[研究生入学考试题库]考研数学一模拟618一、选择题(下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)问题:1. 设A，B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是______ A．与不相容． B．与相容． C．P(AB)=P(A)P(B)． D．P(A-B)=P(A)． 答案:D[解析] 因为A与B不相容，故，于是 ，故应选D．问题:2. 设有三元方程xy-zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程______A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)．B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)．C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，2)和z=z(x，y)．D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．答案:D[解析] 令F(x，y，z)=xy-zlny+exz-1 显然，F(x，y，z)在点(0，1，1)的邻域内有连续一阶偏导数，且F(0，1，1)=0，=2≠0， =-1≠0，由隐函数存在定理知方程xy-zlny+exz=1可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=(x，z)，故应选D． 本题主要考查隐函数存在定理． 问题:3. 设函数f(x)在[0，+∞)上二阶可导，且f"(x)＞f'(x)，则在区间[0，+∞)上是______A.单调增加．B.单调减少．C.有极值．D.常数．答案:A[解析] ∴单调增加． 选A． 问题:4. 设n维列向量组α1，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，…，βm线性无关的充分必要条件为______A.向量组α1，…，αm可由向量组β1，…，βm线性表示．B.向量组β1，…，βm可由向量组α1，…，αm线性表示．C.向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价．D.矩阵A=[α1…αm]与矩阵B=[β1…βm]等价．答案:D[解析] 解1 记向量组(Ⅰ)：α1，αm，向量组(Ⅱ)：β1，…，βm，由于m＜n，故当(Ⅱ)线性无关时，(Ⅰ)与(Ⅱ)之间不一定存性表示．例如，向量组与向量组，二者都是线性无关组，二者的秩都是2，但二者之间不存性表示．故备选项A、B及C都不对，因此只有D正确． 解2 注意，同型矩阵等价它们的秩相等．现在A与B同型(都是n×m矩阵)，故A与B等价r(A)=r(B)．而r(A)=m，(Ⅱ)线性无关r(B)=m，于是得D正确． 本题考查向量组等价与向量组的秩、矩阵等价与矩阵的秩等概念以及它们之间的关系．注意，两个向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，则(Ⅰ)与(Ⅱ)必有相同的秩，但反之不真．向量组等价与矩阵等价不同：向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，是指(Ⅰ)与(Ⅱ)可以互相线性表示；而矩阵A与B等价是指可经初等变换(包括初等行变换和初等列变换)将A化成B． 问题:5. 设随机变量X与Y独立同分布，记ξ=X-Y，η=X+Y. 则随机变量ξ和η______A.不独立B.独立C.相关系数ρξη≠0D.相关系数ρξη=0答案:D[考点] 随机变量的独立与相关[解析] cov(ξ，η)=E(ξη)-E(ξ)E(η). 注意到 E(ξ)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0. 故cov(ξ，η)=E(ξη)=E[(X-Y)(X+Y)]=E(X2)-E(Y2)=0. 从而. 即ξ，η不相关，选D.问题:6. 设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且其方差σ2＞0，令，则______ A． B．cov(X1，Y)=σ2 C． D． 答案:A[解析] ，故A． 协方差具有“线性运算”的性质，较易计算。
