书书书附??录西北工业大学高等代数课程考试真题及解答?卷???一? 填空? 共? ?分? 每小题?分?? ???时? 多项式????????? ?与????????????有公共根?? ?对称多项式????????????????????????????????可用初等对称多项式的多项式表为?????????????? ???时? 齐次线性方程组? ????????????????????? ????????????????????? ????????????????????? ???????有非零解?? ?设?是?阶方阵? 且?????? 则??????? ??????? ???时? 二次型?????????????????????????????? ????的秩为??二? ?? ?分?计算?阶行列式???????????????????????????????????????????? ????三? ?? ?分??取何值时? 线性方程组???????? ????????? ????????????????????????有唯一解? 无解? 无穷多解?在有无穷多解时? 求通解? 用向量形式表示??四? ?? ?分?设矩阵?的伴随矩阵????????? ?????????? ???????? 且? ? ?? ??? ?? ????? 试求矩阵??五? ?? ?分?已知二次型????????????????????????????????????????????????为何值时??是正定的????取???? 试用可逆线性变换化二次型为标准形? 并写出所用的线性变换?六? ? 共? ?分? 每小题?分????多项式?????????????? ????在有理数域上是否可约?为什么? ???若实对称矩阵?与?????? ?? ????????合同? 求二次型??? ?的规范型?七? ? 共? ?分? 每小题?分????设????和????是数域?上的一元多项式? 且????? ????? ???? 证明????? ?????????? ??????已知??是非齐次线性方程组? ???的解向量? 而????????????是对应齐次线性方程组的基础解系? 证明????????????????线性无关????设???????都是?阶方阵? 且???????????? 证明? ?? ???? ??????卷???参考解答一?? ????或?????? ??????????????? ?????或?????? ????????? ???? ?????槡? ?二???? ? ?升阶????????????????????????????????????????? ???? ? ? ? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????????????三??????????????? ???????? ???????? 当????且???时? 方程组有唯一解???? 当????时? 增广矩阵???????????????????????????????? ????? ??? ? ??????????????????????????? ??? ? ?????? ??????????????????????????????? 方程组无解???? 当???时? 增广矩阵?????????????? ???? ????????????????????? ? ?????????? ????????????????????????????? ??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ????????? ? ? ??????????????? 方程组有无穷多解? 此时同解方程组为???????????????? 通解为??? ??????????????????即?????????????????????????????????任意??????名师考案丛书 四? 可求得??????? ??由? ???????得??? ?????????? 即???????????? ?? 于是???????用???左乘? ? ????? ??????得? ???????? ????????? 再右乘?得?????????? 即???????????? 从而?????????????????????????????????? ???????????? ??????? ??????????????????????? ? ???? ???? ???????? ?五? ???二次型的矩阵为?????????????????? 选取?使得????????????????????????????????????????????故当???时? 二次型?正定????????????????????????????????????????? ?????????? ?????????? ?????????????????? ?????令????????????????????????即????????????????????????? 得???????????再令??????????????????????????? 得标准形为???????????????所用的可逆线性变换为????????????????????????????六? ??? 不可约?取素数???? 则?? ?? 但??????? ? ???? ?? 而??? ?? 由艾森斯坦判别法知???? 在有理数域上不可约???? 由于????? ????????????????????????????????????????????????????所以?的秩为?且正惯性指数为??因为?与?合同? 所以?的秩也为?? 且正惯性指数为?? 故??? ?的规范形为????????????七? ??? 因为????? ????? ???? 所以存在多项式???? 和???? ? 使得???????????????????于是? 有?????????? ?????????? ?????????? ???故????? ?????????? ?????? 法??反证?若????????????线性相关? 则??可由?????????线性表出? 从而有?????? 这与??是? ???的解向量矛盾? 故????????????线性无关?法??设?????????????????????? 左乘矩阵?得? ???????????????????????即? ????由???得???? 从而有??????????????????但?????????线性无关? 故只有???????????? 于是????????????线性无关??附录??????? ??? 因为??? ???????? ???? ????? ???? ?????? 取行列式得? ?? ????? ???? ???????? ????? ?????? ??? ???? ????? ??? ???卷???一? 填空? 共? ?分? 每小题?分?? ?向量空间??的子空间??? ?????????????????????????????? 的维数为? 它的一个基为?? ?已知?阶方阵?的特征值为??????? 则矩阵????????的特征值为? 行列式?????? ?设矩阵???? ? ?????????? ?与???? ? ??? ????????相似? 则??????? ?如果矩阵?的全部初等因子为?????????????????? 则?的不变因子为?? ?设由?维线性空间?的基??????????到基??????????的过渡矩阵为?? 则由相应的对偶基??????????到对偶基??????????的过渡矩阵为?二? ?? ?分? 已知????的变换?????? ? ??????????????????????????? ???? ???? 证明?是线性变换???? 求?在????的基?? ??? ???? ???? ??? ???? ???? ??? ???? ???? ??? ???? ?下的矩阵???? 问?是否可在????的某个基下的矩阵为对角阵? 若可以? 试求出这个基和相应的对角矩阵?三? ?? ?分? 已知??的线性变换??????????????????????????????? 求?的值域????? 的维数和一个基???? 求?的核?????? 的维数和一个基?四? ?? ?分? 求矩阵????????? ?? ???? ??????? ?的不变因子? 初等因子及? ? ? ? ? ?标准形?五? ?? ?分? 求一正交变换? 将二次型?????????????????????????????????????????化为标准形?六? ?? ?分? 已知??的基??????????? ???????????? ??????????? ? 求对偶基?????????七? ? 共? ?分? 每小题?分???? 设?是数域?上所有?阶方阵的集合??对于通常的矩阵加法和如下定义的数量乘法????????????????是否构成线性空间? 为什么???? 若?是正交矩阵?的特征值? 证明??也是?的特征值???? 试证线性空间?上双线性函数?????? 为反对称函数的充分必要条件是? 对任意???都有??????? ? ??卷??? 参考解答一?? ? ? ? ??????? 一个基为??????????? ???? ????????????? ???? ??????????? ???????? ??????名师考案丛书 ? ??的特征值为???????????????? ??????????? ??的不变因子为????????????????????????? ?过渡矩阵为???????二? ??? 对任意????????和任意?????? 有??? ??? ?????? ??? ????? ? ? ??? ? ? ?????????????所以?是线性变换???? 可求得???? ??????????????? ????????? ?????? ??????????????? ????? ??????所以?在基?? ???? ???? ???? ?下的矩阵为????????????????????????????? 可求得?? ???????????? ????? ? 所以?的特征值为??????????????????? 对应的特征向量分别为??????????????????????????????????????????????????????从而所求的基???????????满足????????????????? ???? ???? ???? ??? ????? ?????? ????????? ???即???? ???? ??????? ???? ???????????????????????????且?在该基下的矩阵为? ? ? ???????????三? ??? 取??的基?????????? ??????????? ??????????? ? 则????????????? ?????? ?????? ??可求得向量组????????????? ??????????????? ?????????????????的秩为?? 且????? ?????? 是一个极大线性无关组? 故? ? ????????? 且它的一个基为????????????? ?????????????????? 设??????????????????? ? 即???????????????????????????????????????????????求解齐次方程组????????????????????????????????得通解???????????????????任意? ? 从而??????????? ? 可见? ? ?????????? 且???????? 是它的一个基?四? 可求得? ??????????????? ??? ???? ??????????? ?? ??? ??? ????????????所以?的不变因子为??????????????附录??????? 初等因子为???????? ? ? ? ? ?标准形为??? ??? ??? ??????????????五? 二次型的矩阵为??? ? ?? ? ?????? ? ??可求得?? ???? ???? ?????? ?? ? 所以?的特征值为??????? ????? ? ?又对应????????的特征向量为??????????????????????????正交化得????????????????????????????????????????????????????再单位化??????槡???槡??????????????槡????槡???槡???而对应????的特征向量为???????????? 单位化得?????槡???槡???槡????故正交变换?????????????槡???槡??槡??槡???槡??槡???槡??槡???????????????化二次型为????????????????六? 设?????????????????????????? ? 其中????????? ? 则由??????????????????????????????????????????????解得????????????????? 即??????而由??????????????????????????????????????????????解得????????????????? 即????最后? 由??????????????????????????????????????????????解得????????????????? 即????????七? ??? 不构成?因为???????????????????????? 设?是?的对应特征值?的特征向量? 即? ??? ?? 两边左乘??得??? ??? ???? 即??? ???? 也即???????? 可见??是??的特征值?由于?与??有相同的特征值? 所以??是?的特征值???? 若?是反对称的? 即对任意?????有???????????????取???得?????????????? ? 即有?????????反之? 若对任意???有????????? 则??????????????????????????????????????????????????????故?????????????? ? 即?是反对称双线性函数??卷???一? 填空? 共? ?分? 每小题?分?? ?当???满足时????? ??? ????? ?????????????名师考案丛书 ? ?已知????????是方程???? ?????的根? 则?阶行列式????????????????????? ?设?阶方阵?????????????? ??????????????? ? 其中????????????均为?维列向量? 已知行列式???????????? 则???????? ?已知方阵?满足?????????????? 则??????????? ?四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为?? 已知????????是它的三个解向量? 且???????????????????????????????则该方程组的通解为?? ??满足时? 二次型??????????????????????? ??????????是负定的?二? ?? ?分? 已知对称多项式???????????????????????????????????????????????????????????????????? 将??????????? 表示为初等对称多项式的多项式???? 若????????是方程??????????的三个根? 试求??????????? 的值?三? ?? ?分? 计算???阶行列式??????????????????????????????????????????????????????????????????四? ?? ?分? 已知向量组???????????????????????????????????????????????????? 问?取何值时??可由????????线性表出? 并写出表达式?五? ?? ?分? 设?????均为?阶方阵? 且?和?是可逆的? 证明矩阵????????? ?可逆? 并求????六? ?? ?分? 化二次型??????????????????????????为标准形? 并写出所用的可逆线性变换?七? ? 共? ?分? 每小题?分???? 设?是一个素数? 多项式?????????????????????证明????? 在有理数域上不可约???? 设?是???矩阵??是???矩阵??是?阶单位矩阵? 且????已知? ???? 试判断矩阵?的列向量组是否线性相关? 为什么???? 已知?是实反对称矩阵? 试证????为正定矩阵? 其中?是单位矩阵??卷??? 参考解答一?? ??????????? ?行列式的值为???? ? ??????? ???? ???????????????????? ????????????????????????????任意? ??? ????????二? ????的首项为???? 其方幂对应的有序数组为??????? ? 令????????????????????? 则????????????????????????????????????????????????????????????????????????又??的首项为???????? 其方幂对应的有序数组为??????? ? 令?????????????????????????? 则??????????????????????? ????????????????????????????故????????????????????????????????? 可求得??????????????? 所以???????????????? ???附录??????? ??三? 