本科高等数学作业卷及答案

本科高等数学作业卷本科高等数学作业卷(一一) 一、填空题一、填空题 1. 设13 ( )21xff xxx,则 f(x) = 31,(1)44(1)xxxx2. 设2,0( ),0x xf xxxx，则 f[f(x)] = 234,022,0xxxxxxx 23. lim1000.5 xxxx  4. 设2lim8xxxa xa，则a = ln2 5 判断极限eelimeexxxxx 是否存在. 不存在 . 6.极坐标方程1 2sin3cosr所对应的直角坐标方程为 2y-3x = 1 7.平面区域22,14Dx yxy用极坐标形式可表示为D=( , )12,02rr 二、选择题二、选择题 1. 下列命题中正确的一个是( D D ) (A) 若00lim( )lim( )0 xxxxf xg x  ,当00xx时，有( )( )f xg x； (B) 若0,当00xx时有( )( )f xg x且0lim( ), xxf x 0lim( ) xxg x 都存在, 则00lim( )lim( ) xxxxf xg x  (C)若0,当00xx时恒有( )( )f xg x，则 00lim( )lim( ) xxxxf xg x ; (D)若00lim( )lim( )0 xxxxf xg x  ,当00xx时有( )( )f xg x. 2. 当x → 1 时,函数12 11e 1xx x 的极限为 ( D D ) (A) 等于 2 (B) 等于 0 (C) 为 ∞ (D) 不存在但不为 ∞ 3. 已知2 lim01xxaxbx,其中a,b是常数,则 ( C C ) (A) a =1,b =1 (B) a =-1,b =1 (C) a =1,b =-1 (D) a =-1,b =-1 4．数列{xn}收敛于实数a等价于: 对任给0， ( D D ) (A)在(,)aa内有数列的无穷多项 (B在(,)aa内有数列的有穷多项 (C)在(,)aa外有数列的无穷多项 (D)在(,)aa外有数列的有穷多项 5.曲线的极坐标方程1 1 2cosr,则曲线的图形是 ( D D ) (A) 圆 (B) 椭圆 (C) 抛物线 (D) 双曲线 第 1 页，共 61 页三、计算、证明题三、计算、证明题 1. 判别下列函数的奇、偶性:2311(1)( )ln1 ;(2) ( )12xf xxxg xxa解 2221(1)()ln1lnln1( ) 1fxxxxxf x xx     ,故f(x)为奇 33311111(2)()( )121212xxxxagxxxxg xaaa  ,故g(x)为偶函数 2. 设211( )( ),(,)22fxf xfxx  ,判别f (x) 是否为周期函数？若是,求其周期. 解 21111(,)( )( )( )2222xfxf xfxf x   有 211111(1)22222f xfxfxfx2 22211111( )( )( )( )( )( )22224f xfxf xfxf xfx11( )( )22f xf x故f (x)是周期为1的周期函数 3. 设 114 114xyx,求 y 的反函数. 解 由114 114xyx得2211141(1)yyxyy ,故的反函数为2,1(1)xyxx  4. 已知3214lim1xxaxxbx,求a和b 解 3214lim1xxaxxbx,而 1lim(1)0 xx ,必有321lim(444)0 xxaxxaa  32211144(1)(4)limlim10lim(1)(4)11xxxxxxxxxxxxb 5. 求极限 22201(1)limsin;(2)lim12 xnxnnx  解 220011(1)sin1,lim0limsi0n xxxxxx有界 22223(2)lim12i 120l m nnnn nn   6. 设2sin ,0( ),0x xf xaxx,问a为何值时 0lim( ) xf x 存在？极限值为多少？ 解 20 00 00 00 0lim( )lim sin0, lim( )lim xxxxf xxf xaxa     ，故当a=0时 0lim( ) xf x 存在 此时 0lim( )0 xf x  第 2 页，共 61 页本科高等数学作业卷本科高等数学作业卷(二二) 一、填空题一、填空题 1. 设f(x)在x=2连续且 2( )3lim2xf x x 存在,则f(2) = 3 . 2.设2e ,0 ( ),0 ln(12 ),0xxx f xbx xaxx  ,当a = –2 ,b = 0 时f(x)在(-∞,+ ∞)连续. 3.设0 0.lim2nnnnnaxxaxxx，其中证明存在,并求其极限. 