而D(X1+Y)=DX1+DY+2coy(X1，Y)=+(注意X1与Y未必独立，因为Y中含X1，勿漏掉2cov(X1，Y)项)，问题:7. 利用变量u=x，可以把方程化为新方程______ A．． B．． C．． D．．答案:A[解析] 因为， 将上式代入可得 ，即，故(A)项正确．问题:8. 若级数在x=-1收敛，则此级数在x=2处______A.条件收敛．B.绝对收敛．C.发散．D.收敛性不能确定．答案:B问题:9. 设f(x)在[a，b]上连续，，则存在ξ∈(a，b)，使等于 ______ A．1． B．0． C．． D．2． 答案:B问题:10. ，Aij为元素aij的代数余子式， 则等于______A.-nB.nC.-n2D.n2答案:B[考点] 行列式代数余子式之和[解析] ，且. 由于|A|=(-1)τ(n12…(n-1))·(-1)n =(-1)n-1·(-1)n=(-1)2n-1=-1. 即， 故. 于是. 选B.二、填空题问题:1. 答案:4-π[解析] 根据定积分的对称性与定积分的几何意义可得 问题:2. ______．答案:[解析] 再令tanx=t，有x=arctant， 问题:3. 设f(x，y)=xy，则=______．答案:xy-1+yxy-1lnx问题:4. 设函数f(x)=πx-x2 (-π＜x＜π)的傅里叶级数展开式为bnsinnx)，则其中系数b3的值为______．答案:[解析] 本题主要考查傅里叶系数的计算． 问题:5. 答案:[解析] 交换积分次序： 问题:6.答案:三、解答题本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．问题:1. 设4x2+4y2+3z2=32，证明2xy+3yz≤16．答案:证：记f(x，y，z)=2xy+3yz，引入辅助函数 L(x，y，z，λ)=f(x，y，z)+λ(4x2+4y2+3z2-32)． 列方程组 解之得可能的极值点(1，2，2)，(-1，2，-2)，(1，-2，2)，(-1，-2，-2)， 由f(1，2，2)=16，f(-1，2，-2)=-16，f(1，-2，2)=-16，f(-1，-2，-2)=16，可知，f(x，y，z)在条件4x2+4y2+3z2=32下有最大值16，故 2xy+3yz≤16． 问题:2. 求 答案:解： 问题:3. 求曲线在t=0处的切线和法平面方程．答案:解：当t=0时， x'=etcost，x'(0)=1；y'=2cost-sint，y'(0)=2；z'=3e3t，z'(0)=3， 故，切线方程为 法平面方程为x+2(y-1)+3(z-2)=0， 即x+2y+3z-8=0． 问题:4. 设三阶矩阵，试求r(A)．答案:解：方法一 直接从矩阵秩的行列式定义出发讨论． 由于 故(1)当a≠1且a≠-2时，|A|≠0，r(A)=3； (2)当a=1时，|A|=0，且，显然r(A)=1； (3)当a=-2时，|A|=0，且，这时有2阶子式 因此r(A)=2. 方法二 利用初等变换求秩． 于是由初等变换不改变矩阵的秩知： (1)当a≠1，且a≠-2时，r(A)=3； (2)当a=1时，r(A)=1； (3)当a=-2时，r(A)=2. 问题:5. 设半径为R的球体体密度μ=r2，求球体的质量． (1)r是球内任一点到球心的距离； (2)r是球内任一点到直径的距离； (3)r是球内任一点到过球心的平面的距离． 答案:解：(1)如图(a)所示，选极坐标系，积分变量选择r，以极点O为中心，r为内径，厚度为dr的球壳体积为 dV=4πr2dr， 由于dr很小，球壳密度可看做均匀的，为μ=r2，于是其质量 dM=4πr2dr·r2=4πr4dr， 故 (2)如图(b)所示，设x为积分变量，y为中心轴，以x为内径厚为dx的圆柱筒可看做图中阴影部分绕y轴旋转所得的形体，其体积为 故质量为 (3)如图(c)所示，选直角坐标系，以z为积分变量，图中所示为所论问题在yOz平面上的投影，球中从z到z+dz这部分球台的体积为dV=π(R2-z2)dz，由于dz很小，故该部分的密度可看做均匀的，为μ=z2．于是其质量为dM=πz2(R2-z2)dz，故质量 问题:6. 设f(x)在[a，b]上可导，f'+(a)·f'-(b)＜0．证明：存在一点ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=0．答案:证：不妨设f'+(a)＞0，f'-(b)＜0，于是 由极限保号性可知，存在一个δ1＞0．当x∈(a，a+δ1)时，恒有 同理，有 由极限保号性可知，存在一个δ2＞0，当x∈(b-δ2，b)时，恒有 由f(x)在[a，b]上可导可知，f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上必存在最大值． 由式①、式②可知，最大值只能在(a，b)内取得． 令ξ∈(a，b)，又f(x)在x=ξ处可导，故由费尔马定理可知，f'(ξ)=0．。