该行列式具有行和相等的特点??????????????????????? ? ? ? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? ? ? ? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????四? 设????????????????? 比较分量得?????????????????????????????????????????对方程组的增广矩阵进行初等行变换? 得?????????????????????????????????????????????? ??? ? ? ???? ? ???? ??? ? ?????????????????????????????? ? ????? ??? ? ? ? ? ??? ?? ?? ???? ?? ???? ????? ????? ?? ??? ????????????可见? 当???或????时??????????????? 方程组有无穷多解? 故?可由????????线性表出?当???时? 同解方程组为?????????????? 通解为???????????????????为任意常数? ? 此时??????????? ???? ?????为任意常数?当????时? 同解方程组为???????????????? 通解为?????????????????????为任意常数? ? 此时??????????????????? ?????为任意常数?五? 因为????????????????????? ?????????? ???? ??取行列式得????? ?? ????? ?????所以矩阵?可逆?又对式?两边求逆得???????????????? ????????????????????? ???? ???即???????????????????????????????????????? ??????????????? ?????????????名师考案丛书 六? 令?????????????????????????????得????????? ??????????????????????????????????????????????????????????再令????????????????????????即????????????????????????得标准形?????????????所用的可逆线性变换为??????????????????????????????七? ??? 因为????????????? 令?????得?????????????????????????????取素数?? 则?? ?????????? ?????? ? 但?? ????? ???? 从而由艾森斯坦判别法知??????? 在有理数域上不可约? 从而???? 在有理数域上不可约?????的列向量组线性无关?法??设?????????????? ? 又设??????????????????? 即??????????????????????????或???????????????用?左乘上式并利用? ???得???????????????? 即????????????? 故?的列向量组线性无关?法??由于?????????? ?????????? 所以??????? 故?的列向量组线性无关???? 因为??????????????????????????????????????所以????是对称矩阵?又对任意???? 有??????????????????????????? ????? ????故????是正定矩阵??卷???一? 填空? 共? ?分? 每小题?分?? ?已知数域?上线性空间?中线性无关的元素组???????????? 令??????????????????????????????????????则子空间???????????????????????????? 的维数是? 它的一个基为?? ?已知??????????是矩阵??????????????????的一个特征向量? 则?????? 特征向量?对应的特征值????? ?矩阵?????? ????????????? ?的? ? ? ? ? ?标准形为???? ?已知?是?维线性空间?的线性变换??在?的基????????下的矩阵为?附录??????? ?? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??????? ?则?在?的基?????????????????????下的矩阵为?? ?以??上的三个线性函数??????????????????????????????????????????为对偶基的??的基为????????????二? ?? ?分? 已知?维线性空间?的一个基????????? 设???????????????????????????????????? 证明????????也是?的一个基???? 求由基????????到基????????的过渡矩阵???? 求向量????????????在基????????下的坐标?三? ?? ?分? 已知?????的线性变换????????????????????????????????????????????????????选择?????的一个基? 使?在该基下的矩阵是对角矩阵?四? ?? ?分? 已知二次型??????????????????????? ???????????? ??????????经正交变换化为标准形????????????????? 试求参数???及所用的正交变换?五? ?? ?分? 设????是?阶实方阵构成的欧氏空间? 其内积为?????????????????? ??? ????????? ??????????? ??????????又设???? ???? ?????? ???? ?? 求由?????生成的子空间?????????? 的正交补空间??的一个标准正交基?六? ?? ?分? 已知??的双线性函数????????????????????????????????????????? ????????????? ???????????????????? 问?????? 是对称的还是反对称的? 为什么???? 求??的一组基? 使?????? 在该基下为规范形式?七? ? 共? ?分? 每小题?分???? 设?是????阶正交矩阵? 且?????? 证明?是?的一个特征值???? 若???均是线性空间?的线性变换? 且? ??? ?? 试证?的核?????? 是?的不变子空间???? 设?是欧氏空间?的线性变换? 若对任意???有????? ????? ??????? ? 证明?是正交变换??卷??? 参考解答一?? ? ? ? ?????一个基为??????????? ????????????????? ???? ? ?? ? ?????? ? ???? ??? ??? ???? ???? ??? ??? ???? ???? ????? ?????? ?????? ???? ???????? ???? ???? ???????? ??? ???????????? ???????????? ?????????????二? ??? 设????????????????? 整理得?????????????????????????????????????????名师考案丛书 由于????????是基? 于是有?????????????????????????????该方程组只有零解??????????? 故????????线性无关? 从而是?的一组基???? 由于??????????????????????? 其中???? ??????????????于是????????????????????????? 故由基????????到????????的过渡矩阵为???????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????即?在基????????下的坐标为?????????三??在?????的基??????下的矩阵为????????? ????????? ?可求得?? ???? ???????????? ? 即?的特征值为????????????? ?又求得对应的特征向量分别为????????????????????????????????????所求的基????? ?????? ?????? 应满足?????? ?????? ?????? ???????????? ?????????????即??????????????????????????????????在该基下的矩阵为? ? ? ??????????四? 二次型的矩阵?????????????????????正交相似于??? ? ?? ? ?????? ? ?? 比较?? ??????? ????的同次幂系数可解得????????可求得?对应????的特征向量为???????????? 单位化得????槡???槡???槡????? 对应???????的特征向量为?????????????????????????? 正交化得????????????????????????????????????????????????????单位化得?????槡???槡??????????????槡????槡???槡??????附录??????? 故所用的正交变换为????????????槡???槡???槡??槡??槡???槡??槡???槡???????????????五? 设???????????????? 则由?????????????? ??????????????????????解得基础解系????????????????????????故?????????????????????是??的一个基?将其正交化???????????????????????????????????????????????????再单位化即得??的标准正交基????槡???槡??槡?????????????槡? ???槡? ???槡? ??槡????? ?六? ??? 取??的基?????????? ??????????? ??????????? ? 可求得?在该基下的度量矩阵为??????????????????这是反对称矩阵? 从而?是反对称双线性函数???? 可求得???????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????? ? ? ? ? ?????????????????????????????????????于是??? ???? ??? ? ??????? ?? 其中??????????????????????所求的基????????满足??????????????????????? 即???????????????????????? ????????????????且对于任意??????? 若???在基????????下的坐标分别为???????????和???????????? 则?在该基下的规范形式为???????????????????????名师考案丛书 ??七? ??? 因为???????????????????? ???????????? ??????????????????????????????所以???????? 即?是?的一个特征值???? 对任意???????? 有??????? 而??????? ???? ?? ?????? ?? ?????????? ????????从而??????????? ? 故?????? 是?的不变子空间???? 因为对任意?????? 有???????? ??????? ????????????又有??????? ??????? ???????????? ?????????? ??????? ????? ?? ?????? ????? ??????? ????? ?????????????? ????? ???????????????????????????????????代入式?得????? ????? ???????故?是正交变换??卷???一? 计算题? 共? ?分? 每小题?分?? ?设?为?阶方阵? 如果?的行列式?????? 求???????????????? ?设二阶方阵??? ???? ????? ???? ?? 且? ? ????? ?? 求??? ?设方阵?满足??????????? 求?????????? ?三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为?? 已知????????是它的三个解向量? 且????????????????????????????????????????????????求该方程组的通解?? ?已 知 向 量 组??????????????线 性 无 关? 向 量 组???????????????????????????????????????? 求向量组???????????的秩及一个极大无关组?? ?已知????????是欧氏空间?的一个标准正交基????是?中的两个向量? 其中???????????????????? 求?与?的内积??????? ?已知?是线性空间?的线性变换? 若?在?的一个基????????下的矩阵为????? ?????? 求?在基???????????下的矩阵?? ?已知矩阵??????? 求?????二? ??分? 计算?阶行列式?????????????????????????????????????三? ?? ?分??取何值时? 线性方程组?? ??????????????????????????????????????????????????????????有唯一解? 无解? 有无穷多解? 在有无穷多解时求通解? 用向量形式表示??四? ?? ?分? 设?????是线性空间????的两个子空间???????????? ???????????? ? 其中??附录??????? ???? ???? ??????? ???? ??????? ???? ??????? ???? ????? 求?????的一个基与维数???? 求?????的一个基与维数?五? ?? ?分??是线性空间??的线性变换??????????????????????????? ?????????? 问?为何值时?是可逆变换???? 在?不是可逆变换时? 求?的核? ? ? ?与值域???? 的维数和基?六? ??分? 证明线性空间?????可以分解为?????中偶函数集合构成的子空间与奇函数集合构成子空间的直和?七? ??分? 已知线性空间??的两个基??? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????? ???? ????????????? ????????????? ????????????? ????????????????? 求由基??? 到基??? 的过渡矩阵???? 求向量??????????????在基??? 下的坐标?八? ??分? 已知?与?分别为???与???的矩阵???? ???? ?? 求证???????????????卷??? 参考解答一?? ?因为??????????? ?????????????????? 所以????????????????? 故???????????????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????? ?由? ? ????? ?得?????? ????因为?????????????? 所以???????????????????? ????? ???? ?? ?????? ????? ? ??????????? ??????? ?设?????? ???? ???? ?? 展开得???????????????????? 从而??????????????解得?????????? ??故?????????????? ?? ?非齐次方程组的特解为?????????????????????????因为??????????????????????????????????????????????????????????是对应齐次方程组的线性无关解向量? 且基础解系含?? ??????个解向量? 故?????是对应齐次方程组的基础解系? 从而方程组的通解为?????????????????????????????????????????????任意?? ?因为???????????????????????????????? 其中??????????????? ????????????????????????????? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?可见????? ?? 且?的第?????列构成列向量组的极大无关组?故????????是一个极大无关组?该向量组的秩为? ???????名师考案丛书 ? ?因为???在基????????下的坐标分别为?????????? ????????? 故???????????????????????? ?因为????????????????????????? ? ?? ? ?????? ? ?????????????????????????? 所以??????????????????????????? ? ?? ? ?????? ? ?????????????? ? ?? ? ?????? ? ???????????????? ? ?? ? ?????? ? ????? ? ?? ? ?????? ? ????????????????? ??? ??? ???? ??? ???? ??? ???? ??? ???? ???? ???? ??? ??? ??? ???????? ?故?在基???????????