第二章 时域离散信号与系统的频域分析 • 离散时间傅立叶变换的定义 • DTFT的主要性质 • 周期序列的离散傅立叶变换 • 时域离散信号的FT和模拟信号的FT之间的关系 • 离散系统的频域特性 •序列的傅立叶变换及其基本性质的应用 •离散系统的频域特性 学习内容： 学习重点、难点： 2.1 连续时间信号和系统的频域分析 知识回顾 1、连续时间周期信号 特点：时域连续，频域离散 连续时间周期信号的傅里叶级数对 2、连续时间非周期信号 连续时间非周期信号的傅里叶变换对 特点：时域连续，频域连续 2.2 离散时间傅立叶变换的定义及性质 2.2.1 离散时间傅立叶变换定义 （DTFT) 1、正变换： 反变换： 2、序列傅立叶变换存在的条件 • • 序列绝对可和，一致收敛，序列绝对可和，一致收敛，FTFT存在存在 • • 特殊序列（周期序列，特殊序列（周期序列，u(nu(n））) )等，引入等，引入δδ冲冲 激函数，激函数，FTFT也存在 • • 频谱用实部和虚部表示频谱用实部和虚部表示 • • 频谱用幅度和相位表示频谱用幅度和相位表示 – – 幅度特性幅度特性 – – 相位特性相位特性 3、序列的幅度谱与相位谱 • • 频谱是频谱是ωω的连续周期函数，周期为的连续周期函数，周期为2π2π。
• • DTFTDTFT频谱特点：时域离散，频域连续，频谱特点：时域离散，频域连续， 以以2π2π为周期 例2.2.1 设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT 解: 当N＝4时，序列x(n)及其幅度谱与相位谱如下图示 clc; clear; y=[1 1 1 1]; x=0; n=[0:3]; w=0:0.01:2*pi; subplot(311); stem(n,y); xlabel(n); ylabel(x(n)); for n=0:3 x=x+exp(-j*w*n); end xx=abs(x); subplot(312); plot(w,xx); xlabel(w); ylabel(幅度) yy=angle(x); subplot(313); plot(w,yy) xlabel(w); ylabel(相位) 程序清单 例：令因果性指数序列为x(n)=anu(n)，写出其傅立 叶变换，并讨论其收敛性 解：此序列的傅立叶变换为： |a|<1 |a|<1时，anu(n)的傅立叶变换存在 2.2.2 序列傅立叶变换的性质 1、FT的周期性 其中， 0，2π，4π… 对应对应 直流分量 π，3π，5π … 对于信号的最高频分量 对信号频谱只需分析－π ～π之间或0～2 π之间 因此：X(ejω)以2π为周期 2、线性性质 3、时移与频移性质 时域移位， 频域有相移 时域调制 频域移位 4、指数加权，线性加权 5、时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n), 则 Y(ejω)=X(ejω)H(ejω) 证明： 令k=n-m 时域卷积， 频域乘法 6、频域卷积定理 设 y(n)=x(n)•h(n), 则 频域卷积， 时域乘法 7、帕斯瓦尔定理（Parseval） 内容：时域、频域能量守恒。
即信号时域的总能量等于频域的总能量 证明： 将xe(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n) 将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n) 对比上面两公式， 左边相等， 因此得到 xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n) （1）共轭对称序列： 若满足下式： xe(n)=x*e(-n) 则称xe(n)为共轭对称序列 概念： 共轭对称序列的性质：实部是偶函数， 虚部是奇函数 8、 DTFT的对称性 （2）共轭反对称序列： 若满足下式： xO(n)=-x*O(-n) 则称xO(n)为共轭反对称序列 共轭反对称序列的性质：实部是奇函数， 虚部是偶函数 例：共轭对称序列 5－j 4－j 0 4＋j 5＋j 共轭反对称序列 －5＋j －4＋j 0 4＋j 5＋j （3）对任意序列x(n) 任意序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示， x(n)=xe(n)+xo(n) 由 x*(-n)=xe(n)-xo(n) 有： 任意序列x(n) X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) （4）对序列x(n)的X(ejω) Xe(ejω)=X*e(e-jω) Xo(ejω)=-X*o(e- jω) 对称性： （1）若序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n) x(n)=xr(n)+jxi(n) 则 X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) 即序列实、虚部分解，频域作共轭对称与反对称的分解 其中 证明略 （2）若序列x(n)分成共轭对称分量xe(n)与共轭反对 称分量x0(n）之和 x(n)=xe(n)+xo(n) 则 X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω) 即序列对称、反对称分解，频域作实部、虚部的分解 其中 有： 由： 证明 （3）实因果序列的对称性 因此实序列的FT的实部是偶函数， 虚部是奇函数， 用公式表示为： 若x(n)是实序列， 则其FT只有共轭对称部Xe(ejω)， 共轭反对称部分为零。
