2024-2025学年度第二学期高一年级质量监测数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上.2.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在本试卷上，否则无效.本试卷满分150分，考试时间120分钟.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 复数的虚部是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，将分子分母同乘以分母的共轭复数，化简为复数的标准形式a+bi(a,b∈R)，b即为虚部.【详解】，所以复数的虚部是．2. 下列说法正确的是（ ）A. 球面上任意两点连成的线段都是球的直径B. 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥C. 用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形是一个三角形D. 棱台的侧棱延长后交于同一点【答案】D【解析】【分析】根据空间几何体的概念和性质可判断.【详解】对于A：球面上任意两点与球心共线时连成的线段都是球的直径，故A错误；对于B：底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面的射影是底面的中心是正棱锥，故B错误；对于C：用一个平面截一个圆锥，得到的截面图形是一个三角形或圆形，故C错误；对于D：因为棱台是用平行与底面平面截棱锥得到，所以棱台的侧棱延长后交于同一点，故D正确.故选：D.3. 若平面平面，直线，直线，那么直线a，b的位置关系一定是（ ）A. 无公共点 B. 平行 C. 异面 D. 相交【答案】A【解析】【分析】利用面面平行的定义判断即可.【详解】由平面平面，得平面无公共点，而直线，直线，所以直线无公共点.故选：A4. 在中，若，则是（ ）A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】由条件及正弦定理得到三角形角的关系，进而可得三角形的形状．【详解】由及正弦定理得，所以，又为三角形的内角，所以，所以为等边三角形．故选D．【点睛】判断三角形的形状有两种方法，一是把角化为边后进行判断，另一种方法是把边化为角后再进行判断，其中两种判定方法有相互交叉的情形，如等腰直角三角形，解题时要灵活选择相应的方法进行求解．5. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ）A. 1 B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】利用斜二测画法可还原到原直角坐标系中，再计算边长即可.【详解】由题意可得还原后如下：，，，则.故选：D6. 如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点P在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则P所在的圆弧是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数定义解决即可.【详解】设点的坐标为，所以由三角函数的定义可得，因为，即，由图知，对于A，第一象限，且，不满足题意，故A错；对于B，在第三象限，且，不满足题意，故B错；对于C，在第三象限，且，满足题意，故C正确；对于D，在第四象限，且，不满足题意，故D错.故选：C.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C【解析】【分析】要使取到最大值，即要求向量在向量方向上的投影最大，然后再根据图形即可求出结果．【详解】依题意，，因此要使取到最大值，即要求向量在向量方向上的投影最大，由图形知，当向量时，向量在向量方向上的投影最大，此时在向量方向上的投影的数量为4，所以的最大值为.故选：C8. 青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最小值是（ ）A B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用向量的线性运算法，化简得到，即可求得的最小值.【详解】连接，如图，，根据图形知，当点位于正六边形各边的中点时，此时最小值为，的最小值为，所以的最小值是.故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每一小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9. 已知i为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）A. 复数的模为5B. 复数，则在复平面上对应点在第一象限C. 复数是纯虚数，则或D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为π【答案】AD【解析】【分析】根据复数的模、复数在复平面内的坐标表示、纯虚数的定义以及复数模的几何意义来逐一分析选项.【详解】对于A选项，已知复数，则其模，所以A正确. 对于B选项，已知，则，在复平面内， 对应的点为，该点在第四象限，所以B错误. 对于C选项，对于复数，若它是纯虚数，则实部为，虚部不为.即，由，解得或；又因为，即，所以，C错误. 对于D选项，已知表示的是以原点为圆心，半径满足的圆环.圆环的面积，所以D选项正确.故选：AD.10. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，则（ ）A. 直线与是相交直线 B. 直线与所成的角是C. 