下的矩阵为?? ??? ??? ???? ??? ???? ??? ???? ??? ???? ???? ???? ??? ??? ??? ???????? ?? ?设?????????????? ? 代入? ? ???得?????????????????????? 解得????? 故?????? ????????任意?二??????? ????? ?????? ?? ? ? ??????????????????????????????????????????????????????????? ? ? ? ? ??? ???????? ???????????? ????????? ??????????????????????????????三????????????????????????????????? ? ? ???????????????????????????????????? 当????且???时? 方程组有唯一解???? 当????时??????????????????????????? ??? ??? ?? ??????????? ??????????????? 方程组有无穷多解?同解方程组为????????????? 通解为?????????????????????????????????????????为任意常数???? 当???时????????????????????????????? ????? ????????????? ? ? ??????????? ??? ???????????????????? ????? ??? ? ? ?????????????????????????? ???附录??????? ?????????????? 方程组无解?四? ????????????????????????取????的基?? ??? ???? ???? ??? ???? ???? ??? ???? ???? ??? ???? ?则???????????在该基下的坐标分别为??????????????????????????????????????????????将其按列排成矩阵?且可求得????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???故???????????是?????的基? 且? ? ?????????????? 可求得? ? ????? ? ??????利用维数公式得? ? ?????????? ? ????? ? ????? ? ????????????????故?????无基?五? ??? 取??的基?????????? ??????????? ??????????? ? 可求得??????????????????????? ? ?? ? ????????????????????由于????? ? ?? ? ?????????所以当????时??可逆???? 当????时??不可逆?此时??????????????? ???????????? ? ???????? ????????????????????? ? ? ? ??? ??? ???????? ??从而????????????? ??????????????? 是???? 的基? 且? ? ????????求解? ???得基础解系?????????? 故?????????????????? 是? ? ? ?的基? 且? ? ? ? ? ? ????六? 设?????分别为?????中偶函数与奇函数集合构成的子空间?因为? 对???????????有????????????????????????????????????????且?????????????????????????????????????????? 所以????????????又对???????????? 有???????且???????? 即?????????? ??????? ????? ? 从 而????????????????? ? 即???????这表明??????????故????????????七? ??? 取??的基???????????? ????????????? ????????????? ????????????? ? 则有???????????????????????????????????????????????????????????其中??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ??????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?于是?????????????????????????????????????名师考案丛书 故由基??? 到基??? 的过渡矩阵为???????????????????????????????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ????? ????? ? ???? ???????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????故?在基??? 下的坐标为?? ???????????八? 设???????????????? 则存在可逆矩阵???????????使得??? ????????????????? ???????????从而????????? ???? ?????????????????????????????????????故?? ???? ??????????????????卷???一? 计算题? 共? ?分? 每小题?分?? ?已知三阶方阵?的特征值为??????? 求???????????? ?已知方阵????????????????与对角矩阵相似? 求??? ?已知方阵??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ???????? ? ? ??? 求?的? ? ? ? ? ?标准形与最小多项式?? ??取何值时? 二次型?????????????????? ????????????????是正定的?? ?已知置换??? ? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ? ? ???? ? ? ? ?? 求??????? ?已知????????是酉空间?的一个标准正交基????是?中的两个向量? 其 中?????????????????? ???? 求?与?的内积??????? ????满足什么条件时? 多项式????? ???有重因式?二? ?? ?分? 设????????是方程?????????????的三个根? 计算??????? ??????? ???????三? ?? ?分? 设????????是欧氏空间?的一个标准正交基??是?的线性变换? 已知????????????????????????????????????????????????????? 证明?是一个对称变换???附录??????? ??? 求?的一个标准正交基? 使?在这个基下的矩阵是对角矩阵?四? ?? ?分? 设二次型??????? ?????????? ????????????????经正交变换??? ?化为标准形?????????????? 求???的值及正交矩阵????? 指出二次曲面???的类型?五? ?? ?分? 已知??上的双线性函数???????????????????????????????????????????????????????? ??????????????????? 证明?????? 是反对称双线性函数???? 求??的一个基? 使?????? 在该基下的表达式为规范形?六? ??分? 设??????????? 其中?????都是方阵? 证明?的最小多项式????? 是??的最小多项式?????? 和??的最小多项式?????? 的首项系数为?的最小公倍式?七? ??分? 设?阶方阵?和?满足? ??????? 证明?????不是?的特征值???? 若?相似于对角矩阵? 则存在可逆矩阵?? 使得???? ?与???? ?都是对角矩阵?八? ??分? 已知?为?阶方阵? 证明???????????????卷??? 参考解答一?? ?设????????????? 则?????????????? 且???? 的特征值为??????????????????????????故??????????????????????????? ?? ?可求得?? ??????????????????????????? ????? ?????所以?的特征值为?????????????当?相似于对角阵时? 对应二重特征值?应有两个线性无关的特征向量? 即?????????? 而????????????????????? ????? ??? ?????????? ??故????时??可对角化?? ??是分块对角矩阵????????? 其中???? ???? ?????? ??? ???????? ???由于?? ??????????????槡?? ???槡?? ? 所以??的特征值为槡???槡?? 故??的? ? ? ? ? ?标准形为???槡????槡?????而?? ????????????? 即??的特征值为?? 三重? ? 且由????????? ???? ????????? ?? ?? ? ?? ? ?????? ? ?知对应特征值?只有一个线性无关的特征向量?所以??的? ? ? ? ? ?标准形为???? ?? ?????????????名师考案丛书 故?的? ? ? ? ? ?标准形是槡??槡?? ?? ??????而?的最小多项式为???????????? ??????? ?二次型的矩阵??????????????? ??? 由它的顺序主子式?????????????????????????????????????? ???????联立解得??????? 此时二次型?是正定的?? ???????? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ??????????? ??????????? ?????????????????? ??????? ?????????? ????? ?????????????????? ?????? ? ???? ????? ?? ?设?????????? ???? 则? ????????????????? ???? ? ????? ?????? ? ????? ?????? ???????????????? ? ? ???? ?? ? ????? ?????? ? ????? ?????? ???????? ????? ?? ? ? ??? ?? ?????? ?????? ???????? ???????? ??????? ??????????????????? ??? ???????故当? ????????时? 多项式有重因式?二? 对称多项式??????????????????? ??????? ??????? 的首项指数组为??????? ? 不先于首项的指数组为????????故设???????? ??取??????????得??????????????????? 代入上式得???????? 即????? 于是?????????由韦达定理知???????????????????故??????? ??????? ??????????????????????????????? ??三? ??? 由题设条件知???????????????????????? 其中??????????????????因为?在标准正交基????????下的矩阵?是对称矩阵? 所以?是对称变换?????? ?????????????????????????????????? ? ? ??????? ?????????????? ????? ?? ? ? ????????????????????附录??????? ?????? ??????的特征值为???????????????? 可求得对应的特征向量分别为?????????????????????????????????????????单位化得正交矩阵???槡??槡???槡??槡???槡???槡??槡??槡?????? 使得???? ????? ???????????由??????????????????????得?的标准正交基????槡?????槡?????槡?????????槡?????槡?????槡??????????槡?????槡????在该基下的矩阵是? ? ? ??????????四? ??? 二次型的矩阵?????? ??????? ? ?? 正交? 相似于?????????? 即?的特征值为???????????????利用?? ???? ???? ??????????????????????和????????????????????解得????????于是??? ? ?? ? ?????? ? ?可求得?对应特征值??????????????的特征向量分别为???????????????????????????????????????单位化得正交矩阵????槡??槡??槡????槡??槡??槡??槡??槡????????????????????是椭圆柱面?五? ??? 可求得?????? 在??的基????????下的度量矩阵为??????? ????????? ??由于?是反对称矩阵? 所以?????? 是反对称双线性函数?????????????? ????? ???????????????????????? ?????? ??? ? ? ??????? ????????????????????????????? ?????? ??? ? ? ??????? ?????????????????????????即可逆矩阵??? ???? ???????? ??? 使得??? ???? ??? ? ??????? ??由??????????????????????得??的基??????名师考案丛书 ????????????????????????????若设???????????????????????????????????????? 则?????? 在该基下的表达式为?????????? ??????? ???六? 设???? 是?????? 与?????? 的最小公倍式? 则???????????????? 于是?????????????????????即???? 是?的零化多项式? 故???????????又由????????????????????????得?????????????????? 即????? 分别是??和??的零化多项式? 从而???????????? ??????????????故???????????由于???? 与????? 均是首项系数为?的多项式?从而???????????七? ??? 设?是?的特征值? 则有???使? ????? 于是? ? ??? ???? ?? 即?? ??????? ?? 解得???? 矛盾?故?不是?的特征值???? 由? ??????得?????????? 由??? 知????可逆? 于是????????????根据题设知? 存在可逆矩阵?? 使得???? ???? 其中?为对角阵? 则???? ?????? ? ??????????????????? ?????????????????其中?????????仍是对角阵?故可逆矩阵?使???? ?????? ?都是对角矩阵?八? 根据? ? ? ? ? ?定理? 存在可逆矩阵?? 使得???? ???? 其中????????????????????????????????????????????? ????且?????????????于是????? ? ??????? ????????????????????????从而??????????????????????????????????当????时???是可逆矩阵? 此时???????????????????? 而当????时???????? 由????知????????????故?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????附录??????? 西北工业大学硕士研究生入学考试高等代数真题及解答? ? ? ?年试题一? ? 本题满分? ?分?已知矩阵??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?? 且? ? ????????? ?? 求矩阵??二? ? 本题满分? ?分?设?阶方阵?的互不相同的特征值为?????? ??????????? 对应的特征向量依次为?????? ?????证明? 向量组??????????? ????????????? ? ??????????????? ??????????????????线性无关的充要条件是??????????? ?????三? ? 本题满分? ?分?讨论线性方程组? ???的可解性? 其中??? ? ??? ? ???? ????? ? ???????????????????在有无穷多解时求通解? 要求用向量形式表示??四? ? 本题满分? ?分?设?阶方阵?的各行元素之和为?? 各列元素之和为?? 且非齐次线性方程组? ???有?个线性无关的解向量? 证明?相似于对角矩阵?五? ? 本题满分? ?分?已知?元二次型??????????????????????????????????????????????????其中????????????????????? 写出二次型的矩阵???? 求一正交变换??? ?化二次型?为标准形?六? ? 本题满分? ?分?设??????????????是数域?上矩阵空间????中矩阵?在基???? ???? ?????????????????????? ???? ??????? ? ?????下的坐标? ??????????????