频率采样法讲解

§8.3 频率采样法 工程上，常给定频域上的技术指标，所以采用频域设计 更直接 一、基本思想 使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率 点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其 它频率处的特性则有较好的逼近 内插公式 二.设计方法 1）确定 2）计算 3）计算 三、 约束条件 为了设计线性相位的FIR滤波器，采样值 H（k）要满 足一定的约束条件 前已指出,具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响 应h(n)是实序列，且满足 ，由此得 到的幅频和相频特性，就是对H(k)的约束 例如，要设计第一类线性相位FIR滤波器，即N为奇数， h(n)偶对称，则 幅度函数H（ω）应具有偶对称性： 令 则 必须满足偶对称性： 而 必须取为： 同样，若要设计第二种线性相位FIR滤波器，N为偶数 ，h(n)偶对称，由于幅度特性是奇对称的， 因此，Hk 也必须满足奇对称性： 相位关系同上， 其它两种线性相位FIR数字滤波器的设计，同样也要满足 幅度与相位的约束条件 四、逼近误差 由 或 H（z） 由上述设计过程得到的 与 的逼近程度 ，以及 与H（k）的关系？ 由 令 ，则 单位圆上的频响为： 这是一个内插公式。

式中 为内插函数 令 则 内插公式表明： l在每个采样点上， 逼近误差为零， 频响 严格地与理想频响的采样值 H(k)相等 ； l在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭 加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想 频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小 ；反之，误差大在理想频率响应的不连续点附近， 会产生肩峰和波纹 lN增大，则采样点变密，逼近误差减小 图 频率采样的响应 例：设计一个FIR数字 LP 滤波器，其理想特性为 采样点数 N=33，要求线性相位 解：能设计低通线性相位数字滤波器的只有1、2两种，因N为 奇数，所以只能选择第一种 即 h(n)=h(N-1-n)， 幅频特性关于π偶对称，也即 HK 偶对称 利用 HK 的对称性,求π～2π区间的频响采样值 根据指标要求，在0～2π内有33个取样点，所以第k点对 应频率为 而截止频率 0.5π位于 之间 ，所以，k=0～8时，取样值为1；根据对称性， 故 k=25～32时，取样值也为1，因 k=33 为下一周期，所以 0～π区间有9个值为 1的采样点，π～2π区间有8个值为 1 的 采样点，因此： 将 代入内插公式，求H(ejω)： 考虑到8k25时 Hk=0，而其它k时，Hk=1,令 k=33-n，则 从图上可以看出，其过渡带宽为一个频率采样间隔 2π/33，而最小阻带衰减略小于20dB。

对大多数应用场合，阻带衰减如此小的滤波器是不 能令人满意的 增大阻带衰减三种方法： 1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加 例如在本例中可在k=9和k=24处各增加一个过渡带采 样点H9=H24=0.5，使过渡带宽增加到二个频率采样间隔 4π/33，重新计算的H(ejω)见图4.12(c)，其阻带衰减增加到 约 -40dB 2）过渡带的优化设计 根据H(ejω)的表达式，H(ejω)是Hk的线性函数，因此还可 以利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值，得到要求 的滤波器的最佳逼近（而不是盲目地设定一个过渡带值） 例如，本例中可以用简单的梯度搜索法来选择H9、H24,使通 带或阻带内的最大绝对误差最小化 要求使阻带内最大绝对误差达到最小（也即最小衰减达到 最大），可计算得H9=0.3904对应的 H(ejω)的幅频特性，比 H9=0.5时 的阻带衰减大大改善,衰减约-50dB如果还要进一步 改善阻带衰减，可以进一步加宽过渡区，添上第二个甚至第 三个不等于0的频率取样值，当然也可用线性最优化求取这些 取样值 3）增大N 如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带宽，可增加 采样点数N。

例如，同样边界频率ωc=0.5π , 以N=65采样，并在k=17和k=48 插入由阻带衰减最优化计算得到的采样值H17=H48=0.5886,在 k=18、47处插入经阻带衰减最优化计算获得的采样值 H17=H48=0.1065 , 这时得到的 H(ejω)， 过渡带为6π/65，而阻带衰 减增加了20多分贝，达-60dB以上，当然，代价是滤波器阶数增 加，运算量增加 N=65;k=0:(N-1)/2; Wm=2*pi*k./N; Ad(1:(N+1)/2)=1; Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0; Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm); Hd=[Hd conj(fliplr( Hd(2:(N+1)/2) ) )]; h=real(ifft(Hd)); w=linspace(0,pi-0.1,1000); H=freqz(h,[1],w); plot(w/pi,20*log10(abs(H)));grid; 小结： 频率采样设计法优点： ① 直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便； ② 适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非 零值。