直线平面 D. 【答案】BCD【解析】【分析】选项A，判断两条直线是否相交需判断它们是否共面且不平行；选项B，通过平移直线，找出异面直线所成角，再利用解三角形的知识求解；选项C，利用线面平行的判定定理来判断直线与平面是否平行；选项D，利用线面垂直性质判断.【详解】对于A，由于平面平面故直线与是异面直线，故A错误；对于B，如图，连接，因为分别为棱的中点，所以，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，又因为是等边三角形，所以直线与所成的角为故直线与所成的角是，故B正确；对于C，有前面可知平面平面，所以平面，C正确；对于D，连接，因为，所以，则，即，又因为平面，平面，所以，因为，所以面，又因为面，所以，D正确.故选：BCD.11. 一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为，它与原点的距离是.我们规定：比值，，.分别叫做角的余切、余割、正割，分别记作，，，把，，分别叫做余切函数、余割函数、正割函数.下列叙述正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据题目对余切､余割､正割的定义，结合三角函数同角三角函数的关系、诱导公式、正切函数的二倍角公式，即可求解.【详解】对于A，由题意可得，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 等于________.【答案】【解析】【分析】直接逆用余弦的二倍角公式求解即可【详解】，故答案为：.【点睛】此题考查余弦的二倍角公式的应用，属于基础题13. 已知，，设，，若与的夹角为钝角，则的取值范围_____.【答案】【解析】【分析】结合向量的坐标运算，两向量夹角为钝角需满足数量积为负，且两向量不共线求解即可.【详解】因为，，所以，，又与的夹角为钝角，所以且与不反向共线，所以且，解得且，所以的取值范围为.故答案为：.14. 已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥外接球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】利用圆锥的侧面积公式，求得母线长，进而得圆锥的高，再利用几何关系求出外接球的半径，即可求解.【详解】设圆锥的母线长为，高为，由题有，得到，如图，，则，易知圆锥外接球的球心在上，设圆锥外接球的半径为，则，解得，所以圆锥外接球的表面积为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，满分77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知向量与的夹角，且，.（1）求，；（2）求与的夹角【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）利用向量数量积定义求出，利用向量运算律计算出；（2）利用向量夹角余弦公式求出，求出夹角.【小问1详解】由向量与的夹角，且，可知，，；【小问2详解】易知，，又所以与的夹角为.16. 已知.（1）化简；（2）若，求.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由诱导公式化简求值；（2）在（1）基础上得到，凑角后利用诱导公式即得答案.【小问1详解】；【小问2详解】由可得，则.17. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若.（1）求B；（2）若，求c的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）应用余弦定理及正弦定理化简求解即可；（2）应用正弦定理化简，结合角的范围得出进而得出边长范围即可.【小问1详解】由余弦定理得由正弦定理得因为C是三角形内角，所以，所以，所以.【小问2详解】由（1）知，，，在锐角中，有所以，，由正弦定理得，，所以因为，则，所以的取值范围是.18. 如图所示，四边形为菱形，，，将沿折起（折起后到的位置），设，点是线段的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求二棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）利用中位线的性质得，再利用线面平行的判定定理，即可求解；（2）根据条件得到，，利用线面垂直的判定，得平面，再利用面面垂直的判定，即可求解；（3）过点P作，根据条件得面，再求出及，利用，即可求解.【小问1详解】连接，∵分别是，中点，∴，又∵平面，，∴面.【小问2详解】连接，在菱形中，，所以和是等边三角形，∴，，又，面，所以平面，又面，所以平面平面.【小问3详解】过点P作，由（2）知，平面，又面，∴，又，面，所以面，∵，，所以，又，所以三角形为等边三角形，∴，又，故三棱锥的体积.19. 已知向量，，函数.（1）求函数的解析式及最小正周期；（2）若，求函数的值域；（3）将函数的图象右移个单位，再将所得图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若不等式在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），最小正周期π （2） （3）【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合二倍角公式、辅助角公式求解，并求出周期.（2）利用正弦函数的性质求出值域.（3）求出，换元转化为含参的二次型函数恒成立问题求解.【小问1详解】依题意，，所以的最小正周期.【小问2详解】若，令，则，在上单调递增，在单调递减，则当时，即，取最小值；当时，即，取最大值2，所以函数的值域。
