七年级上册七年级上册第第 1 章章 有理数有理数第一讲第一讲 有理数有理数益思对话益思对话认识数学领域中的中国面孔 “一个国家只有数学蓬勃发展，才能表现它的国力强大 ” ——（法）拿破仑 自 1840 年鸦片战争始，腐败的清王朝屡次对外战争的失败，致使国门洞开，一次次 丧权辱国的割地赔款，使国人清醒地认识到西方世界科学技术之强大，而科学技术的强大 又是建立在基础科学的强大之上，而基础科学的语言与工具之一就是数学，虽然，中华民 族有着渊远博大、自成一派的数学体系，甚至从公元一世纪至十一世纪初长达一千多年的 时间里傲立于世界数学之巅，但随着十四世纪中叶明王朝建立之后，统治者奉行八股文的 科举制度，在国家科举考试中大幅度削减数学内容，自此中国古代数学开始全面衰弱，而 几乎与此同时，西方世界正值文艺复兴时期，崇尚科学之风盛行，近代高等数学也在这种 氛围中开始萌芽、发展、壮大，并为科学技术的发展提供了强有力的工具，而我国直至十 九世纪末才开始近代高等数学的学习与研究，虽然经过几代数学工作者的奋力追赶，但时 至今日仍能深切感受到与西方发达国家之间不小的差距，世界著名华人数学家、沃尔夫奖 获得者陈省身曾说，我所做的一切只为实现一个理想——使中国成为 21 世纪数学大国，正 是这种共同理想的激励之下，一批又一批志士仁人前赴后继投身其中。
益思互动益思互动1.整数和分数统称为有理数 2.有理数还可以这样定义：形如（其中均为整数，县）的数是有理数，这种表达形式被用来证明p mpm,0m或判断某个数是不是有理数 3．有理数的数系表：4．有理数可以用数轴上的点表示5．零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数 6．如果两个数的和为 0，则称这两个数互为相反数，如果两个数的积为 1，则称这两 个数互为倒数 7．有理数的运算法则： （1）加法：两数相加，同号的取原来的符号、并把绝对值相加；异号的取绝对值较 大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，绝对值相等时，和为 0；一个数 与 0 相加，仍得这个数 （2）减法：减去一个数等于加上这个数的相反数 （3）乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数与 0 相乘，积 为 0乘方：求个相同因数口的积的运算称为乘方，记为nna（4）除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数益思练场益思练场1．下列说法中，正确的是 （ ） A．负数和负分数统称为有理数 B．正分数、负分数统称为分数 C．正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数 D．0 不是有理数2．把下列各数填相应的大括号里：451,,8.9, 7,, 3.2, 1008, 0.06,28, 9.56正整数的有：{ }； 负整数的有：{ }；正分数的有：{ }； 负分数的有：{ }。
3．数轴上原点及其左边的点表示是 （ ） A．负整数 B．正整数 C．负数 D．负数和 04．如下图，数轴上一动点 A 向左移动 2 个单位长度到达点 B，再向右移动 5 个单位 长度到达点 C，若点 C 表示的数为 1，则点 A 表示的数为（ ）A. B. C. D.73325．数轴上到原点的距离为 2 的点所表的数是 6．请你指出下图中哪些不是数轴？并说出你判断的理由益思精析益思精析类型一：有理数的概念【例 1.1】有如下四个命题： ①有理数的相反数是正数；②负数与正数的和为零；③两个负有理数的比值是正数；④两个有理数的和的绝对值大于这两个有理数绝对值的和其中真命题有 （ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个【例 1.2】一组数按规律依次为：., 7-, 5, 2-321aaa（1）请猜想：依此规律= ；（2）如果我们定义一种新运算；5a1613 1432 5424aaaaa aa aaaaa那么【变式 1】定义一种对正整数的“F 运算”：①当为奇数时，结果为；②当nn53m为偶数时，结果为（其中 k 是使为奇数的正整数） ，并且运算重复进行，例如，n2kn 2kn取=26，则n若，则第 449 次“F 运算”的结果是 。
499n类型二：比较大小【例 2】比较与的大小aa2【变式 2.1】已知有理数满足，那么中最大数是 ba,10 , 01ba3322,,babaab，最小数是 【变式 2.2】下列说法正确的是 （ ） A． “黑”和“白”是具有相反意义的量 B． “快”和“慢”是具有相反意义 的量 C． “向北走 4.5m”和“向南走 8m”是具有相反意义的量 D． “+15m”就表示向东走 15m【例 3.1】有如下 4 个判断性语句：①符号相反的数互为相反数；②任何有理数的绝对值 都是非负数；③一个数的相反数一定是负数；④如果一个数的绝对值等于它本身，那么 这个数是正数，其中正确的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4【变式 3.1】数在数轴位置如下图所示，那么大小顺序为 a11,,,aaaa （用不等号连接）【变式 3.2】有理数等于它的倒数，有理数等于它的相反数，则ab.__________20082008 2008ba类型二：科学计数法 【例 4.1】据统计全球每分钟大约会有 340000 名婴儿诞生，婴儿出生数用科学计数法可表 示为 名。