典型应用：用一串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，覆 盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度； 缺点：截止频率难以控制 因频率取样点都局限在2π/N的整数倍点上，所以在指 定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板 充分加大N，可以接近任何给定的频率，但计算量和 复杂性增加 §8.4 FIR数字滤波器的最优化设计 -切比雪夫逼进法 前面介绍了FIR数字滤波器的两种逼近设计方法，即窗口 法（时域逼近法）和频率采样法（频域逼近法），用这两种方 法设计出的滤波器的频率特性都是在不同意义上对给定理想频 率特性Hd(ejω)的逼近 说到逼近，就有一个逼近得好坏的问题，对“好”“坏”的恒 量标准不同，也会得出不同的结论，我们前面讲过的窗口法和 频率采样法都是先给出逼近方法，所需变量，然后再讨论其逼 近特性，如果反过来要求在某种准则下设计滤波器各参数，以 获取最优的结果，这就引出了最优化设计的概念，最优化设计 一般需要大量的计算，所以一般需要依靠计算机进行辅助设计 最优化设计的前提是最优准则的确定，在FIR滤波 器最优化设计中，常用的准则有 ①最小均方误差准则 ②最大误差最小化准则。

1) 均方误差最小化准则， 若以E(ejω)表示逼近误差，则 那么均方误差为 均方误差最小准则就是选择一组时域采样值，以使均方误 差 ，这一方法注重的是在整个-π～π频率区间内总误 差的全局最小，但不能保证局部频率点的性能，有些频率点 可能会有较大的误差，对于窗口法FIR滤波器设计，因采用有 限项的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近误差为： 如果采用矩形窗 则有 可以证明，这是一个最小均方误差 所以，矩形窗窗口设计法是一个最小均方误差FIR设计 ，根据前面的讨论，我们知道其优点是过渡带较窄，缺点是 局部点误差大,或者说误差分布不均匀 2) 最大误差最小化准则（也叫最佳一致逼近准则） 表示为 其中F是根据要求预先给定的一个频率取值范围，可以是 通带，也可以是阻带最佳一致逼近即选择N个频率采样值 （ 或时域 h(n) 值 ），在给定频带范围内使频响的最大逼近误 差达到最小也叫等波纹逼近 优点：可保证局部频率点的性能也是最优的，误差分布均匀， 相同指标下，可用最少的阶数达到最佳化 例如，我们提到的频率采样最优化设计，它是从已知的 采样点数N、预定的一组频率取样和已知的一组可变的频率取 样（即过渡带取样）出发，利用迭代法（或解析法）得到具 有最小的阻带最大逼近误差（即最大的阻带最小衰减）的FIR 滤波器。

但它只是通过改变过渡带的一个或几个采样值来调 整滤波器特性如果所有频率采样值（或FIR时域序列h(m)） 都可调整，显然，滤波器的性能可得到进一步提高 低通滤波器的误差分配 切比雪夫最佳一致逼近 如图，用等波纹逼近法设计滤波器需要确定五个参数： M、ωc、ωr、δ1、δ2 按上图所示的误差容限设计低通滤波器，就是说要在通带 0 ωωp 内以最大误差 δ1 逼近1，在阻带ωr  ω 内 以最大误差δ2逼近零 要同时确定上述五个参数较困难常用的两种逼近方法： 1）给定M、δ1、δ2，以ωc和ωr为变量 缺点：边界频率不能精确确定 2）给定M、ωc和ωr，以δ1和δ2为变量，通过迭代运算 ，使逼近误差δ1和δ2 最小，并确定h(n)——切比雪 夫最佳一致逼近 特点：能准确地指定通带和阻带边界频率 等波动逼近的低通滤波器 cr 一.误差函数 定义逼近误差函数： 为所设计的滤波器与理想滤波器的幅频特性在通带和 阻带内的误差值， 是已知的权函数，在不同频带可取不同的值， 所要设计的滤波器的幅频特性 理想滤波器的幅频特性 例如，希望在固定 M, c, r 的情况下逼近一个低通滤波 器，这时有 对于第一种滤波器， 于是 切比雪夫逼近问题变为，寻求一组系数 使逼近误差的最大值达到最小，即 给定后等效于求 最小。

二.交替定理（最佳逼近定理） 令F表示闭区间 的任意闭子集，为了使 在 F 上唯一最佳地逼近于 ,其充分必要条件是误差函数 在 F 上至少应有（M+2）次“交替”， 即 其中 ，且 属于F 1） 至少有 M+2 个极值，且极值正负相间，具有等波 纹的性质 ， 2）由于 是常数，所以 的极值也就是 的极值 借助于低通滤波器的设计，可以直观地解释这个定理 这时，闭子集F包括区间 和 因 为滤波器频响 是逐段恒定的，所以对应于误差函数 各峰值点的频率 同样也对应于 恰好满足误 差容限时的频率 根据前面的讨论， 在开区间 内至多 有M-1个极值，此外，根据通带和阻带的定义，令 的约束条件为 ， ，再加上 和π处的极值，误差曲线最多有M+1个 极值频率（交替）满足定理 逼近方法：固定 k、M、 和 ，以 作为参变量。

按照 交替定理，如果 F 上的M+2个极值点频率 已知，则由（1）式可得到 M+2 个方程： 为极值点频率对应的误差函数值 注意：极值点频率必须位于 和 区间内由于 和 固定，因而 和 必为这些极值 频率中的一个，设 ，则应有 求解上述方程组可得到全部系数 问题：1）实际情况下，M+2 个极值点频率未知； 2）直接求解上述非线性方程组比较困难 雷米兹（Remez）算法给出了求解切比雪夫最佳一致逼 近问题的方法 雷米兹交替算法 三.雷米兹（Remez）算法 1）在频率子集 F 上均匀等间隔地选取 M+2 个极值点 频率 2）由 求 和 利用重心形式的拉。