第四章 直线、平面的相对位置,第一节 空间几何元素间的相对位置关系,一、相交关系 二、平行关系 三、垂直关系 四、交叉关系 五、从属关系,2,⒈ 直线与平面平行,,,,,,D,B,C,A,P,若：AB∥CD 则：AB∥P,若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行这是解决直线与平面平行作图问题的依据几何条件：,有关线、面平行的作图问题有： 判别已知线面是否平行； 作直线与已知平面平行； 包含已知直线作平面与另一已知直线平行第二节 直线、平面的平行关系,直线与特殊位置平面平行,当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必定平行⒉ 两平面平行,,若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行这是两平面平行的作图依据 判别两已知平面是否相互平行； 过一点作一平面与已知平面平行； 已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影几何条件：,两平面平行的作图问题有：,两平面平行,① 若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,AB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ； 则：P∥Q,,,② 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。
两特殊位置平面平行,两特殊位置平面平行,两一般位置平面平行,直线与平面相交,两平面相交,第三节 直线、平面的相交关系,,,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点1. 直线与平面相交,要讨论的问题：,(1) 求直线与平面的交点2) 判别两者之间的相互遮 挡关系，即判别可见性我们将分别讨论一般位置的直线与平面或至少有一个处于特殊位置的情况●,,,,●,,,2. 两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点要讨论的问题：,① 求两平面的交线,方法：,⑴ 确定两平面的两个共有点⑵ 确定一个共有点及交线的方向② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性1） 特殊位置线面相交,直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交,,直线与特殊位置平面相交,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出2. 判断直线的可见性,,特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性k,m(n),,b,,,,●,,,,,,,,,,,m,n,c,b,a,a,c,,,⑵ 直线为特殊位置,空间及投影分析:,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。
① 求交点,② 判别可见性,点Ⅰ位于平面上，在前，点Ⅱ位于MN上，在后，故k1为不可见●,X,（2）一般位置平面与特殊位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出 1.求交线 2.判断平面的可见性,求交线,,,,（3）直线与一般位置平面相交,以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图 以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图 判别可见性 示意图,,,过EF作正垂面Q,E,以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图,,Ⅰ,Ⅱ,1,2,,,QV,,步骤： 1．过EF作正垂平面Q2．求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K示意图,以正垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点,,过EF作铅垂面P,以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图,F,,,Ⅰ,Ⅱ,2,,PH,,步骤： 1．过EF作铅垂平面P2．求P平面与ΔABC的交线ⅠⅡ3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K示意图,以铅垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点,1,,,f,e,e,直线EF与平面 ABC相交，判别可见性利用重影点判别可见性,,,1,2,4,3,（ ）,示意图,( ),3,（4） 两一般位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。
两一般位置平面相交求交线 判别可见性,两一般位置平面相交求交线的方法 示意图,利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线直线与平面垂直,两平面互相垂直,第四节 直线、平面的垂直关系,一、 直线与平面垂直,几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面 的一切直线定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属 于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影定理2：若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线 的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所 有平面都垂直于该平面二、 两平面垂直,反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面两平面垂直,两平面不垂直,求解综合问题主要包括：,平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决综合问题解题的一般步骤： 1. 分析题意 2. 明确所求结果，找出解题方法 3. 拟定解题步骤,空间几何元素的定位问题（交点、交线）,空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。
第五节 点、线、面综合问题的解法,。