X(ejω)=Xe(ejω)=X*(e-jω) XR(ejω)=XR(e-jω) XI(ejω)=-XI(e-jω) |X(ejw)|－－－－幅度是w的偶函数 arg[X(ejw)]－－－－相角是w的奇函数 x(n)为实序列： x(n)=xe(n)+xo(n) 例 x(n)=anu(n); 0
0≤k≤N-1 由： 令： 则： 且： 三、离散傅立叶级数变换对 DFS的正变换： DFS的反变换： 周期序列DFS特点： 1.时域离散，频域离散 2. 均以N为周期，周期延拓 3.实际频率分量只有N项，直流， 2π/N,2π/N*2,2π/N*k,…2π/N*(N-1) 四、离散傅氏级数的习惯表示法 通常用符号 代入， 则： 正变换： 反变换： 解： 幅度谱见书P42 例 2.3.1 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进 行周期延拓，得到周期为8的周期序列 ，求 的 DFS. 周期序列的谱： 非周期序列的谱： 对周期为N的序列 其DFS: 其FT: 结论：同一周期序列，其DFS和FT分别取模的形状是 一样的，不同的只是FT用单位冲激函数表示，幅度 倍乘2π/N 2.3.2 周期序列的傅立叶变换 例 2.3.2 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进 行周期延拓，得到周期为8的周期序列 ，求 的 FT. 周期序列DFS 非周期序列DTFT 周期序列DTFT 是对有限 长序列x(n)的 傅立叶变换的 等间隔抽样， 抽样间隔为 2π/N，具有周 期性，每个2π 周期内抽样样N个 点。
一个结论： 小结： 有限长序列DTFT 周期序列DFS 周期序列DTFT 几个特殊信号的傅立叶变换: 2、余弦序列的FT 1、复指数序列的FT 3、常数序列的FT 1、复指数序列的FT 2、余弦序列的FT 见书P43表 3、常数序列的FT 当ω0＝0时时 2.4 离散信号的傅氏变换与模拟信号的傅氏 变换的关系 一、几组关系 原连续信号及其频谱 采样信号及其频谱 序列及其频谱 ？ 二、离散信号傅氏变换与模拟信号傅氏变换的关系 1、推导： 即有： 对照： 结论： 2、采样信号频谱与对应序列频谱的曲线关系： Ω Ωmax 模拟信号谱 采样信号谱 序列的频谱 Ω 3、原模拟信号频谱与对应序列频谱的关系： 由： 有： 见书P45页 式2.4.3 三、模拟频率和数字频率之间的定标关系 在一些文献中经常使用归一化频率f′=f/fs或Ω′=Ω/Ωs， ω′=ω/2π， 将f、 Ω、 ω、 f′、 Ω′、 ω′的定标值 对应关系用下图表示 例 2.4.1 设xa(t)=cos(2πf0t)， f0=50 Hz以采样 频率fs=200 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号 和时域离散信号x(n)， 求xa(t)、 、x(n)的傅立 叶变换。
解：略 2.5 离散时间系统的频响特性 离散时间系统的单位冲激响应：h(n) 离散时间系统的频率响应函数： 幅度响应：|H(ejω)| 相位响应：Φ(ω)=arg[H(ejω)] 频率响应函数的物理含义： 设系统的输入为 则经过系统后的响应为： 即：当系统输入为正弦序列，输出为同频率的正弦序列， 其幅度受频率响应幅度|H(ejω0)|加权，而输出的相位则为 输入相位与系统相位响应之和 |Y(ejω)|=|H(ejω)||X(ejω)| arg［Y(ejω)］=arg［H(ejω)］+arg［X(ejω)］ Y(ejω)=X(ejω)H(ejω) 频域 几种特殊系统的系统： • 全通滤波器 全通滤波器是一种纯相位滤波器，经常用于相位均衡 几种特殊系统的系统： • 梳状滤波器 消除电 网谐波 干扰 几种特殊系统的系统： 最小相位系统：所有零点都在单位圆内 最大相位系统：所有零点都在单位圆外 混合系统：单位圆内外都有零点的系统 本章小结： 1.序列的傅立叶正、反变换（DTFT)； 2.序列傅立叶变换存在的条件； • 序列频谱（幅度谱，相位谱，时域离散、 频域连续，2π周期）； • 序列傅立叶变换的性质； • 周期序列的离散傅立叶变换； • 模拟信号FT与序列FT的关系； • 离散时间系统的频响特性。
本章作业：P71 T1 （7、8） T5 T12 T13 T27 *T30 。