是?在基???????????下的坐标? 且???????????????????????????????????????????????? 求由基???????????到基???????????的过渡矩阵??? 求基?????????????? 求矩阵??????????在基???????????下的坐标???????名师考案丛书 ??七? ? 本题满分? ?分?设多项式空间?????????????????????????????????? 中的线性变换为?????? ??????????????????????????????????????求?????的一个基? 使?在该基下的矩阵为对角矩阵?八? ? 本题满分? ?分?设?是?阶矩阵??的特征多项式为???????????????????????的最小多项式为???????????????? ??????? 求?的所有不变因子??? 写出?的? ? ? ? ? ?标准形?九? ? 本题满分? ?分?设???分别为?阶和?阶实对称矩阵? 且?????????为正定矩阵??? 计算????? 其中?????????????????? 证明?????????为正定矩阵?十? ? 本题满分?分?设线性空间?的线性变换?和?满足? ??? ?? 又设??是?的特征值?证明??的特征子空间???????????????????? 是?的不变子空间?十一? ? 本题满分?分?设?和?是?维欧氏空间?的线性变换? 且满足????? ??????????? ???????????? 若?和?在?的标准正交基下的矩阵分别是????? ?????和????? ?????? 证明???????? 证明?????????? ? 其中???? 为?的值域????? 为?的核?? ? ? ?年试题参考解答一??由? ? ????????? ?得?????? ???????可求得????? ???????????????? 所以矩阵?????和?可逆? 于是由上式得????????????????????????????????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ??????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????附录??????? 二? 因为?????? ????是?的互不相同的特征值?????? ????对应的特征向量? 所以它们线性无关? 且有??????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????设??????????????????????将式?代入上式并整理得?????????????????????????????????????????????????????????????由于?????? ????线性无关? 从而?????????????????????????????????????????????????????????????可见?????? ????线性无关的充要条件是上面的齐次线性方程组只有零解?于是其系数行列式????????????????????????????????????????????????故?????? ????线性无关的充要条件是??????????? ?????三? 增广矩阵??? ? ???? ? ?????? ?????? ? ???????????????? ?????? ?????? ??? ? ? ?????????????????????????????????????????????????????????????????? ? ? ? ??? ??????? ?????? ??????? ?????????????????当????且???时????????????? 方程组有唯一解???当????时? 若???则???????????? 若????则???????????? 方程组均有无穷多解???当???时? 若????则???????????? 若????则???????????? 方程组均有无穷多解?当????????时? 通解为????????????????????????????????????????????????为任意常数?当????????或????????时? 通解为?????????????????????????????为任意常数?四? 因为?的各行元素之和为?? 各列元素之和为?? 所以????????????????????????????????????????从而?和?是?的特征值???与?有相同的特征值??又知? ???有?个线性无关的特征向量? 不妨设为?????????由于???????????是? ???的解向量?且由????????线性无关知???????????线性无关? 于是?是?的特征值且对应有?个线性无关的特征向量? 从而?至少应是?的?重特征值???????名师考案丛书 由于?阶矩阵?的特征值为???和???重特征值? ? 且对应?重特征值?有?个线性无关的特征向量? 故?相似于对角矩阵?五??? 由于??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????所以二次型的矩阵为?????????????????????????????????????? 可求得???? ???????????? 所以?的特征值为????????????????对应的特征向量分别为?????????????????????????????????????????????????????正交单位化得?????槡??槡??????????????槡???槡??槡?????????????槡? ???槡? ???槡? ??槡????? ??????????????????故正交变换??? ?化二次型为??????????????????其中????槡???槡???槡? ????槡???槡???槡? ?????槡???槡? ??????槡? ???????六??? 由题设知坐标变换公式为???????????????? ? ????? ???? ???????? ???????????????附录??????? 从而基变换公式为????????????????????????????其中????? ? ????? ???? ???????? ?即是由基???????????到基???????????的过渡矩阵??? 由于??????????????????????????????? 其中????? ???? ???? ????? ????????所以??????????? ???? ??????????????? ???? ????????????? ???? ???????????????? ???? ??? 可求得?????????????????故?在基???????????下的坐标为?????????????七? 取?????的基?????????? 则??????????????????????????????????????????????于是?在该基下的矩阵为??????????????????????????可求得???? ???????????? 所以?的特征值为????????????????对应的特征向量为????????????????????????????????????????????????????????????令???????????????????? ???? ? ???? ???????? ?? 则???? ???????????由??????????????????????????得?????的基?????????????????????????????????????在该基下的矩阵为? ? ? ???????????八??? 由?的特征多项式???? 与最小多项式???? 的表达式知?的初等因子为??????????????????????于是?的不变因子为????????????????? ???????????????? ????????????????????????????????????名师考案丛书 ?? 由?的初等因子得?的? ? ? ? ? ?标准形为?????????????????九???????????? ???????????????????????????????? ???????????? 因为???? ???????????????????????? ?????? 所以??? ?????是对称矩阵?又对任意?维非零列向量?? 有?????? ?????????????????? ?????????????????????????????????? ?其中?????????????????????由?正定知??? ???? 故?????? ?????????? 即??? ?????为正定矩阵?十? 对??????? 有????????? 于是?????? ???? ?? ?????? ?? ?????????? ???????????????可见????????? 故???是?的不变子空间?十一??? 根据题设???????? ????????????? ???????????????? ????????????? ??????其中?????? ????是欧氏空间?的一组标准正交基? 则有?????????????????????? ??????????????????????????? ???于是?????? ?????????????????????? ?????????? ?????????? ?????????????????????? ??????? ?故?? ???????? ?????????????? ???? ?这表明??????? 对??????? ???????? ? 存在???使得??????? 而??????? 于是??????????? ??????????? ?????????这表明???? 故??????????? ? ? ?年试题一? ? 本题满分? ?分?计算?阶行列式????????????????????????????????????????????????????????附录??????? 二? ? 本题满分? ?分?已知?阶方阵?????满足??? ??????? ???? 其中?是?阶单位矩阵?试求????三? ? 本题满分? ?分?设?为?阶方阵??为?维非零列向量? 证明??? 若向量组??? ?????? ???????的秩为???????? ? 则向量组??? ?????? ???????线性无关??????可由??? ?????? ???????线性表示?四? ? 本题满分? ?分?已知两个线性方程组??? ????????????????????????????????????????? ????????????? ???????????????????? ???? ?????????????????????????? 求方程组??? 的通解??? 确定方程组??? 中的参数???? 使方程组??? 与方程组??? 同解?五? ? 本题满分? ?分?求正交于实向量组???????????????????????????????????的全体实向量???????????????六? ? 本题满分? ?分?设?阶方阵?的一个特征值为????的一个特征值为?? 又设????????是非齐次线性方程组? ???的线性无关的解向量??? 证明?可对角化??? 求? ???的通解?七? ? 本题满分? ?分?已知二次型???????????? ?? ?????????? ??????????????经 过 正 交 变 换??? ?化 为 标 准 形??????????????? 求参数?的值及所用的正交变换??? 问??????????????表示哪一类二次曲面?八? ? 本题满分? ?分?已知????? ??? ???? ??????????????????? 求?的不变因子? 初等因子和最小多项式??? 写出?的? ? ? ? ? ?标准形?九? ? 本题满分? ?分?已知??的线性变换?在基??????????? ???????????? ??????????????下的象为???????????????? ??????????????????? ????????????????????? 求?在基????????下的矩阵??? 若????????? ? 求???? ??? 若???? 在基????????下的坐标为?????????? 求????????名师考案丛书 ?? 求?在??的基??????????????????????????下的矩阵?十? ? 本题满分?分?设?是数域?上的一个?维线性空间??的一个基为??????????的两个子空间为?????????????????????????? ?????????????????????且???????????证明???????? 即?可表示为??与??的直和?十一? ? 本题满分?分?设?是?阶方阵? 证明存在?阶可逆矩阵?和满足????的?阶幂等矩阵?? 使?????? ? ? ?年试题参考解答一???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????? ? ? ? ????????????????????????????????????????????????????????????????????对???按上述方法推导得?????????????????????????由于??????? 所以??????????????????????当???时? 联立求解?????????????????????????????????????????????得?????????????????当???时???????故总有?????????????????二? 由??? ???得????????? 所以???可 逆? 且??????????又 由??? ???得????????? 所以???????????故?????????????????????????? ??????????三??? 反证?假设??? ?? ???????线性相关? 则存在不全为零的数?????? ??????? 使得??????? ???????????????不妨设??????????????????????? 其中???????? 则???????????????????????????? ?????????????????????????附录??????? 由上式进而推得?????????????? ???????均可由??? ?? ?????????线性表示? 这与??? ?? ???????的秩为?矛盾?故??? ?? ???????线性无关??? 由?? 知??? ?? ???????线性无关? 又知??? ?? ???????????线性相关? 所以???可由??? ?? ???????线性表示?进而推得???可由??? ?? ???????线性表示? 故???可由??? ?? ???????线性表示?四??? 对方程组??? 的增广矩阵进行初等行变换得????????? ???????? ??????????????????? ? ?????? ? ?????? ? ????????????同解方程组为????????????????????????????? 通解为???????????????????????????????????为任意常数?即?????????????????????????????????????为任意常数??? 将??????????????????????代入方程组??? 解得??????????此时对方程组??? 的增广矩阵做初等行变换得??????????????????????????????????? ? ?????? ? ?????? ? ????????????可见??? 与??? 同解?五? 由?????????????????????? 得????????????????? ??????? ????? ??????? ??????????对该方程组的系数矩阵做初等行变换得??? ? ? ????????????????? ???? ??????? ? ???????????????当????时?????? ? ??? ??????????? ? ??? 同解方程组为???????? ????????? ????????????? 通解为???????? ????????? ???????????????????????????????????????为任意常数???????名师考案丛书 故???????????????????????????????????为任意常数?当????时???? ? ??? ??????? ? ????????? ? ??? ? ??? ? ???????? 同解方程组为??????????????????????故????????????????为任意常数?六??? 记?????????????????? 则? ??????????????????????? ????????????????????可见?????是?对应于特征值?的特征向量? 由????????线性无关可证得?????线性无关? 此时?至少是?的?重特征值?由题设?是?的一个特征值? 而??与?有相同的特征值?故?也是?的一个特征值? 从而???????是?阶方阵?的全部特征值?由于对应?重特征值?有两个线性无关的特征向量? 故?可对角化??? 由?? 知? 存在可逆矩阵?? 使???? ??? ? ? ?????????? ? 所以? ? ? ???????于是? ???的基础解系含?? ? ? ? ??????个线性无关的解向量?由?? 知?????