友好学校第七十九届高一期末联考数学试卷本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔记清楚.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效.4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，对应的点位于（ ）．A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.2. 若复数z满足（其中i是虚数单位），则（ ）A. 的实部是2 B. 的虚部是 C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，根据复数的除法法则求出复数，即可判断A，B，C，再求出复数，即可判断D.【详解】因为复数满足，所以. 因为复数的实部是1，故A错误；因为复数的虚部是2，故B错误；因为复数，故C错误；因为复数，故D正确.故选：D3. 已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正四棱锥的底面边长和侧棱长，求出侧面面积与底面面积，然后求出表面积即可.【详解】如图所示，在正四棱锥中，取中点，连接，则为直角三角形，所以，所以表面积.故选：B.【点睛】本题考查了正棱锥的表面积，属于基础题.4. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.【详解】因为，所以，所以即，故，故选：D.5. 已知，，，则（ ）A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据数量积的坐标表示计算.【详解】由已知得，，，则．故选：A.6. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据在这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有3组，即可得出结论.【详解】这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：共3组，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.故选：A.7. 如图，在四边形中，，，设，，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.【详解】因为，所以.故选：C.8. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A. 中位数 B. 平均数C. 方差 D. 极差【答案】A【解析】【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大排列为．则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确．②原始平均数，后来平均数平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确③由②易知，C不正确．④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等．根据下方的统计图，下列结论正确的是（ ）2010至2022年我国新生儿数量折线图A. 2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万B. 2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万C. 2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势D. 2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差【答案】AC【解析】【分析】根据折线图逐项进行分析验证即可求解.【详解】对于A，由折线图可知：2010至2022年每年新生儿数量13个数据中有2010至2018年的数量（9个）均高于1500万，3个数据低于1400万，根据数据之间的差距可得 2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万，故选项A正确；对于B，由图可知共有13个数据，因为，所以第一四分位数是按照从小到大排列的数据的第4个数据，由折线图可知，第4个数据为2019年新生儿的数量，其值大于1400万，故选项B错误；对于C，由折线图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，故选项C正确；对于D，由折线图可知：2010至2016年每年新生儿数量的波动比2016至2022年每年新生儿数量的波动小，所以2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差，故选项D错误，故选：AC.10. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是（ ）A. B. 与所成的角为60°C. 与是异面直线 D. 平面【答案】ACD【解析】【分析】将平面图形还原为立体图形，，，A正确B错误，观察知C正确，根据平面平面得到D正确，得到答案.【详解】如图所示，将平面图形还原为立体图形，根据正方体的性质知：，，故，A正确B错误；与是异面直线，C正确；平面平面，平面，平面，D正确.故选：ACD11. （多选）下列选项中，正确的是（ ）A. 如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内任取两条直线，两直线平行B. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行C. 如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行D. 如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行【答案】BC【解析】【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可.【详解】解：对于A，如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面，故A不正确；对于B，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行，故B正确；对于C，如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行，故C正确；对于D，如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或者相交，故D不正确.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】##0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.故答案为：.解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为甲、乙都入选方法数为，所以甲、乙都入选的概率故答案为：13. 已知正三棱柱的棱长均为2，则其外接球体积为__________．【答案】【解析】【详解】 分别是上，下底面的中心，则的中点为几何体的外接球的球心， ．14. 已知向量满足，则________．【答案】【解析】【分析】根据数量积运算律求得，再根据向量模的计算公式，即可求得答案.【详解】由，得，有，则，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且.（1）求A的大小；（2）若a＝7，且顶点A到边BC的距离等于，求b和c的长.【答案】（1） （2）b＝3，c＝5或b＝5，c＝3【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求解；（2）利用面积公式求出，联立方程组可求答案.【小问1详解】由正弦定理，，即.因为，，所以.【小问2详解】由（1）可知①.又因为，所以②，联立①②解得b＝3，c＝5或b＝5，c＝3.16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．（1）求证：平面；（2）若点是棱的中点，求证：平面．【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析；【解析】分析】（1）利用线面垂直性质以及菱形性质可得,，根据线面垂直判定定理即可得出平面；；（2）依题意可得四边形为平行四边形，利用线面平行判定定理即可证明平面．【小问1详解】由平面，平面，所以，又因为底面为菱形，所以，易知，平面，所以平面；【小问2详解】连接，，如下图所示：由底面为菱形可得，且，又因为为的中点，点是棱的中点，所以可得，且，所以可知四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．17. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中x的值及身高在及以上的学生人数；（2）估计该校100名学生身高的分位数.【答案】（1），身高在170cm及以上的学生人数（人） （2）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1,易求出x,根据频率求出身高在及以上的学生人数；（2）可设该校100名生学身高的分位数为x,再利用频率分布直方图计算即得.【小问1详解】由频率分布直方图可知，解得，身高在170cm及以上的学生人数（人）.【小问2详解】人数占比为，的人数占比为，所以该校100名学生身高的分位数落在，设该校100名学生身高的分位数为x，则，解得.故该校100名学生身高的分位数约为.18. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先分别。