例 4.2】尽管受到国际金融危机的影响，但长沙市经济依然保持了平衡增长，据统计，截 止到今年 4 月底，我市金融机构存款余额约为 1193 亿元，用科学记数法应记为 （ ）A．元 B．元 C．元 1010193. 11110193. 12110193. 1D．元3110193. 1【变式 4】横跨深圳及香港之间的深圳湾大桥（Shellzhen Bay Bridge）是中国唯一倾斜的独 塔单索面桥，大桥全长 4770 米，这个数字用科学计数法表示为（保留两个有效数字） （ ）A． B．C． D．210473107 . 43108 . 43100 . 5【例 4.3】已知一个四位数的正整数用科学计数法，在保留三位有效数字以后为，35.76 10则满足该条件的四位数有（ ）个 A． 8 B． 9 C． 10 D． 11 【变式 4.1】已知一个五位数的正整数用科学计数法，在保留三位有效数字以后为，则满足该条件的五位数有 个。
42.73 10类型三：找规律【例 5】观察下面一组数据，探求其规律：1 23 45 6,,,,,,.2 34 56 7（1）写出第 7、8、9 项的三个数； （2）第 2010 个数是什么？ （3）如果这一组数据无限排列下去，与哪两个数越来越近？【变式 5】已知时，；当时，；当时，；….1) 1(n na01a2n22a3n03a则的值为 654321aaaaaa益思拓展益思拓展A．夯实基础 1．如果两个数的和为正数，那么 （ ） A．这两个数都是正数 B．一个数为正，一个数为 0 C．两个数一正一负，且正数绝对值大 D．必属上面三种之一2．下列说法正确的是 （ ） A．负数没有倒数 B．大于 1 的正数的倒数比自身小 C．任何有理数都有倒数 D．的倒数是113．某市水质检测部门 2008 年全年共监测水量达万吨，将数字用科学6 .289096 .28909 记数法（保留两位有效数字）表示为 （ ）A.B．C．D．41082 ×.41092 ×.51092 ×.310×2.9 4．今年某市约有名应届初中毕业生参加中考，用科学记数法 （ 102000102000 ）A．B．C．D． ×.6101020 ×.510021410×10.2310×102B．能力拓展 5．一个数的平方是，这个数的立方是 （ ）4A． B． C．或 D．或8888446．有如下三个结论甲：中至少有两个互为相反数，则；cba、、0cba乙：中至少有两个互为相反数，则；cba、、0)()()(222accbba丙：中至少有两个互为相反数，则。
cba、、0))()((cacbba其中正确结论的个数是 （ ）A． B． C． D．01237．如果一个有理数的偶次幂是正数，那么这个有理数 （ ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．是正数或是负数 D．可以是任意的有理数8．已知甲数是的相反数，乙数比甲数的相反数大，则乙数比甲数大 96C．综合创新9．在等式□□的两个方格内分别填一个数，使这两个数互为相反数且等式3 215 成立，则第一个方格内的数是 10.已知互为相反数,互为倒数，的绝对值等于 3，求nm、a,bx的值2003200123)()()1 (abxnmxabnmx11．在五环图案内，分别填写五个数,如图 ,其中是三个连续偶a,b,c,d,e,a,b,c数（）,是两个连续奇数()，且满足,例如 ，请aaccbbabc|a|b>ccba【变式 4.1】已知，求的值2|a|a【变式 4.2】已知，求的值32 ,|b||a|ba【变式 4.3】已知：，在数轴上给出关于、的四种情况如图所bb||ab||a2ab示，则成立的是 ， （写出所有正确的序号）【例 5】电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步由向左跳一个单位，第二步由0K0K1K向右跳两个单位到，第三步由向左跳三个单位到，第四步由向右跳四个1K2K2K3K3K单位到……按以上规律跳 100 步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是4K100K19.94，试求电子跳蚤的初始位置点所表示的数。
0K【变式 5】 （1）工作流水线上顺次排列 5 个工作台 A、B、C、D、E，一只工具箱应该 放在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短？ （2）如果工作台由 5 个改为 6 个，那么工具箱应如何放置能使 6 个操作机器的人取工 具所走的路程之和最短？ （3）当流水线上有个工作台时，怎样放置工具箱最适宜？n益思拓展益思拓展A．夯实基础 1． （1）如果数轴上一点 A 所表示的数是 3，那么与点 A 相距 4 个单位的点所表示的数 是 2）数轴上，在表示到的点之间，表示整数的点共有 个，在表示100200 到的点之间，表示整数的点总共有 个1002002．如下图，数轴上 A、B 两点分别对应实数、，则下列结论正确的是 （ ）abA． B． C． D．0ba0ab>0b>a0|b|>|a|3．、在数轴上的位置如图所示，把、、、按照从小到大的顺序排列，ababab 并。