是? ???的基础解系? 故? ???的通解为???????????????????????????????为任意常数?七??? 由题意知? 二次型的矩阵??????????????????????正交相似于对角矩阵???? ?????????????? 于是???????是?的特征值? 利用?? ???? ???? ???????????????????????????解得????可解得矩阵????????????????????对应特征值??的线性无关特征向量为????????????????????????它们已正交? 单位化得????????????槡?????槡?????????????????????????又?对应特征值?的特征向量为????????????? 单位化得?????????????槡?????槡????? 故所用的正交变换为????????????槡???槡??????槡??槡??????????????????附录??????? ?????????????????表示圆柱面?八? 法??可求得?? ???????????? ????????????????????????????????? ???????????由于?????? ????????? 故?的最小多项式为????????????又可求得? ? ? ????????? 于是?的? ? ? ? ? ?标准形中含两个以?为对角元的? ? ? ? ? ?块? 且其最高阶数为?? 故?的? ? ? ? ? ?标准形为??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ??的初等因子为???????????????的不变因子为?????????????????????????????????法??对? ???用初等变换化为? ? ? ? ?标准形得? ??????????? ????????????????????????????????????????????? ? ? ? ? ?????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????? ? ? ? ? ??????????????????????????????????????????????????????????????? ? ? ? ? ?????????????????????????????????????????? ???? ???? ????????? ????????????故?的不变因子为??????????????????????????????????的初等因子为???????????????的? ? ? ? ? ?标准形同前??的最小多项式为?????????????九??? 取??的基?????????? ??????????? ??????????? ? 则有??????????????????????????????????????????????其中???? ?????????????????????????????????于是?????????????????????????? 从而???????????????????????????????????????????名师考案丛书 故?在基????????下的矩阵为???????? ? ?? ? ?????? ? ??? 因为????????????????????????????????????????? 所以?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 由于???????????????????????? 所以????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 因为??????????????????????? 其中??? ? ?? ? ?????? ? ?所以?????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????故?在基????????下的矩阵为??????????????? ????????十? 因为??与??是?的子空间? 所以????????又对任意???? 有??????????????????????????????????????????????????其中??????????????? ???????????????????而??????????????????????????????????????????由于?????????????????????????????????????????????????? 所以????????????故???????? 从而????????对任意???????? 有?????????????????????????????????????????所以?????????????????????????????????附录??????? 由????????线性无关得???????????????????? 即???????????? 代入??????????得????? 故????这表明????????? ? 即?????是直和?于是????????十一? 设? ? ? ?????则存在?阶可逆矩阵?和?? 使得? ? ?????????于是??????????????????????????????????????? ?其中????????是?阶可逆矩阵? 而?????????????满足???????????????????????????????????????????? ? ? ?年试题一? ? 本题满分? ?分?计算?阶行列式?????????????????????????????????????????????二? ? 本题满分? ?分?设?是???矩阵??是???矩阵???是?阶单位矩阵?证明?????? ???????? ??三? ? 本题满分? ?分?设?为?阶矩阵??????为?的分别属于特征值?????的特征向量? 向量??满足? ????????????证明????????线性无关???令???????????? ? 求???? ??四? ? 本题满分? ?分?设向量空间??按照某种内积? 不一定是通常的? 构成欧氏空间? 它的两组基为???????? ??????????? 和???????? ????????? ??且??与??的内积为???????????????????? ????????????????????????求基?????的度量矩阵?五? ? 本题满分? ?分?讨论线性方程组? ???的可解性? 其中?????????????????????????????????????在有无穷多解时求通解? 要求用向量形式表示????????名师考案丛书 ??六? ? 本题满分? ?分?设?阶方阵????? ?????? 且?? ?的代数余子式?? ????证明? 非齐次线性方程组? ???有无穷多解的充要条件是?????? 其中??为?的伴随矩阵?七? ? 本题满分? ?分?设?阶实对称矩阵?的各行元素之和为?? 向量??????????????????????????是线性方程组? ???的两个解???求?的特征值与特征向量???求正交矩阵?和对角矩阵?? 使得??? ??????求?及?????????八? ? 本题满分? ?分?已知???????????????????写出?的所有可能的? ? ? ? ? ?标准形? 不考虑? ? ? ? ? ?块的排列次序? ???导出?相似于对角矩阵的充要条件? 在?相似于对角矩阵时? 求可逆矩阵?使???? ?为对角矩阵?九? ? 本题满分? ?分?设?维欧氏空间?中元素??在?的标准正交基????????下的坐标为??????????定义?的变换如下??????????????????????其中?????? 表示?与??的内积???证明?是线性变换???证明?是对称变换???求?的一个标准正交基????????? 使?在该基下的矩阵为对角矩阵?十? ? 本题满分? ?分?设线性空间?的线性变换?和?满足? ??? ??证明??的值域???? 与核???? 都是?的不变子空间?? ? ? ?年试题参考解答一???按第????????行展开??????????????????????????按第????????列展开??????????????? ?????????????????? ?????? ?????????? ????? ?二? 构造???阶矩阵????? ?????因为????????????? ??????????????? ???????? ????????????????? ???????对上面两式两边分别取行列式得????? ???????? ????????? ???????? ??从而????? ???????? ?????附录??????? 三???设一组数????????? 使得?????????????????上式左乘矩阵?? 并利用? ???????? ????????? ?????????? 得?????????????????????????式????式?? 得?????????????上式再左乘?? 得???????????????式??式?? 得????????? 由于????? 所以?????代入式?得?????再代入式?得????? 故????????线性无关???因为?????????????? ???? ???? ????????????????????????????????????????????????由?知???????????? 可逆? 从而由上式得???? ????????????????????四? 可求得???????????????????? 所以???????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????? ? ?故基?????的度量矩阵为???? ???? ? ? ? ?五? 可求得????????? ????????当????且???时? 方程组有唯一解???当????时? 增广矩阵????????????????????????????????????? ? ? ? ?初等行变换? ?????? ????? ???? ???????????? ????如果???? 则?????????????? 方程组有无穷多解? 通解为??????????????????????????????任意?如果???? 则?????????????? 方程组有无穷多解? 通解为??????????????????????????????????????????????????任意??????当???时? 增广矩阵???????????????????????????????????? ? ? ? ?初等行变换? ? ????? ? ???? ? ??????????????? ? ???如果????? 则?????????????? 方程组有无穷多解? 通解为??????名师考案丛书 ??????????????????????????????任意?如果????? 则?????????????? 方程组有无穷多解? 通解如同式????六? 必要性?因为? ???有无穷多解? 所以??????? 从而??????设??是? ???的解? 则有???????? ?????????????充分性?因为?? ???? 所以????????? 从而????????由?????且???知???????? 于是??????故????????????????且??????又有?????????? 所以??????????????? 即???????????但???????????????? 这表明???????????????? 故? ???有无穷多解?七???由于???????????????????????????? ??????????? ????????且?????线性无关? 所以?的特征值为?????? 且属于特征值?的全部特征向量为????????任意?其中???????????? 而属于特征值?的全部特征向量为????????????????不全为零???将?????正交化得????????????????????????????????????????????????????再将?????和??单位化得正交矩阵?和对角矩阵?? 使得??? ???? 其中????槡???槡??槡??槡???槡???槡??槡??槡?????????? ? ?? ? ?????? ? ???可求得??? ? ???? ? ?? ? ?????? ? ?????????????? ? ?? ? ?????? ? ?????????????? ?????八???可求得???? ??????????????? ? 所以?的特征值为??????????????故?的所有可能的? ? ? ? ? ?标准形为???? ??? ??? ????????????? ??? ??? ??????????????????????????????可相似于对角矩阵时?????????? 此时????求解?????????得基础解系????????????????????????求解????????得基础解系????????????故?????????????? ? ?? ??????? ? ???附录??????? 使得???? ??? ??? ??? ???????九???因为??????和?????? 有??????????????????????????????????????????????????????? ?????? ????所以?是线性变换???因为??????? 有????? ??????????????????????????????? ????????????????????????????? ?所以?是对称变换???因为????????????????????????????????????从而???????????????????????? 其中????? ????????????可求得正交矩阵???槡????槡??槡???槡????????? 使得??? ??? ? ?? ? ?????? ? ??由??????????????????????求得?的标准正交基????槡?????槡?????????????????槡?????槡????在该基下的矩阵为? ? ? ?????????十???????? 有?????? ? 其中???? 从而??????????? ??? ?????? ??????????? ??????所以???? 是?的不变子空间?又??????? 有??????? 则?????? ??? ?????? ??????????? ????????即????????? ? 故???? 是?的不变子空间???????名师考案丛书 西北工业大学硕士研究生入学考试高等代数试题及解答? ? ? ?年试题一? 是非题? 用?与?分别表示是与非? 每题?分本题? 满分? ?分???如果矩阵???均为?阶方阵? 则? ??? ??????????如果???分别是???????的列满秩矩阵? 则? ? ? ?? ??? ? ? ?????????如果矩阵?与?等价? 则齐次线性方程组? ???与? ???同解???????在实线性空间??中? 定义实值函数????????? ?? 其中?是?阶实对称正定矩阵????皆为?维列向量?则函数?????是一内积???????设方阵???????????????? ????? 则方阵?与?合同?????二? 填空题? 每空?分? 本题满分? ?分???已知三阶方阵???????????? ? 且?的行列式? ? ????? 方阵????????????????????? ? 则?的行列式? ? ??? ???????设?是?阶方阵? 如果? ? ? ??????? 则?的伴随矩阵??的秩? ? ? ???? ???????已知线性空间?? ? ?的子空间???????????????????????? ?????????????? ????????????????????????? ?????????????? ?则??与??的和?????的维数? ? ????????? ???????已知三阶方阵?????? 其中??????????????????????? 则?的? ? ? ? ? ?标准形为???????设?????为二维线性空间?的一个基??是?上的线性变换? 且???????????????????????? 则?的特征值为?????三? ? 本题满分? ?分?设??????元线性方程组??????????????? ???????????????????? ????????????????????????????????????问?为何值时? 该线性方程组有唯一解? 无解和无穷多解???在无穷多解时求通解?四? ? 本题满分? ?分?若非空集合?是复数域?上的?维线性空间? 证明?也是实数域?上的线性空间? 且在?上??的维数是???五? ? 本题满分? ?分?设欧氏空间?? ? ?的子空间?为?????? ??? ??? ??? ??? ????? ??? ???? ???? ?????? ???? ???? ?????? ?? ??????????????????其中?? ? ?上的内积为?????????????????? ??? ??????? ?? ?????? ?????附录??????? ??求?的一个基???求?的正交补??的一个基?六? ? 本题满分? ?分?设?是三维线性空间?上的线性变换?????????是?的一个基? 且??????? ???????????????????? ???????????????????? ????问?满足什么??是可逆变换? 且当???时? 求?