因为所有不确定度分量都是在置信概率为0.683的前提的前提下计算出来的）下计算出来的） 六、测量结果表达式：六、测量结果表达式：物理意义是：真值在物理意义是：真值在 范围内范围内 的概率是的概率是0.683。
约定：取一位时，约定：取一位时，p不书写，物理实验报不书写，物理实验报 告取一位告取一位注意：注意：1、一定不要忘记写单位，否则就不、一定不要忘记写单位，否则就不 是物理量了是物理量了 2、不确定度的数字只取一位或两位不确定度的数字只取一位或两位 3、对齐，既测量平均值（单次测量、对齐，既测量平均值（单次测量 是测量值）的最后一位应与不确定度是测量值）的最后一位应与不确定度 最后一位对齐最后一位对齐 已测得矩形宽、长结果分别是已测得矩形宽、长结果分别是 求周长求周长L=L=？？解：解： 测边长测边长 的立方体体积的立方体体积V V，要求，要求 ，，问问用用下下列列哪哪种种游游标标卡卡尺尺最最恰恰当当？？(1)10分度分度解：解：由条件由条件: :则：则：得：得：(2)20分度分度(3)50分度分度又又: :故合适的仪器为故合适的仪器为5050分度的游标卡尺（分度的游标卡尺（ ）） 本章小结本章小结 一.不确定度的概念 二.不确定度的分类 三.不确定度的计算 四.合成不确定度 五.不确定度的传递 1.选出下列说法的正确者选出下列说法的正确者( )A.可用仪器的最小分度或最小分度的一可用仪器的最小分度或最小分度的一B. 半作为该仪器的一次测量的误差；半作为该仪器的一次测量的误差；B.可以用仪器精度等级估算该仪器一次可以用仪器精度等级估算该仪器一次C.的测量的误差；的测量的误差；C.只要知道仪器的最小分度值只要知道仪器的最小分度值,就可以大就可以大致确定仪器误差的数量级致确定仪器误差的数量级；；D. 以上三种说法都正确。
以上三种说法都正确D 2.测量一约为测量一约为1.5伏特的电压时要求其伏特的电压时要求其结果的相对误差小于结果的相对误差小于1.5%，则应选，则应选用下列那一种规格的伏特表用下列那一种规格的伏特表( )A. 0.5级，量程为级，量程为5伏；伏； B.B. 1.0级，量程为级，量程为2伏；伏；C. 2.5级，量程为级，量程为1.5伏；伏； D.D. 0.5级，量程为级，量程为3伏B , D 3.求求 Y＝＝B + C + D – E 其中其中 其结果是其结果是( )B 4.仪器仪表精度等级的含义是：仪器仪表精度等级的含义是：( )A. 最大误差与满刻度值的百分数的分子表示；最大误差与满刻度值的百分数的分子表示；B. 就是仪器仪表值引用误差；就是仪器仪表值引用误差；C. 仪器仪表用百分数表示的示值相对误差的仪器仪表用百分数表示的示值相对误差的 分子表示；分子表示；D. 仪器仪表值误差与指示值的百分数的分子仪器仪表值误差与指示值的百分数的分子 的表示。
的表示A 5.用量程为用量程为15mA，，准确度等级为准确度等级为0.5级级的电流表测某电流的指示值为的电流表测某电流的指示值为10.00mA，其测量结果的最大误差为，其测量结果的最大误差为( )A. 0.75mA；； B. 0.075mA；；C. 0.05mA；； D. 0.008mA`B 6.用复摆公式用复摆公式 ，通过测周期，通过测周期T来测来测摆长摆长l如果已知如果已知 g 的标准值，并测得的标准值，并测得T≈2s，，时间测量的极限误差时间测量的极限误差△△t = 0.1s，问：让，问：让 l 的相的相对误差（不确定度）小于对误差（不确定度）小于 1％，测周期时至少％，测周期时至少应测多少个周期？应测多少个周期？因为因为所以所以由此算出由此算出 n≥6(次）次） 7.通过测定直径通过测定直径D及高及高h，求圆柱体的体积，求圆柱体的体积已知：已知：D≈0.8㎝，㎝，h=3.2㎝㎝如果要求如果要求应如何选用仪器？应如何选用仪器？（钢直尺：（钢直尺：△△仪仪=0.015㎝，游标卡尺：㎝，游标卡尺：△△仪仪=0.005㎝㎝ 螺旋测微计：螺旋测微计：△△仪仪=0.001㎝）㎝）因为因为而而所以所以由由 △△仪仪=得得 △△仪仪≤0.003㎝㎝忽略估读误差，忽略估读误差， 。