证 11 2nn naxxax，数列 nx有下界a ,2111 22n nnn nnxaxxxxx所以 nx单调不增,故 nx存在极限.令limnnxl ，则1 2lllaa l 3. 已知ln(e)( )lim,(0)nnnxf xxn,(1) 求f(x) ； (2) 函数f(x)在定义域内是否连续？ lneln 1/e/e(1)e( )lim1lim1nnnnnxxxf xnn 解当时 lnln 1e/e/e,( )limlnlimlnnnnnnxxxxf xxxnn当时 ln2e(e)lim1 nnxfn当时 1,e( )ln ,exf xx x e 0e 0(2)lim( )lim( )(e)( )e xxf xf xff xx   由知在连续 e( )1e( )( )l(0,)n.xf xxf xxf x当时连续;当时连续在故内连续 4. 证明方程21xx 至少有一个小于1的正根. ( )21( )[0,1](0)10,(1)10xf xxf xff   解设，则在内连续且 根据根的存在定理知方程21xx 至少有一个小于1的根 第 4 页，共 61 页本科高等数学作业卷本科高等数学作业卷(三三) 一、填空题一、填空题 1.设22 ,0( )ln(1),0xx xf xax x在x =0可导,则 a = 2 . 2.( )(1)(2)()(0).!f xx xxxnfn设，则 1tan1tan2 21111sec13.esin,sincosexxyxxxyxx 设则 2232ln(1)d4.( ).d(65)(1)xttyyy xxytttt t 设函数由参数方程所确定，则 44( )125.sincossin 22.nnxynxxy设，则 二、选择题二、选择题 00 000000(2 )()1.( )lim()2 (A)()(B)()(C)()(D)2()hf xhf xf xxh fxAfxfxfx设在 处可导，则2|1|,12.( )1( )()1 2,1(A)(B)(C)(D)xxf xxfAxx x 设，在处为不连续连续,不可导可导,但导数不连续可导,且导数连续3.( )() ( )( )() (A)( )( )(B)( )( )(C)( )( )( )(D)( )( )f xxaxxxa fxxfaafxaB xfaa  已知函数,其中在处连续,则04.1 ln 1( ),d |()(A)2d(B)d(C)2d(D)dxDxyyf xyyxxxx  设隐含则25.( )()10.10.1,(1)() (A)1(B) 0.1(C)1(D) 0.5(E) 0.6f uyf xxxxyfD   设函数可导,当自变量 在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为则 －三、计算、证明题三、计算、证明题 2321 2221. ln(1)2 e ln(2)(3)ln ()ln(4)e(5)ln()(6)(1)xxxxxyxxyyxxxyxyxaxyxx求下列函数的导数：2e (l(11)nln)xxyxx解 222211(1)(ln )(1)(lln ) (2n ()(ln )ln )xxxxxxx xxxyx  32332(3)'ln ()[(2ln ) ]'824lnlnxyxxxx1 (2(14))exyx 第 5 页，共 61 页221(5) ay x 23 2(1)1(6)2ln(1)1xyxxxxx 两边取对数再求导得 1cos,02.( ):(1)0(2)( ).sin 0,0xxf xxfxxx x 讨论函数在处的连续性和可导性；求 200001sin21cossin cos2(1) lim( )limlimlimsinsinxxxxxxxxxxf xxxxxx解 0001 cos22sin2limlimlimsin20(0)( )022xxxxxxff xxx在处连续 2300001sin2( )(0)11cossin cos2(0)limlimlimlim0sinsinxxxxxxf xfxxxxfxxxxxxx20001 cos22sin22sin22limlimlim36323xxxxxx xxx ( )0f xx在处可导 22cossincos,0sin( )2,2 0)3(xxxxxxxfx x 22dd3.,(0,0)( ).ddyxyyyxxyyf xxx方程,确定函数,求， 11dln1 dln111,lnln ,lnln ,,d(ln1)ln1dyxyxyx yyxxxxy yyxxyx xy解等式两边对 求导得即23222211 d(ln1)(ln1)dd d(ln(ln1)(ln1) (ln11))yyxx xyyyxyxyx yxy  所以＝ 234.21(1, 1)。