的逆变换?? ????问?为何值时??上存在非零元素?? 使得??????? 且求全部非零元素??七? ? 本题满分? ?分?已知三元实二次型????????????????? ?????????? ?????????? ???????问?为何值时? 二次型?的秩为????问?满足什么? 二次型?是正定二次型???在????时? 求正交变换??? ?? 将二次型?化为标准形?八? ? 本题满分? ?分?设?是欧氏空间?上的线性变换??????? ????是?的一个基? 且?在该基下的矩阵为?? 基?????? ????的度量矩阵为??证明??是正交变换的充分必要条件是??? ????九? ? 本题满分? ?分?已知欧氏空间?????的内积为????? ????? ?????????????其中???????????????????????????????????是?????上的线性变换?????? ??????????????????????????????????????????的子空间??????????????????????????? ?????????? ? ???证明??是?的不变子空间???证明??是?上的对称变换? 且求?中的一个标准正交基? 使?在该基下的矩阵为对角矩阵?十? ? 本题满分? ?分?设?阶实对称三对角方阵?为???????????????? ???? ???????如果???????? ???? 证明??的?个特征值互异?? ? ? ?年试题参考解答一??? ????? ????? ????? ????? ??二??? ????? ????? ?????? ? ?? ? ?????? ? ????? ?槡????????名师考案丛书 三? 解???系数矩阵???????????????????????????? 可求得? ? ????????????????? ????分????当???且??????????时? 方程组有唯一解? ??分????当???时? 增广矩阵???????????????????????????????????????????????????????????????? ? ? ???? ? ? ???????? 方程组有无穷多解? ??分????当??????????时? 增广矩阵?????????????????????????????????????因为??的后?列的?阶子式?????????????????????????????????????????? ???? ???所以? ? ? ??????? ? ? ??? 故方程组无解???分???当???时? 方程组的特解???????? ???????分? ?? ???基础解系为??????????? ?????????????????? ????????????? ???????? ?????????分?故通解为??????????????? ???? ???????? ????? ?任意? ??分??四? 证?因为?是?上的线性空间? 所以?上的加法和数乘满足线性运算要求? 且对加法和数乘封闭?故对??? ???? 及??? ?? 有? ?? ?? 故?是?上的线性空间???分?设?????? ????是?上的?的一个基? 对于??? ?? 存在?????? ??????? 使得???????????????????设???????????? 其中???????? ???????? ???? ? 式?整理为???? ?????? ?????????????? ??????? ???????????????分?若有一组实数?????? ?????? 使得???????????????????? ???????? ????????????????整理式?得???????? ????????????? ????????????????????因为?????? ????在?上线性无关? 所以??? ???????? 从而?????????????????? ???? ? 故?????? ????????????? ?????在?上线性无关? ??分?可见该元素组是?上的?的一个基? 于是?上的?的维数是?????分?五? 解???对??? ?? 有???? ??? ??? ??? ??? ????? ????? ???? ??? ??? ???? ???? ??? ????? ????? ??? ? ????? ???? ??? ? ????? ???? ??? ????? ? ???? ??? ????? ? ???分???附录??????? 又????? ? ????? ??????? ? ????? ??????? ????? ? ??????? ????? ? ?线性无关? 所以???????????是?的一个基???分???对????????????????????? 有??????????????????? ? 从而?????????????????????????????????????分? ? 解此方程组得??????? ???????????????????????????????????????????故????? ? ???? ? ????? ? ???? ? ?? 于是??的一个基为? ? ???? ? ??? ? ???? ? ????分?六? 解????在基????????下的矩阵为???? ????? ??????? ??分? 可求得? ? ???????? ??????? 当? ? ?????即????且???时??是可逆变换???分?当???时? 可求得?? ????????????????????? ??分?于是???? ?????????????????????? ?????????? ?????????? ?????????????????????????????????????????????????????分???设?在基????????下的坐标为?? 由于??????? 由坐标变换公式得? ???? 于是? ? ??????????分? ? 即?????????????????????????????可见当????或???时? 有非零的?使得?????????分?当????时? 由????????解得???????????? 故?????????????? ?????? ??分?当???时? 由????????解得?????????????????????????? 故????????????????????????????不同时为零? ??分?七? 解? ? ?设???????????????????????????? 其中??????? ?????????? ?????????? ??? 则有?????? ???????? ???? ???分?从而二次型为??????? ??由于? ? ? ?????? ? ? ??? 且由? ? ?????????得????? 此时? ? ? ????? 故????时? 二次型?的秩为????分???当? ? ????时????是正定矩阵? ??分?故当????时??是正定二次型???分???当????时? 二次型的矩阵????????? ????????? ???????? ??分? 可求得? ? ????? ????????????故?的特征值为???????????????分?由? ???解得???????????? 而由?????????解得?????????????????????????? ??分?正交化得????????????????????????????单位化得???槡???????????????槡????????????????槡??????????????分???????名师考案丛书 故正交矩阵?????????????槡??槡??槡??槡???槡??槡??槡????槡??????? 二次型经正交交换??? ?化为??????????????分?八? 证?设????? ?在基?????? ????下的坐标分别为???? 则有?? ???????? ???? ? ??????? ? ????????????? ?必要性? 当?是正交变换时? 由?? ??????????? 得????? ? ????? ?? ??分? 分别取?????????? ?????则有?????? ? ??????? ??? ??分?从而? ??? ? ??? ? ?? 即??? ??????分?充分性? 如果有??? ???? 则有????? ? ????? ???分? ? 故有?? ??????????????分?九? 解???对???????????????????? 有?????? ??????????????????????????????????由于???????????????????????? ??分? 所以?????? ?? ?? 故?是?的不变子空间???分???对?????????????????? ?? 有???????????????????????????????????????? ?可见?????????是?的一个基???分?正交化得?????????????????????????????单位化得?的标准正交基???????槡??????? ?????????槡?????????????分?可求得??????? ???槡?????????????????????槡?????????????? ???槡????????槡???????????????于是?在标准正交基????? ??????下的矩阵为??????槡??槡??????? ??分?由于????? 所以?是对称变换???分?又? ? ????? ???????? ???????得?????????? ??分?由????????解得??????槡???? 由?????????解得????槡?????? ??分?单位化得????????槡???????????槡?????????分?故?在标准正交基?????????槡?????? ? ????槡???????????? ?下的对角阵为? ???? ????分?十? 证?因为?是实对称矩阵? 所以?可与对角阵相似? ??分? 于是对于?的任意特征值?? 如果它是?重特征值? 则对应的线性无关的特征向量就有?个???分?设?是?的某个特征值? 对于???? ?????? 由?????????? 且? ? ????? ????得? ? ? ????? ?????????分?于是对应于?的线性无关的特征向量只有?个? 故?是单根???分?从而?的?个特征值互异?? ? ? ?年试题一? 是非题? 用?与?分别表示是与非? 每题?分? 本题满分? ?分???设???均是欧氏空间?上的两个线性变换? 则? ?也是?上的线性变换???????设?是欧氏空间?上的正交交换? 若?上向量组????????线性无关? 则向量组????? ?????? ?????? 线性无关???????附录??????? ??如果线性方程组? ???与? ???同解? 则矩阵?与?等价???????如果?阶方阵?满足????? 则?一定与对角矩阵相似???????设方阵??? ???? ??????? ????? 则方阵?与?合同?????二? 填空题? 每空?分本题满分? ?分???设????????均为?维列向量? 记矩阵???????????? ????????????????????????????????????如果? ? ????? 则? ? ??? ???????三阶方阵?的三个特征值互不相同? 且? ? ????? 则? ? ? ???? ???????已知线性空间?????的子空间????????????????????? ???????????????????????? ?则??与??的交??? ??的维数? ? ????? ???? ???????已知?是???矩阵? 非齐次线性方程组? ???有唯一解? 则齐次线性方程组???? ?????的基础解系含有的向量个数为???????设?为?阶方阵??维列向量组?????线性无关? 且满足? ??????????? ?????????? 则?的全部特征值是?????三? ? 本题满分? ?分?计算?阶行列式???????????????????????????????????四? ? 本题满分? ?分?已知向量组?????????????????????????????????????????????????????问?满足什么条件时????可由????????唯一线性表示????不能由????????线性表示????可由????????线性表示? 但表示式不唯一?写出相应的表示式?五? ? 本题满分? ?分?已知三阶方阵??? ??? 其中?????????????????????? 问?为何值时? 方阵?不与对角矩阵相似? 且写出其? ? ? ? ? ?标准形?六? ? 本题满分? ?分?设?是三维线性空间?上的线性变换?????????是?的一个基? 且??????? ????????????????? ????????????????? ????问?满足什么??是可逆变换? 且当???时? 求?的逆变换?? ????问?为何值时??上存在非零元素?? 使得???????? 且求全部非零元素??七? ? 本题满分? ?分?已知二次曲面方程?????????????? ? ???? ???经过正交变换??????????????????????名师考案丛书 化为椭圆柱面方程????????????求参数????求正交矩阵??八? ? 本题满分? ?分?已知三阶方阵?与?个三维非零列向量????????? 且满足? ???????? ????????? ???????????证明向量组????????线性无关???计算?的行列式? ? ???九? ? 本题满分? ?分?已知欧氏空间?? ? ?的内积为?????????????????? ??? ???其中???? ???? ??? ?????? ?????? ???? ??? ?????? ??是?? ? ?上的线性变换?????? ???其中???????????? ? ?的子空间?????????????????????????????????求?的一个标准正交基???证明??是?的不变子空间???证明??是?上的对称变换? 且求?中的一个标准正交基? 使?在该基下的矩阵为对角矩阵?十? ? 本题满分? ?分?设????????是欧氏空间?的基? 证明? 基????????的度量矩阵为正定矩阵?? ? ? ?年试题参考解答一??? ????? ????? ????? ????? ??二??? ????? ????? ???????????? ?????三? 解???????????? ??? ? ? ? ? ???????????????????????分???????????? ????????????????????????????????????????分???????????? ??????????????????分?四? 解?设有一组数????????? 使得?????????????????????附录??????? ??设???????????? ? 可求得? ? ?????????????? ??分? 所以???且????时??可由????????唯一线性表示???分???当????时? 由于???????????????????? ???????????????????? ?? ??????????????分?? ? ? ???????? ? ? ???? 方程组无解? 故?不能由????????线性表示???分???当???时? 由于????????????????? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ???分?? ? ? ???? ? ? ???????? 方程组有无穷多解? 故?可由????????线性表示? 且表示法不唯一?可解得????????????????????????????????????????????分?故有??????????????? ???? ???????任意? ??分?五? 解?因为???????????????????? 又? ? ? ????? 且? ???????? 所以?的特征值为????????? ??分?当????时??的特征值为??????又???? 所以?不能对角化???分?此时? ? ? ????? 对应于?的线性无关的特征向量有?个? ??分?故?的? ? ? ? ? ?标准形为? ? ?? ? ?????? ? ???分?六? 解????在基????????下的矩阵为???? ????? ??????? 可求得? ? ????????? 所以当? ? ????? 即???? 且???槡?时??是可逆变换???分?当???时? 可求得?? ??????????????????? ??分?所以?? ?????????????????????? ?????????? ?????????? ????????????????????????????????????????分???设?在基????????下的坐标为?? 则由???????? 得? ????? 于是? ? ???????????分? ? 即????????????????????? ?????槡?? ?????槡????故当???或??槡?或??槡?时? 有非零的?使得??????????分?当???时? 由?????????解得????????????? 故??????????? ?????????分?当????槡?时? 由?????????解得???????槡?????? 故????????槡??????? ?????????分?当????槡?时? 由?????????解得??????槡?????? 故????????槡??????? ?????????分?七? 解???二次曲面方程左端二次型的矩阵为??????? ?????? ? ?? 由题意?正交相似于????????所以?????是?的特征值? ??分?故? ? ?????????? 于是?????分????????名师考案丛书 ??由? ???解得????????????? ??分?由?????????解得?????????????分?由?????????? 解得???????????? ??分?单位化得???槡?????????????????????????????槡????????????分?故所求正交矩阵为?????????????槡???槡??????槡???槡?????????分?八? 证?设有一组数?????????使得?????????????????????分?式?两端左乘?得??????????????????????????式? ?式?得?????????????????????分?式?两端左乘矩阵?得?????????????????????????????分?式? ???式?得??????? 由????得????? ??分?将其代入式?得????? 再代入式?? 有?????故????????线性无关???分???因为??????????????????????? ? ?? ? ?????? ? ?? ??分? 由于????????线性无关? 所以矩阵?????????? 可逆?故有??????????? ?????????????? ? ?? ? ?????? ? ?? 从而? ? ???????分?九? 解???对?????????? ?有???????????????????????????????????????所以???????????????????????是?的一个基???分?可求得?????????????????????????????所以?的标准正交基为????槡?? ???? ??????槡?? ???? ???分????对?????????????? ?? 有?????? ????????????????????????? 利用?????????????? 得?????????????? ???????????????? ??分?可见????? ?? 故?是?的不变子空间???分???由于???????槡????? ???????????????????槡??? ???????????????分?所以?在标准正交基?????下的矩阵为??????????? 由于????? 故?是对称变换???分???附录??????? 又由? ? ????? ???????????得?的特征值为????????????分?由? ???解得?????????? 由?????????解得??????????? ??分?单位化得???槡?????????????槡???????????分?故?在标准正交基槡????????? ?槡?????????下的对角阵为? ???? ????分?十? 证?设??? ??????? ?? ? ?? 因为??????????????? ? 所以?是实对称矩阵???分?又对于????? 有???????? 设?在基????????下的坐标为???? 则有????????? ?????分?故基的度量矩阵?是对称正定矩阵???分?? ? ? ?年试题一? 是非题? 用?与?分别表示是与非? 每题?分本题满分? ?分???设???均是欧氏空间?上的两个对称变换? 则? ?也是?上的对称变换???????如果???矩阵?的秩为?? 那么它的任何?行组成的子矩阵的秩大于或等于????????????设???都是?阶方阵? 且满足? ??????? 则? ??? ????????设?阶方阵?满足???????? 则???可逆??为?阶单位矩阵????????三元实二次型??????????????????????????????????????????是正定的?????二? 填空题? 每空?分? 本题满分? ?分???设???????????均为?维列向量? 记矩阵???????????? ?????????????? 如果? ? ?????? ? ?????则? ? ??????? ???????三阶方阵?的行列式? ? ????? 则? ? ? ??????? ???????已知线性空间?????上的线性变换?为?????????????????????????????????????????则? ? ? ??? ???????已知非齐次线性方程组? ???有且仅有?个线性无关的解向量? 则对应的齐次线性方程组? ???的基础解系含有????个向量???设实方阵??????? ?? 问?满足????时??与??? ????合同?三? ? 本题满分? ?分?设?阶方阵????????? ????? ? 其中?????? ????是?的?个列向量? 且满足?????????????证明?? ? ??? ?????????????? 其中???? ?????槡??四? ? 本题满分? ?分?设线性空间????的两个子空间????? ? ??????? ?????????? ???? ???是???阶单位矩阵证明????? ??? ??? 其中?表示直和?五? ? 本题满分? ?分?设三阶方阵???? ?? ??????? ? ??? ??????????名师考案丛书 ??求方阵?的? ? ? ? ? ?标准形????求相似变换矩阵?? 使?? ?? ????六? ? 本题满分? ?分?设?是?阶实反对称矩阵构成的实数域?上线性空间? 对于???? ?? 规定????????? ??? ?????证明? ? ?? ? ?是?上的一个内积??? ?上由此规定的内积便构成欧氏空间? 求?上的一个标准正交基???令????? ?????????????????????????????? 其中????????????? ??? 证明?是??到?的一个同构映射?七? ? 本题满分? ?分?已知二次型????????????? ????? ????? ?????????????????????????为何值时??的秩为????取???? 试用正交变换化二次型为标准形???指出???时????表示何种二次曲面?八? ? 本题满分? ?分?斐波那契?? ? ? ? ? ? ? ? ??数列是??????????? ?? ??它满足?????? ????? ?????? ?????????????证明? ? ? ? ? ? ? ? ?数列的通项??可由下述行列式表示?????????????????????????????????????????????????????????求? ? ? ? ? ? ? ? ?数列的通项公式?九? ? 本题满分? ?分?已知欧氏空间?? ? ?的基?? ???? ???? ???? ?的度量矩阵为??? ???? ???? ????? ? ???????其中?? ?是第?行第?列元素为?其余皆为?的?阶方阵? ?? ? ?的子空间? ???????????????????????????????????????? ?? ?????是?? ? ?上的线性变换? 且??????????????????????????????????? 其中??????????? ?? ? ???求子空间?的一个标准正交基???证明?是?的不变子空间???附录??????? ??证明?是?上的对称变换???求?中的一个标准正交基? 使?在该基下的矩阵为对角矩阵?十? ? 本题满分? ?分?设???个方程的?元齐次线性方程组的系数矩阵为?? 把?划去第?列得到的???阶子式记作??? 令?????????????? ???????证明? 如果???? 那么?是这个齐次线性方程组的一个基础解系?? ? ? ?年试题参考解答一??? ???? ???? ???? ???? ??二??? ? ????? ????? ?????????????????三? 证?因为????? ? ? ?????????????? ???????? ? ??分?所以? ? ???????? ? ??? ? ? ?????????????? ???????? ?? ??????????????????分?故? ? ??? ????????????????分?四? 证?对于??? ??? ??? 因为??? ?? 且? ????? 所以???? 故??? ?????? ??分? ? 又对于??? ????? 有????? ???????? ??????其中??? ????? ???? ????? ??? ??分?所以????? ??? ????分?五? 解???因为? ? ????? ?????????? 所以?的特征值为?????????????分?又? ? ? ?????????? 所以对应?重特征值?? 只有一个线性无关的特征向量? ??分?所以?的? ? ? ? ? ?标准形为? ?? ?????????分???由?????????? 解得?????????????分?由???????????解得???????????? ??分?由???????????解得??????????????????分?故?????????????????????? 使得?? ?? ??? ?? ?????????分?六???证?因为????????? ??? ??????? ??? ????????? ??分??? ???????? ??? ? ???????? ??? ???????????? ??分???????名师考案丛书 ??????????? ?? 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????? ?的特征方程为????????? 解得????槡??? 所以??附录??????? ???????槡??????????槡???????分?利用?????????? 解得????????故? ? ? ? ? ? ? ? ?数列的通项公式为?????槡????????槡???????分?九? 解??? ?的一个基为???????????????????????? 由于?????????? 所以它们是?的一个正交基?单位化得????槡????????槡???? 此是?的一个标准正交基???分???因为????????????????????? ???????????????????????? ?所以?是?的不变子空间???分???可求得?在标准正交基????槡????????槡???下的矩阵为??????????? 它是对称矩阵? 所以?是?上的对称变换???分???由? ? ????? ???????????? 得?的特征值为?????????? 由? ???解得??????????? 单位化得????槡?????????由?????????解得?????????? 单位化得????槡???????? 故有?的标准正交基槡????????? ?槡????????? ??在该标准正交基下的矩阵为对角矩阵???????分?十? 证?因为???? 所以? ? ? ??????? 故? ???的基础解系含一个解向量???分?设?????????????????????? ??? 则有? ? ????????分?将? ? ???按第?行展开? 则有? ? ???????? 故????????????? ?????? ? ??分?即????????????????所以?是齐次线性方程组? ???的一个非零解? 故?是该齐次线性方程组的一个基础解系???分?? ? ? ?年试题一? 是非题? 用?与?分别表示是与非? 每题?分本题满分? ?分???设???均是欧氏空间?上的两个正交变换? 则? ?也是?上的正交变换???????如果?阶方阵?满足????? 则?的秩等于?的非零特征值的个数???????设?是???矩阵? 若? ? ? ????? 则线性方程组? ???一定有解???????矩阵????????与矩阵?? ?????合同???????设?阶方阵?是负定的? 则方阵?的主对角元素?? ?????????? ???????????????名师考案丛书 二? 填空题? 每空?分本题满分? ?分???设????????均为?维列向量? 记矩阵???????????? ??????????????????????????如果? ? ????? 则? ? ??? ???????设矩阵方程? ???? 其中??? ???? ????? ???? ?? 则?? ???????已知线性空间?? ? ?上的线性变换?????????????????????????????????????????? ?? ????则? ? ? ??? ???????对于非齐次线性方程组? ????????????均为?的三个?维列向量? 即???????????? ? 若?????????????????????????? 且?的伴随矩阵????? 则齐次线性方程组? ???的基础解系为???????设实方阵???? ????????? ? ?? 问???满足????时??可与对角矩阵相似?三? ? 本题满分? ?分?计算?阶行列式?????????????????? ???????????????????? ???????????? ?????? ?????????? ???? ????????????????? ??????四? ? 本题满分? ?分?设???????????是线性空间?的一个基? 又???? ???????????????????? ?????????????????? ???????????????????? ??子空间??????????? ???????????????问?满足什么条件时??????? ????问?满足什么条件时?? ? ????? ??????五? ? 本题满分? ?分?设三阶方阵????? ??? 其中???????????????????????是?阶单位矩阵???求方阵?的特征值???计算???六? ? 本题满分? ?分?设?是???的列满秩实矩阵? 性空间??上? 对于列向量???? ??? 定义???????? ???? ??令????? ????????? ?? 其中????????? ??????? ?????证明? ?????是??上的内积???证明?是??到??的一个线性映射? 且是单射?七? ? 本题满分? ?分?设????? ?? 是?阶可逆实对称矩阵? 其最大特征值为??? 最小特征值为????? ?是元素?? ?的代数余子式???附录??????? 二次型???????? ?????????????????? ?? ? ????????求二次型???????? ?????的矩阵???求二次型???????? ?????在条件???????????????下的最大值和最小值?八? ? 本题满分? ?分???设?? ????? 证明?????? ?? ?????在数域?上线性相关??是?阶单位矩阵? ???若?是?维线性空间?上的线性变换? 证明?????? ?? ?????????表示?上的恒等变换?线性相关?九? ? 本题满分? ?分?已知欧氏空间?????的基?????????的度量矩阵为??? ???? ???? ????? ? ????????????的子空间? ?????????????????????????????????????? ???????????? ??是?????上的线性变换? 且????????????????????????????????? ???????????其中????????????????? ????????求子空间?的一个标准正交基???证明?是?的不变子空间???证明??是?上的对称变换???求?中的一个标准正交基? 使?在该基下的矩阵为对角矩阵?十? ? 本题满分? ?分?设???是欧氏空间?上的两个线性变换? 且对于????? ?? 都有????? ??????????? ?若?在?的标准正交基?????? ????下的矩阵为?? 证明??在标准正交基?????? ????下的矩阵为???? ? ? ?年试题参考解答一??? ????? ????? ????? ????? ??二??? ???????????????????????????任意? ???? ?????????????????????三?????????????????????????????????????分?????????????? ?????????????????????????????????分????????????? ???????????????????????????????????????分???????????????分?四? 解???因为???????????????????? ? 又?????? ?? 所以???????????线性无关? 即??????名师考案丛书 ???? ? ???? ?? ???? ? ??????可逆??分??由? ? ???????? ????????得????且???? 故????且???时??????? ????分???对??? ??? ??? 有?????????????????????? 从而?????????????????????因为? ? ??????????? 所以?????????????????????有非零解? 故???????????线性相关? 即????或??? ???分?当????时? 由于???????????????? ??????????? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??????? ? ??解得???????????????????? 故????????????????????????????????????????从而???????????是??? ??的一个基? 即? ? ???? ???????当???时? 有???????????? 故? ? ???? ?????????分?五? 解???因为? ? ? ??? ?????? 又? ??? ?????? 所以? ??的特征值为???? ????分? 故??? ??的特征值为????????分???由于? ? ? ??? ?????? 所以? ??对应于特征值?的线性无关的特征向量有?个? 故? ??可对角化???分?由方程组? ?????解得????????????????????????????分?又由方程组?? ?????????解得????????????构造矩阵???????????? ? 则?? ????? ?????? ? ? ????????从而??? ????? ? ? ?????????? ????分?故????? ? ? ??????????? ?????????????????????????????分?六? 证???因为????????? ????? ???? ?? ????? ?? ????? ????? ???????? ? ??分????????????????? ???? ????? ????? ????? ????? ???????? 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??分?又???????????????????????????????????????????所以?????????????? ???????????????是?的标准正交基???分???因为??????? ????????????????????????? ????????? ????????????????????????? ??分?可见??????? ?? ????????? ?? ?? 故?是?的不变子空间???分?? ?可求得?????????????????? 其中??? ???? ?? ??分? 因为?是实对称矩阵? 所以?是对称变换???分???由? ? ????? ????????????? 得?的特征值为????????????分?由? ???解得??????????? 由?????????解得?????????? 单位化得???槡??????????????槡??????????分?则?在标准正交基槡????????? ?槡?????????下的矩阵为对角阵? ? ? ?????????分?十? 证?设?在基?????? ????下的矩阵为?????在基?????? ????下的坐标分别为??????因为????? ?????????????????????? ??分????????? ????????所以??????????????取?????分别为?????? ????? 便有???????????? ??? ??分?从而? ????? ? ????分?故?????? ? ? ?年试题一? 是非题? 用?与?分别表示是与非? 每题?分本题满分? ?分???线性空间??的子集??? ?????????????????????? ?????????? ?是??的子空间???????设???均是线性空间?上的两个可逆的线性变换? 则?? ???? ?也是?上的线性变换???????????名师考案丛书 ??若?是欧氏空间?上的变换??满足?? ????????? ?? ???????? 其中? ?? ? ? 表示内积? 则?是?上的对称变换???????设?是线性空间?上的线性变换??是?的?重特征值? 则特征子空间??的维数是????????设实方阵??????????????? ????????? 则?与?合同?二? 填空题? 每空?分本题满分? ?分???设????????均为?维列向量? 记矩阵???????????? ? 且?可逆? 又记??????? ??????? ??????? ???则实数?满足????? 方阵?可逆???设线性空间?? ? ?的子空间? ??????????????? ? 其中????? ????? ? ??????? ? ???? ? ???????? ? ????? ??????? ? ???? ? ?则? ? ? ? ? ???????已知?是线性空间?????上的线性变换???????????????????????????????????????????????????则?的特征值为???????已知非齐次线性方程组? ???有?个线性无关的解向量? 其中?是方阵? 若?是方阵?的?重特征值?则重数?满足???????设?????是数域?上的线性空间??的一个基??是??上的线性变换? 若???????????????????????????????????????? ?则?的逆变换为?? ????????????? ?????三? ? 本题满分? ?分?计算???阶行列式??? ??????????????????????????四? ? 本题满分? ?分?设?是?维线性空间?上的线性变换? 且????? 又??是?上的单位变换?证明??? ????? ??????? ? 其中?表示直和?????与???????分别为?与????的值域?五? ? 本题满分? ?分?设?阶方阵??? ?? ?? ?? ???????????求方阵?的? ? ? ? ? ?标准形????求相似变换矩阵?? 使得?? ?? ??????求????????? ???六? ? 本题满分? ?分?设在??上规定二元实值函数????????? ?其中???????????????????????????? ?????? ? ?? ? ?????? ? ????附录??????? ??证明?????是??上的一个内积???在??上? 由此规定的内积构成欧氏空间? 若欧氏空间??的子空间?为? ?? ???????????????????? ??????????? ?求?的正交补??的一个基?七? ? 本题满分? ?分?已知三元实二次型????????????????? ?????????? ?????????? ????? 其中?是实参数???求二次型?的秩???在???时? 试用正交变换化二次型?为标准形???指出???表示何种二次曲面?八? ? 本题满分? ?分?设?????? ????是??中的一个基? 则由? ?????? ???????? ?????? ?? ????定义了一个线性变换????求?在基?????? ????下的矩阵????证明???????? ??????设?是??上的线性变换? 且满足???????? ???? 则在??中存在一个基? 使得?在该基下的矩阵是??九? ? 本题满分? ?分?已知????????是欧氏空间??的一个基? 该基的度量矩阵??? ? ?? ? ?????? ? ???上的线性变换?为???????????????????????????????????????????????????求空间??的一个标准正交基???问?是否为对称变换???求??的一个基? 使?在该基下的矩阵为对角矩阵?十? ? 本题满分? ?分?设???均为?阶实方阵? 向量空间???? ??? ? ?????? ??? ? 证明?? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? ??? ? ? ?年试题参考解答一??? ????? ????? ????? ????? ??二??????????? ????? ????????????????????????????????????????????? ?三? 解??? ?????????????????????????????????? ???????????? ???????????????????????????????????????????????????? ???????????????????? ????????????????????????????????? ? ???? ???????????? ? ??????????????? ? ???????名师考案丛书 四? 证?对于??? ????? ??????? ? 存在???使得??? ?????????? ??分?两端作?变换? 则有? ???????????????? 又????? ???所以?????分??故????? ??????????? ? 这表明????????????为直和???分?显然????? ???????? ??又对于??? ?? 有??? ??????? ??? ???????????分?由于? ?? ???? ? ???????? ??????? ? 所以?? ????? ??????? ? ??分?于是?? ????? ???????故?? ????? ??????????分?五? 解??设???? ??? ????? 因为? ? ?????? 所以?是??的特征值???分?又? ?????? 所以?的特征值是????????分?因为? ? ? ?????? 所以对应?重特征值?只有一个线性无关的特征向量? 故?的? ? ? ? ? ?标准形为? ?????????分???由?????? 得???????? 由??????解得???????? ??分?故??? ? ?? ? ?????? ? ?? ??分?使得?? ?? ??? ?????????分???因为??????????? ???????? ???? ?????????????? ??分?所以????????? ??? ??? ? ????????????????????分?六? 证???因为?????????? ?????? ??????? ??????? ? ??分???? ?????? ??? ???????? ? ??分????????????????? ????? ????? ????????????? ? ??分??因为?的顺序主子式????????????????????? 故?是正定矩阵???分?所以对于????? 有????????? ???? 当???时? 有????????? ???? ??分?故????????? ?是内积??? ?的一个基为?????????? ??????????????分?若????????????? ??? 则有?????????? ????? ?????????? ????? 即??????????????????????分?解得??????????????????????? ??? ?? ? 故?的正交补的一个基是???????????分?七? 解?设??????? ?????????? ?????????? ????????????????? 则有??? ?? 其中??附录??????? ???????????????????????????????于是???????? ???? ??????? ????因为?的秩?? ? ? ?????? ? ? ??? 而? ? ???????? ??分?所以? 当????? ? ? ????? 即?的秩为?? 当???时?? ? ? ????? 即??的秩为????分???设?????????????????????????????????????????? ????????? ??????????分?因为? ? ????? ???????????? 所以?的特征值为???????????????分?由?????????解得???????????????????????? 由? ???解得?????????????分? 由? ? ? ? ? ? ?正交化得??????????????????????????单位化得???????????槡??????????????????????槡??????????????????????槡??????????分?正交矩阵?????????????槡??槡??槡???槡??槡??槡????槡??槡??????正交变换??? ?化二次型?为标准型??????????????分???当???时????表示圆柱面? ??分?当???时? 因为???为正定矩阵? 所以???表示椭球面???分?八? 解???因为? ?????? ???????? ?????? ?? ????? 所以?在基?????? ????下的矩阵为???????????????分???可求得??? ???????????????????????而?????? ?在基?????? ????下的矩阵分别为???????? ???? 所以???????? ??????分???设?在基?????? ????下的矩阵为??因为?一定与? ? ? ? ? ?矩阵相似? 故存在可逆矩阵?使得??? ? ?? ?? 由于???? ???? ?? 且由????知????? 由??? ???? 有??? ???? 故??? ????????????分???????名师考案丛书 所以存在一个基? 不妨设该基为?????? ????且??????? ?????????????????????在该基下的矩阵为?? ??分?取基?????? ?? ????? 则?在该基下的矩阵为????分?九? 解??由? ? ? ? ? ? ?正交化得??????????????????????????????????????????????????????分?故标准正交基为???????????槡???????????????槡??????????? ??分???因为???????????????????????????????槡????槡?????????????????槡??????槡??????????????槡?????????槡??????分???????????槡??????????????槡?????槡?????????所以?在标准正交基????????下的矩阵为???槡??槡???槡???槡??槡??槡????????由于?非对称矩阵? 所以?不是对称变换???分???因为?在基????????下的矩阵为??? ? ?? ? ?????? ? ???分?可求得? ? ????? ???????? ??????? 所以?的特征值为???????????????分?由????????解得???????????????????????? 由?????????解得?????????????分?故?在基??????????????????????下的矩阵为对角矩阵? ? ? ???????????分?十? 证?因为???? ??? ? ?????? ???????? ?????? ???? ? ? ??分?所以??? ?????? ???? ??? ??? ?????? ???? ???? ??? 其中????????? ????? ? ??分?所以? ? ???? ? ???? ???? ? ????????分?又? ? ???? ???? ? ? ??? ?? ?? ? ??????? ? ? ??? 故? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? ?? ??分?? ? ? ?年试题一? 是非题? 用?与?分别表示是与非? 每题?分本题满分? ?分???设???均为正定矩阵? 则? ? ???????????????设???均是线性空间?上的两个可逆的线性变换? 则? ?也是?上可逆的线性变换????????是欧氏空间?上的正交变换? 则?在?的一个基下的矩阵是正交矩阵???????附录??????? ??设?是从线性空间??到线性空间??上的线性映射? 则?的秩? ? ? ??与?的零度? 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欧氏空间?? ? ?的子空间? ???????????????????????????????????? ?? ? ??求?的正交补??的一个基?七? ? 本题满分? ?分?已知三元实二次型????????????? ????? ????? ?????????????????????? 其中?是实参数???求二次型?的秩???试用正交变换化二次型?为标准形???当????时? 指出???表示何种二次曲面?八? ? 本题满分? ?分?设???与???均是数域?上的线性空间??????? ????与?????? ????分别是线性空间???与???中的一个基? 又?是???到???的映射? 且?????????????????????????????????????????????? ???????? ??????其中??? ???????? ???? ? 证明??是同构映射?九? ? 本题满分? ?分?已知????????是欧氏空间??的一个基? 该基的度量矩阵是??? ? ?? ? ?????? ? ???上的线性变换?为???????????????????? ??????????????????? ??????????求空间??的一个标准正交基???问???为何值时??是对称变换???在?是对称变换时? 求??的一个标准正交基? 使?在该基下的矩阵为对角矩阵?十? ? 本题满分? ?分?设?????? 阶块对角矩阵???????????? 其中??????? ???? ?? 证明??与?阶矩阵??????????相似? 其中??是?阶单位矩阵?????????分别是??????? ? ??????????? ? ???????的零矩阵?? ? ? ?年试题参考解答一??? ????? ????? ????? ????? ??二??? ??????????????????????????? ??? ?? ? ?? ? ?????? ? ????????????????????????????任意??三? 解?由? ? ????????????????? ???得???或??????????? 此时? 齐次方程组有非零解???分?当???时? 有???????????????????????附录??????? 通解为???????????? ???????????????? 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